ТР-ДУ

М И Н И С Т Е Р С Т В О									Т Р А Н С П О Р Т А	Р О С С И Й С К О Й Ф Е Д Е Р А Ц И И
Ф Е Д Е Р А Л Ь Н О Е									А Г Е Н Т С Т В О	П У Т Е Й	С О О Б Щ Е Н И Я
								С а м а р с к и й		г о с у д а р с т в е н н ы й
СамГУПС								у н и в е р с и т е т		п у т е й	с о о б щ е н и я

К а ф е д р а в ы с ш е й м а т е м а т и к и

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

У Р А В Н Е Н И Я

Т И П О В О Й Р А С Ч Е Т

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ

СОСТАВИТЕЛЬ: Л.В. КАЙДАЛОВА

Cамара – 2009

УДК 002.6: 519.6: 075.5

Дифференциальные уравнения: Типовой расчет по высшей математике / Л.В. Кайдалова; Самара: СамГУПС, 2009. 28 с.

Утвержден на заседании кафедры, протокол № от

Печатается по решению редакционно-издательского совета университета.

Методические указания составлены в соответствии с Государственным образовательным стандартом, с действующей программой по высшей математике для технических специальностей.

В пособии приведены индивидуальные задания, а также необходимые теоретические сведения и примеры решения задач.

Предназначено для студентов первого курса технических специальностей очной формы обучения.

Библиогр.: 5 назв.

Составитель Л.В. Кайдалова, к. ф.-м. н.

Рецензенты: д. ф.-м. н., проф. СамГТУ	Радченко В.П.,
к. ф.-м. н., доцент СамГУПС	Миронов Ф.С.

Кайдалова Л.В.

Самарский государственный университет путей сообщения, 2009

2

П О Р Я Д О К В Ы П О Л Н Е Н И Я И З А Щ И Т Ы Т И П О В О Г О Р А С Ч Е Т А П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е

1.Выполнение учебного задания проводится по графику, устанавливаемому кафедрой высшей математики.

2.Решения задач необходимо представлять в письменном виде. Нумерация задач должна совпадать с их нумерацией в учебном задании.

3.Во время защиты студент должен уметь отвечать па теоретические вопросы, пояснять решения примеров из задания, решать примеры аналогичного типа.

4.Студенты, не отчитавшиеся по типовому расчету, не допускаются к сдаче экзамена по курсу.

5.При выполнении типового расчета необходимо соблюдать следующие пра-

вила:

 на обложке тетради указать Ф.И.О., название предмета, номер группы, номер варианта;

 представлять решения задач последовательно со всеми развернутыми расчетами и краткими пояснениями;

 рисунки выполнять карандашом с использованием чертежного инструмента;

 проверять правильность решения задач.

ЗАДАНИЕ № 1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРА ВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Установить вид и найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка.

1.1.	а)	ln cos y dx x tgy dy 0 ;	б)	(x	2 2xy)dx xy dy 0 ;
	в) xy y x3 ;		г) 2yy x 2y2 ;
	д)	5extgy dx (1 ex )sec2 y dy 0 .
1.2.	а)	y sin(x y) sin(x y) ;	б)	x dy y dx y dy ;
	в) x2 y xy 1 0 ;		г) y y / x y4 x2 ;
	д)	y(cos x 2xy)dx (sin x sin y 2x2 y)dy 0 .
1.3.	а)	xy y y2 ;	б)	(x	2 y2 )dx xy dy 0 ;
	в)	ysin x y cos x 1 ;	г)	y	9x2 y x2 y2 / 3 ;

д) (4x3 y y4 )dx (x4 4y3x)dy 0 .

3

1.4. а) e y (y 1) 1;

б)

x dy y ln

x

dx 0 ;

y

в)

2

1) 4xy 3

;

г)

(x 1)y

y y

2

;

y (x

д) (sin y y sin x)dx (xcos y cos x)dy 0 .

1.5.а) tgx sin2 y dx cos2 x ctgy dy 0 ;

б) xy y

x2 y2 ;

в) y 2xy xe x2 ;

г) xy y2 ln x y 0 ;

д) y dx (x 3y2 )dy 0 .

1.6.

а)

(xy2 x)dx (y x2 y)dy 0 ;

б)

y y / x tg(y / x) ;

в) dx / dt x et ;

г) y y / x y2 0 ;

д)

(ln y y / x)dx (x / y ln x)dy 0 .

