§ 2.2. Собственно-корреляционные параметрические методы изучения связи. Оценка существенности корреляции

Измерение тесноты и направления связи является важной задачей изучения и количественного измерения взаимосвязи социально-экономических явлений. Оценка тесноты связи между признаками предполагает определение меры соответствия вариации результативного признака от одного (при изучении парных зависимостей) или нескольких (множественных) факторов.

Линейный коэффициент корреляции был впервые введен в начале 90-х гг. XIXв. Пирсоном, Эджвортом и Велдоном и характеризует тесноту и направление связи между двумя коррелируемыми признаками в случае наличия между ними линейной зависимости.

В теории разработаны и на практике применяются различные модификации формул расчета данного коэффициента:

Используя математические свойства средней, получаем:

Преобразования данной формулы позволяют получить следующую формулу линейного коэффициента корреляции:

где – число наблюдений.

Производя расчет по итоговым значениям исходных переменных, линейный коэффициент корреляции можно вычислить по формуле:

Коэффициент корреляции может быть выражен через дисперсии слагаемых:

Линейный коэффициент корреляции имеет большое значение при исследовании социально-экономических явлений и процессов, распределение которых близко к нормальному. Легко доказывается, что условие является необходимым и достаточным для того, чтобы величиныибыли независимы.

Если же , то это означает, что все точкинаходятся на прямой и зависимость междуиявляется функциональной. Указанное положение распространяется также на случай нормального распределения трех и более величин.

Линейный коэффициент корреляции изменяется в пределах от –1 до 1 : .

Оценка линейного коэффициента корреляции

Значение	Характер связи	Интерпретация связи
	Отсутствует
	Прямая	С увеличением увеличивается
	Обратная	С увеличением уменьшается, и наоборот
	Функциональная	Каждому значению факторного признака строго соответствует одно значение результативного признака

Пример. На основе выборочных данных о деловой активности однотипных коммерческих структур оценить тесноту связи между прибылью (тыс. руб.)и затратами на 1 руб. произведенной продукции.

Расчетная таблица для определения коэффициента корреляции

№п/п
1	221	96	21 216	48 841	9 216	-125	15625
2	1 070	77	82 390	1 144 900	5 929	-993	986049
3	1 001	77	77 077	1 002 001	5 929	-924	853776
4	606	89	53 934	367 236	7 921	-517	267289
5	779	82	63 878	606 841	6 724	-697	485809
6	789	81	63 909	622 521	6 561	-708	501264
Сумма	4 466	502	362 404	3 792 340	42 280	-3964	3109812
Средняя	744,33	83,67	60400,67	632056,67	7046,67	-660,7	518302

1.Используя формулу (2), получаем:

;

;

.

2.По формуле (4) значение коэффициента корреляции составило

.

3. По формуле (5) получаем:

.

.

Таким образом, результат по всем формулам одинаков и свидетельствует о сильной обратной связи между изучаемыми признаками.

В случае наличия линейной и нелинейной зависимости между двумя признаками для измерения тесноты связи применяют так называемое корреляционное отношение. Различают эмпирическое и теоретическое корреляционное отношение.

Эмпирические корреляционное отношениерассчитывается по данным группировки, когдахарактеризует отклонения групповых средних результативного показателя от общей средней:

,

где – корреляционное отношение;

– общая дисперсия;

– средняя из частных (групповых) дисперсий;

– межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних).

Все эти дисперсии являются дисперсиями результативного признака.

Теоретическое корреляционное отношениеопределяется по формуле:

,

где – дисперсия выровненных значений результативного признака, т.е. рассчитанных по уравнению регрессии;

– дисперсия эмпирических (фактических) значений результативного признака.

,.

Тогда

объясняется влиянием факторного признака.

Корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1 , и анализ степени тесноты связи полностью соответствует линейному коэффициенту корреляции. Корреляционное отношение является более универсальным показателем тесноты связи по сравнению с линейным коэффициентом корреляции.

При наличии соотношения между вариацией качественных признаков говорят об их ассоциации, взаимосвязанности. Для оценки связи в этом случае используют ряд показателей.

Коэффициент ассоциации и контингенции. Для определения тесноты связи двух качественных признаков, каждый из которых состоит только из двух групп, применяются коэффициенты ассоциации и контингенции. При исследовании связи числовой материал располагают в виде таблиц сопряженности. Для вычисления строится таблица, которая показывает связь между двумя явлениями, каждое из которых должно быть альтернативным, т.е. состоящим из двух качественно отличных друг от друга значений признака (например, хороший, плохой).

Таблица для вычисления коэффициентов ассоциации и контингенции

Коэффициенты определяются по формулам:

ассоциации

контингенции

Коэффициент контингенции всегда меньше коэффициента ассоциации. Связь считается подтвержденной, если или.

Пример. Исследовалась связь между успеваемостью студентов-заочников одного из вузов и работой их по специальности. Результаты обследования характеризуются следующими данными:

Зависимость успеваемости студентов-заочников от работы их по специальности (цифры условные)

Студенты-заочники	Число студентов	Из них
		Получившие положительные оценки	Получившие неудовлетворительные оценки
Работающие по специальности	200	180	20
Не работающие по специальности	200	140	60
Итого	400	320	80

;

.

Таким образом, связь между успеваемостью студентов-заочников и работой их по специальности существенная.

Когда каждый из качественных признаков состоит более чем из двух групп, то для определения тесноты связи возможно применение коэффициента взаимной сопряженностиПирсона-Чупрова.

Вспомогательная таблица для расчета коэффициента взаимной сопряженности:

У X	I	II	…		Всего
I				…
II				…
…				…	…
	…	…	…	…
Итого			…

Эти коэффициенты вычисляются по формулам:

;

,

где – показатель взаимной сопряженности; определяется как сумма отношений квадратов частот каждой клетки таблицы к произведению итоговых частот соответствующего столбца и строки. Вычитая из этой суммы 1, получим:

.

– число значений (групп) первого признака;– число значений (групп) второго признака. Чем ближе величиныик 1, тем связь теснее.

Пример:С помощью коэффициента взаимной сопряженности исследовать связь между себестоимостью продукции и производительностью труда:

Себестоимость	Производительность труда			Итого
	высокая	средняя	низкая
Низкая	19	12	9	40
Средняя	7	18	15	40
Высокая	4	10	26	40
Итого	30	40	50	120

, тогда,,, т.е. связь средняя.