- •Минобрнауки россии
- •Содержание
- •Раздел I теория вероятностей 8
- •Раздел II математическая статистика 73
- •Введение
- •Раздел I теория вероятностей
- •Правило суммы
- •Правило произведения
- •Формулы комбинаторики
- •Размещения без повторения
- •Перестановки без повторений
- •Сочетания без повторений
- •Размещения с повторением
- •Сочетания с повторением
- •Перестановки с повторением
- •Лекция 2. Пространство элементарных событий. Классическое определение вероятности
- •Пространство элементарных событий
- •Свойства вероятности
- •Лекция 3. Различные определения вероятностей Статистическое определение вероятности
- •Геометрическая вероятность
- •Парадокс Бертрана
- •Аксиоматическое построение теории вероятностей
- •Лекция 4. Условная вероятность. Теорема умножения. Независимые события. Формула полной вероятности
- •Независимые события. Теорема умножения
- •Формула полной вероятности
- •Формула Бейеса
- •Лекция 5. Независимые испытания. Формула Бернулли.
- •Формула Бернулли
- •Наивероятнейшее число
- •Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа
- •Интегральная предельная теорема Лапласа
- •Лекция 6. Дискретная случайная величина и ее числовые характеристики Виды случайных величин. Способы описания дискретной случайной величины
- •Функция распределения
- •Свойства функции распределения
- •Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины
- •Свойства математического ожидания дискретной случайной величины
- •Математическое ожидание и дисперсия некоторых случайных величин
- •Лекция 7. Непрерывная случайная величина и её распределения
- •Нормальное (гауссовское) распределение
- •Равномерное распределение
- •Лекция 8. Математическое ожидание, дисперсия, моменты непрерывной случайной величины
- •Закон больших чисел. Теорема Чебышева. Центральная предельная теорема
- •Лекция 9. Некоторые модели законов распределений, наиболее распространенных в практике статистических исследований
- •1. Биномиальное распределение
- •2. Распределение Пуассона
- •3. Нормальное (гауссовское) распределение
- •4. Логарифмически-нормальное распределение
- •5. Экспоненциальное распределение
- •7. Распределение Стьюдента с степенями свободы
- •8. Распределение Фишера-Снедекора (f-распределение).
- •Раздел II математическая статистика Лекция 1. Генеральная совокупность. Выборка. Способы образования выборки. Статистическая оценка параметров распределения.
- •Задача статистической оценки параметров
- •Точечные оценки основных параметров распределений
- •Лекция 2. Законы распределения выборочных характеристик, используемые при оценке параметров. Интервальные оценки параметров распределения.
- •1. Распределение средней арифметической.
- •2. Распределение Пирсона (- хи квадрат).
- •3. Распределение Стьюдента (t-распределение).
- •Интервальная оценка параметра распределения. Понятие доверительного интервала.
- •Интервальные оценки для генеральной средней.
- •Интервальные оценки для генеральной доли
- •Интервальные оценки для генеральной дисперсии и среднего квадратического отклонения
- •Лекция 3. Проверка статистических гипотез о значении параметров распределения. Понятие статистической гипотезы и статистического критерия.
- •1. Проверка гипотезы о значении генеральной средней нормально распределённой совокупности
- •2. Проверка гипотезы о значении генеральной дисперсии нормально распределённой совокупности.
- •3. Вычисление мощности критерия
- •Мощность критерия при проверке гипотезы о значении генеральной средней
- •Мощность критерия при проверке гипотезы о значении генеральной дисперсии
- •Лекция 4 Гипотезы о виде закона распределения генеральной совокупности
- •Вычисление теоретического ряда частот
- •Понятие о критериях согласия
- •Критерий согласия Пирсона
- •Лекция 5. Элементы корреляционного анализа Задачи корреляционного анализа. Двумерная корреляционная модель
- •Примерные вопросы к экзамену
- •Задачи к экзамену
Функция распределения
Функцией распределения случайной величины Х называют вероятность того, что она примет значение меньше некоторого действительного числа х. Обозначают
Геометрически функцию распределения можно интерпретировать следующим образом: пусть значения случайной величины обозначаются точками М оси ОХ и точка N(x, 0) произвольная точка с абсциссой х. Тогда функция F(x) это вероятность того, что наудачу брошенная на числовую прямую точка М окажется левее точки N.
Пример 1. В условиях примера 2. предыдущего пункта построить функцию распределения случайной величины Х – числа попаданий в мишень обоими стрелками.
Решение: Будем пользоваться определением и геометрическим представлением функции распределения.
Пусть: , тогда, так как значений Х меньше числа 0 просто нет.
Если , то меньше числах принимается только одно значение . Значит.
Если , то левее числах лежит уже два значения и. Следовательно,
.