1.7.

а)

(xy2 x)dx (x2 y y)dy 0 ;

б)

y

y 2x

;

y 2x

в) y (x 1)3

2y

;

г) 4xy 3y ex x4 y5 ;

x 1

y

x

д)

tgy

dx

tgx

dy 0 .

2

2

cos

x

cos

y

1.8.

а)

(1 x2 )dy y dx 0 ;

б)

y xy x yy ;

в)

xy

г)

y

1 x2 x arcsin x ;

xy

2y

y ;

д) (2x 2y)dx (2x 3y2 )dy 0 .

1.9.

а)

tgx dy / dx y a,

a const ;

б)

xyy y2

2x2 ;

в)

y ay ebx ,

a, b const ;

г)

xy 3y x4 y2 0 ;

д) (yex e y )dx (ex xey )dy 0 .

1.10.

а)

tgx dy tgy dx 0 ;

б)

y dy (x 2y)dx 0 ;

в) (2x 1)y 4x 2y ;

г) xy y y2e2x ;

д)

y exy dx (xexy 1) dy 0 .

y2

y

x

у

1.11.

а)

y

;

б)

xy sin

x y sin

;

x 1

x 1

х

y

в)

y y ctgx 2xsin x ;

г)

y dx (y3

x)dy ;

д) (y 2x)dx (x 3

/ 2)dy 0 .

y

4

1.12.

а)

x

1 y2

y 1 x2 y 0 ;

б)

yy 2y x ;

в)

dx/ dt x sint ;

г)

2

y

3

x

;

3y y

д)

y2 5x2

dx 2y x dy 0 .

2 x

xy y2 2x2 xy y ;

1.13.

а)

yy 2xsec y ;

б)

в)

x2

г)

2

2

dy

3

2

xy

y (x 1)2

0 ;

x y

dx xy

a

, a const ;

д)

x2 3y

4x y dx

dy 0 .

y

1.14.

а)

5extgy dx (ex 1)sec2 y dy ;

б) (x y)dx (y x)dy 0 ;

в) y 2y / x 3x2 y4 / 3 ;

г) (x2 1)y 4xy 3 ;

д)

(sin 2x y)dx (x sin y)dy 0 .

1.15.

а)

(1 x2 )dy 2xy dx 0 ;

б)

(y4 2x3 y) dx (2xy3 x4 ) dy ;

в)

y y tgx sec x ;

г)

3y2 dy (x y3 )dx ;

д)

sec2 x tgy dx sec2 y tgx dy 0 .

1.16.

а)

3y y sin x 3y2 sin x 0 ;

б)

2x2 dy (x2 y2 )dx ;

в) y

2y

(x 1)2 ex ;

г) y y xy3 ;

x 1

д)

(x2 sin y)dx (1 xcos y)dy 0 .

xy 2 y

;

1.17.

а)

sinx sin y dx cos x cosy dy 0 ;

б)

xy

в) y 3y / x 2/ x3 ;

г) y 2y / x y3 / x3 ;

д)

(arcsin x 2xy)dx (x2 1 arctg y) dy 0 .

(x2 y2 )dy 2xy dx ;

1.18.

а)

xy dx (1 y2 )

1 x2 dy 0 ;

б)

в)

xy y x2 cos x ;

г)

(2xy2 y)dx x dy 0 ;

д) 2xy dx (x2 y2 )dy 0 .

1.19.

а)

x yx yy (1 x) 0 ;

б)

xy y

y2 x2

;

в)

y y ctgx sin x ;

г)

(x2 4)y 4y (x 2)y2 0 ;

д)

(2x cos x2 y2 )dx 2xy dy 0 .

1.20.

а)

yy xey

0 ;

б)

xy y2 (2x2

xy)y ;

5

в)

y

y / x x

2

г)

2xy

y

;

y

4

arctgx ;

1 x2

1 x2

д)

2

y

1 y

2

2xy dx x

dy 0 .

