metod09

2.750.2

				2					1.1
x				1	y				2.3

0.50.1

1

1.1

Функция mnk, строящая многочлен степени m по методу наименьших квадратов, возвращает вектор a коэффициентов многочлена:

mnk( x , y , n , m )

for

j

0.. m

n

b

y .

x

j

- формирование вектора правой части

i

j

i

i = 0

и матрицынормальной системы

for

k

0.. m

Гa=b метода наименьших квадратов

(базисные функции - 1, x, , x2..., xm)

n

k

j

Γ j , k

i = 0

xi

a

lsolve ( Γ

, b )

- встроенная функция MATHCAD,

a

решает систему линейных

алгебраических уравнений Γa=b

Входные параметры:

x, y - векторы исходных данных; n +1 - размерность x, y.

Вычисление коэффициентов многочленов степени 0,1,2,3 по методу наименьших квадратов:

n		4											0.133
				a0 =					0.48	a1 =
												0.408
a0				mnk( x , y , n , 0)
								1.102					1.164
a1				mnk( x , y , n , 1)
												1.591
				a2 =			1.598			a3 =
a2				mnk( x , y , n , 2)			0.717					0.792
a3				mnk( x , y , n , 3)								0.026

Функция P возвращает значение многочлена степени m в точке t; многочлен задается с помощью вектора коэффициентов a:

m

P( a , m , t ) aj .tj j = 0

Функция σ0 возвращает значение среднеквадратичного уклонения многочлена

P(a,m,t):

1

n

σ0( a, m )

.

P a, m , xk

yk

2

n

m

k = 0

Вычисление значений σ m, m = 0,1,2,3:

σ 0 σ0( a0, 0) σ 1 σ0( a1, 1) σ 2 σ0( a2, 2) σ 3 σ0( a3, 3)

Гистограмма

	1		1.285
			1.28
		σ =
	0.5		0.38

0.532

0

00

σ

Вывод: оптимальная степень m*=2; многочлен наилучшего среднеквадратичного при-

ближения: P2(x) = –1.102+1.598x+0.717x2.

Графики многочленов степени 0,1,2 и точечный график исходной функции:

t		x0 , x0				0.05.. xn	i		0.. n

	1.212658		2
	P( a0 , 0, t)
			0
	P( a1 , 1, t)
	P( a2 , 2, t)
				2
	yi
	2.3
			4

4		2	0	2
2.75			t, t, t, xi	1