Если , то=
= 0,8 + 0,2 = 1, т.е. F(x) = 1. Итак:
Свойства функции распределения
1. Функция распределения принимает значения на промежутке [0,1]
2. Функция F(x) – неубывающая функция:
Пусть . Рассмотрим следующие события
Тогда и. Учитывая, что
,
получим , что и доказывает неравенство:.
3. Справедливо равенство:
4.
5. Функция распределения имеет не более счетного множества точек разрыва, причем только «скачков».
6. В каждой точке разрыва функция распределения непрерывна слева.
Замечание: каждая функция распределения удовлетворяет перечисленным свойствам. Верно и обратное, если функция удовлетворяет указанным свойствам, то она может рассматриваться как функция распределения некоторой случайной величины.
При этом надо иметь ввиду, что если случайная величина однозначно определяет свою функцию распределения, то существует сколь угодно случайных величин имеющих данную функцию распределения. Например, если случайная величина Х принимает два значения 1 или -1 с вероятностями 0,5, то случайная величина Y = -X, также принимает значения -1 и 1 с вероятностями 0,5. Однако, ясно, что Y всегда отлична от Х. Не трудно проверить, обе случайные величины имеют одну и туже функцию распределения
Из определения дискретной случайной величины следует, что её функция распределения имеет вид
.
Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины
Пусть дискретная случайная величина имеет распределение
-
Х
х1
х2
…
xn
Р
p1
p2
…
pn
Математическим ожиданием называют число равное сумме произведений значений случайной величины на соответствующие вероятности. Обозначают
Если случайная величина принимает счетное множество значений, то математическое ожидание есть сумма ряда
.
Прежде чем рассматривать свойства математического ожидания, определим операции над случайными величинами.
1. Произведением случайной величины Х на число k назовем новую случайную величину kX, значения которой равны значениям исходной случайной величины Х умноженные на число k и принимаются с теми же вероятностями.
2. Квадратом случайной величины Х называют новую случайную величину Х2, значения которой равны квадратам значений случайной величины Х и принимаются с теми же вероятностями.
При этом надо иметь в виду, что в результате возведения в квадрат некоторые значения становятся одинаковыми. В этом случае новое значение записывают один раз, а соответствующие вероятности складывают.
X2 |
0 |
4 |
16 |
P |
0,25 |
0,5 |
0,25 |
X |
-2 |
0 |
2 |
4 |
P |
0,15 |
0,25 |
0,35 |
0,25 |
3. Суммой двух случайных величин Х и Y называют новую случайную величину, значения которой равны всевозможным значениям величин Х и Y, а соответствующие вероятности перемножаются, если X и Y независимы. В случае зависимости случайных величин вероятность значения X умножается на условную вероятность значения Y. При этом так же новые значения могут повторяться. Их записывают один раз, а вероятности повторяющихся значений складывают.
Рассмотрим задачу: Два баскетболиста по очереди забрасывают мяч в корзину. Всего сделано пять бросков. Вероятность попадания при одном броске первым баскетболистом равна 0,8, вторым – 0,9.
Составить таблицу распределения числа попаданий в корзину обоими баскетболистами.
Решение: Обозначим число попаданий первым баскетболистом через Х, вторым – Y. Первый игрок, согласно условию задачи, сделает три броска, второй – 2. Поскольку результаты бросков не зависят друг от друга, то мы находимся в условиях схемы Бернулли, и вероятности значений случайных величин Х и Y будем подсчитывать по формуле Бернулли
После не сложных вычислений, получим следующие распределения случайных величин Х и Y:
Х |
0 |
1 |
2 |
P |
0,01 |
0,18 |
0,81 |
Х |
0 |
1 |
2 |
3 |
P |
0,008 |
0,096 |
0,384 |
0,512 |
Для построения суммы, составим таблицу:
X |
Y |
X+Y |
Pij |
|
X |
Y |
X+Y |
Pij |
0 |
0 |
0 |
0,00008 |
|
2 |
0 |
2 |
0,00384 |
0 |
1 |
1 |
0,00144 |
|
2 |
1 |
3 |
0,06912 |
0 |
2 |
2 |
0,00648 |
|
2 |
2 |
4 |
0,31104 |
1 |
0 |
1 |
0,00096 |
|
3 |
0 |
3 |
0,00512 |
1 |
1 |
2 |
0,01728 |
|
3 |
1 |
4 |
0,09216 |
1 |
2 |
3 |
0,07776 |
|
3 |
2 |
5 |
0,41472 |
Составим теперь новую таблицу распределения суммы, записывая каждое значение по одному разу. Вероятности повторяющихся значений будем складывать:
X+Y |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
P |
0,00008 |
0,0024 |
0,0276 |
0,152 |
0,4032 |
0,41472 |
4. Произведением двух независимых случайных величин называется новая случайная величина, значения которой равны всевозможным значениям случайных величин X и Y, при этом соответствующие вероятности перемножаются.