1.21. а)

y 3 ln(ln x)dx x ey

2

y

dy

0 ;

б) x ctg

y dx x dy 0 ;

x

в)

(y2 1)dx (2y2 2xy)dy ;

г) y

y

cos

y

;

x

5ex ysin x cos x 3e y y .

x

д)

1.22. а)

1

y sin y

1 cos y 0 ;

3 cos x sin x

б) xy xey / x y ;

в) y xy y ln y ;

(1 x2 )y xy xy2 ;

x

г)

д) 2x

dx

2y

y

x2 dy 0 . 2y2

1.23.

а)

xy y ln y 0 ;

б)

x dy (2

xy y)dx ;

в) t dx (x t sint)dt 0 ;

г)

)x2 y3 xy)y 1 ;

д) (5x4 y)dx (x 5y4 ) dy 0 .

1.24.

а)

(x 2)e y dx y

dy 0 ;

x 1

б)

(6xy 5y2 )dx (y2 10xy 3x2 )dy ;

в)

y dx (x y2 sin y)dy ;

г)

y y / x y4 (1 x2 ) ;

д)

x2 sin y (1 xcos y)y 0 .

1.25.

а)

x

2

y 2xy 3y ;

б)

x dy

x

2

y

2

y

dx ;

в)

y cos x y sin x sin 2x ;

г)

(1 x2 )y xy xy2 ;

д) (yex 2/ x)dx (ex 1/ y)dy 0 .

1.26.

а)

(x y2 y2 )dx (x2 y x2 )dy ;

б)

(xyex / y y2 )dx x2ex / y dy ;

в)	y y cosec x tg		x	;
		2
		sin y			sin x
д)	cos x ln y		dx
		x				y

г) xy y xy2 ln x ;

cos y ln x dy 0 .

1.27. а) sec2 x tgy dx sec2 y tgx dy 0 ;
б) y2 (x y)2 dx xy dy 0 ;	в) xy y x3 ;

6

	г)	xy y y2 ln x ;								д) (y sin x e y )dx (cos x xey ) dy .
1.28.	а)	1 ln2 y			3 ln2		x				; б) (2x 3y)dx (x 2y)dy 0 ;
			dx						dy 0
					y
		x ln y
	в)	y y x 2 ;								г)	y y tgx y2 cos x 0 ;
	д) (3x2 6xy2 ) dx (6x2 y 4y3) dy 0 .
										б) (3y2 3xy x2 )dx (x2 2xy)dy ;
1.29.	а)	(1 x2 )y y			1 x2		xy ;
	в)	(1 x2 )y 2xy (1 x2 )2 ;								г)	yy y2ctgx cos x ;

д) (ex ln y)dx x dy 0 . y

1.30.а) 2x 1 y2 dx e x2

в) y y xex ;

д) (2xy ln y)dx x(x

dy 0 ; б) xy y(1 ln y ln x) 0 ; г) y cos x y sin x y4 ;

1/ y)dy 0 .

ЗАДАНИЕ № 2

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРА ВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА

Найти общее решение или общий интеграл дифференциальных уравнений.

2.1. а) xy y x 0 ; б) y (2y 3) 2(y )2 0 ;

в) (y )2 y 1.

2.2.

а)

xy

(1 2x

2

)y

;

б)

yy

2

;

1 (y )

в)

2

4y

.

(y

)

2.3.

а)

1 ;

б)

2yy

2

;

y tgx y

(y )

в)

xy y 1 x .

2.4.

а)

y

tgx sin 2x ;

б)

yy

2

;

y

1 (y )

в)

yIV tgx

y 1.

2.5.

а)

x

3

y

x

2

y

1;

б)

yy

2

;

(y )

в)

y 2(y 1)ctgx .

2.6.

а)

y

y

3

;

б)

2yy

2

4y

2

;

3(y )

в)

xy y x2 .

2.7.

а)

;

б) (1 x

2

)y

x

3

2xy

;

y xln x y

7

в) xyIV y .

2.8.

а)

xy y x2ex ;

б)

y3 y 1 ;

в)

y

2

.

1 (y

)

2.9.

а)

xy

y

x

2

;

б)

y

y

(1 y ) ;

в)

x

2

y

2

.

(y

)

2.10.

а)

xy

y

0 ;

б)

3y

2

3/ 2

1 (y )

;

в)

xyIV

y x2 .

2.11.

а)

(1 x

2

)y

xy

2 ;

б)

y

2

0

;

(2y 3) 2(y )

в)

y 2(y 1)tgx .

2.12.

