- •Тема 3. Математические модели в форме нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений и методы их решения
- •3.1. Пример формирования модели
- •3.2. Базовые понятия
- •3.3. Методы решения
- •3.3.1. Особенности численных методов решения
- •3.3.1.1. Этапы численного решения нелинейного уравнения
- •3.3.1.2. Отделение корней
- •3.3.1.3. Уточнение корней
- •3.3.1.3.1. Метод половинного деления (дихотомии, бисекции)
- •3.3.1.3.2. Метод Ньютона
- •3.3.1.3.3. Метод итерации
- •3.4. Решение нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений в среде MathCad
- •Информация к решению
- •Фрагмент рабочего документа MathCad
- •Фрагмент рабочего документа MathCad
- •Фрагмент рабочего документа MathCad
- •Фрагмент рабочего документа MathCad
3.3.1.3.2. Метод Ньютона
Требуется решить уравнение , причемиопределены, непрерывны и сохраняют постоянные знаки на отрезке
Рассмотрим геометрическую интерпретацию метода Ньютона (рис. 3.7).
1) Выбираем –начальное приближение корня x*. При этом надо придерживаться следующего правила:
за начальное приближение корня следует принять тот конец отрезка , в котором знак функции совпадает со знаком второй производной, т.е. выполняется условие:
(3.23)
Это условие сходимости метода Ньютона.
Основываясь на свойствах данной функцииf(x) (см. рис. 3.4), делаем вывод: условие сходимости выполняется для точки , поэтому принимаем
2) Вычисляем значение функции . Проводим касательную к кривойв точке. Абсцисса точки пересечения касательной с осью Оx принимается за новое (первое) приближение корня x1.
Известно, что уравнение касательной, проведенной в точке B0 с координатами (x0, f(x0)) к кривой функции f(x), имеет вид:
(3.24)
где x, y – текущие координаты точки, лежащей на касательной.
Для точки x1 сделаем подстановку в уравнение касательной (3.24):
x = x1; (3.25)
(3.26)
получаем:
. (3.27)
Обе части уравнения (3.27) делим на и выражаемx1:
(3.28)
3) Вычисляем значение функции в точкеx1, проводим касательную к кривой в точкеАбсцисса точки пересечения касательной с осью Оx представляет собой второе приближение корня x2:
(3.29)
4) Продолжаем последовательно проводить касательные и определять точки их пересечения с осью Оx. Тогда для текущего k-го приближения корня итерационный процесс реализуется рекуррентной формулой:
(3.30)
Процесс уточнения корня прекращается, когда выполнится условие близости двух последовательных приближений:
(3.31)
Алгоритм, реализующий метод Ньютона, представлен на рис. 3.8.
Блок 4 реализует проверку условия сходимости метода и выбор значения начального приближения (блоки 5, 6).
Блок 10 реализует подсчет количества итераций, 11 – вычисление текущего приближения корня через предыдущее приближение.
Метод Ньютона обладает высокой скоростью сходимости, которая тем выше, чем больше крутизна графика функции в пределах рассматриваемого отрезка. Если численное значение производноймало вблизи корня, то процесс уточнения корня может оказаться очень долгим.
Неудачно выбранное начальное приближение может привести к расходимости метода (см. рис. 3.7): представим, что за начальное приближение x0 принят левый конец отрезка a, касательная, проведенная в точке А0, пересекает ось Оx за пределами заданного отрезка [a,b]. Таким образом, получили первое приближение к корню ‹x1›, еще дальше отстоящее от искомого значения корня x*, чем нулевое приближение .