а)

2x y

y

2

1;

б)

2yy

2

;

(y )

1 (y )

в)

2

y y

y y

.

(y )

2.13.

а)

xy

y

ln

y

;

б)

2yy

2

;

x

(y )

в)

y

2

.

(y

)

2.14.

а)

(1 x

2

)y

2

1 0 ;

б)

y

2

;

(y )

1 (y )

в)

xy y x 0 .

2

2

2.15.

а)

y

y

x ;

б)

yy

y

;

y

y

(y )

в)

xy

y 0 .

2.16.

а)

2xy

y

0 ;

б)

yy

y

2

y

2

;

(y )

в)

yIV

y x .

2.17.

а)

y

xy

2

;

б)

(y 1) y

2

;

(y )

2( y )

в)

y

2

.

(y

)

2.18.

а)

xy

y

0 ;

б)

yy

y

2

y

2

;

(y )

в)

yV

yIV

x .

2.19.

а)

y

y

x 0 ;

б)

yy

2

y

;

(y )

в)

xyIV

y .

2.20.

а)

y y

2

y

2

;

б)

(y

2

;

(y )

у

)y (y )

в)

(y

2

y

.

)

8

2.21.

а)

(e

x

1)y

y

0

;

б)

yy

2

y

2

;

(y )

в) xyV yIV x2 .

y

x

2

2

2

2.22.

а)

y

;

б)

yy

y

y

(y )

y ;

x

y

в)

y / x yIV

x .

y

sin

3

x ;

y

1

2

2.23.

а)

б)

2

0 ;

2 y ctgx

(y )

1 y

в)

x3 y x2 y 1.

2.24.

а)

(x2 1)y 2xy 0 ;

б)

2yy y 0 ;

в)

(ex 1)yIV

y 0 .

2.25.

а)

y

2

0 ;

б)

yy

2

2

;

2x(y )

(y )

y y

в) xyV yIV .

2.26.

а)

xy xy y ;

б)

y tgx 2y ;

в)

(x 1)y (x 2)(y 1) .

2

y

0 ;

y

2y(y )

2.27.

а)

б)

(1 y2 ) ;

y xln x

в)

xyIV y 0 .

2.28. а) y	y		y
		1 ln			;
	x		x

в) y tgx y sin 2x .

2.29.а) xy y x2 1; в) y y 3(y )2 0 .

2.30. а)	yIV tgx y 1;
в)	y sin4 x sin 2x .

б) 2y y y2 (y )2 ;

б) yy (y )2 ;

б) yy (y )2 y2 y ;

9

ЗАДАНИЕ № 3

ЛИНЕЙНЫЕ ОБЫКНОВЕННЫ Е ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ N - ОГ О ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМ И КОЭФФИЦИЕНТАМ И

Найти частные решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющие заданным начальным условиям, методом неопределенных коэффициентов (п. а) и общие решения дифференциальных уравнений методом вариации произвольных постоянных (п. б).

3.1.	а)	y y x 1; y(0) 0,						y (0) 2 ;
	б)	y 4y 1/ sin2 x .
3.2.	а)	y y 9xe2x ;		y(0) 0, y (0) 5 ;
	б)	y 4y sec 2x .
3.3.	а)	y 3y 4y 17sin x;						y(0) 4,		y (0) 0 ;
	б) y 2y y ex / x .
3.4.	а)	y 5y 6y x2 x; y(0) 0,								y (0) 1/ 9 ;
	б) y y x2 .
3.5.	а)	y y 4ex ; y(0)			4,			y (0) 3;
	б) y 4y 4y e 2x ln x .
3.6.	а)	y 2y 2ex ;		y(1) 1, y (1) 0 ;
	б) y 2y y 3e x								.
						x 1
3.7.	а)	y y 4xex ;		y(0) 1,				y (0) 2 ;
	б)	y y 1/ cos3 x .
3.8.	а)	y 3y 2y e3x (3 4x); y(0) y (0) 0 ;
	б)	y y 1/			.
			cos 2x
3.9.	а)	y 2y 2y xe x ; y(0) y (0) 0 ;
	б)	y 4y 2tgx .
3.10.	а)	y 2y 5y 5x2			4x 2; y(0) 0,						y (0) 2 ;
	б) y 3y 2y			1			.
				ex 1

10