3.2. Примеры выполнения заданий типового расчета

З а д а н и е 1. Заданы координаты точек в полярной системе координат:: 1) построить точки в ПСК; 2) найти координаты данных точек в ДПСК.

Решение.

1) Сначала надо задать ПСК, используя определение 4. Для этого необходимо произвести следующее:

– отметить на плоскости точку О – начало координат (полюс);

– провести через точку О луч ОР (полярная ось);

– от полюса в направлении полярной оси отложить произвольной длины отрезок (принять его за единицу масштаба).

Чтобы изобразить в заданной ПСК точку ,проводим через полюс О луч (полуось) под углом к полярной оси ОР (или повернем полярную ось на угол вокруг точки О против часовой стрелки – замечание 2, подразд. 1.2). Затем отложим на полученном луче от точки О отрезок длиной (две единицы выбранного масштаба). Его конец – искомая точка.

Для построения точки надо провести луч под углом к полярной оси ОР (или повернуть полярную ось на угол вокруг точки О по часовой стрелке) и отложить на нем от точки О отрезок длиной (три единицы масштаба). Его конец – точка.

Для построения точки нужно провести луч , составляющий с полярной осью угол или, что то же, – главное значение угла (замечание 3, подразд. 1.2) и отложить на нем от полюса 3/2 единицы масштаба. Все три заданные точки построены на рис. 10.

2) Выполним вторую часть задания. Найдем прямоугольные декартовы координаты точек. Необходимо воспользоваться формулами (1). Подставляя вместо координаты точкиполучим:

Итак, в ДПСК координаты точки . Аналогично получим координаты точек(рис.11).

Если совместить изображенные в ДПСК и ПСК точки так, чтобы начало координат ДПСК совпало с полюсом ПСК, а направление полярной оси ОР – с направлением оси Ох, то отмеченные точки должны совпасть.

З а д а н и е 2. Заданы координаты точек в ДПСК: . 1) Найти полярные координаты данных точек; 2) построить точки в ПСК и ДПСК, совместив эти системы координат.

Решение.

1) Для нахождения полярных координат заданных точек воспользуемся формулами (2) и (3).

Для точки имеем:,тогда .Так как ,то .Таким образом, в ПСК .

Для точкиимеем:,тогда .Так как ,то Таким образом, в ПСК

Для точки : .Так как ,то .Итак, в ПСК

2) Совместим ПСК с ДПСК и построим точки с заданными и полученными координатами (рис.12). Построение точек в ПСК рассмотрено в задании 1.

З а д а н и е 3. Даны уравнения кривых в ДПСК: . Получить уравнения кривых в ПСК и построить в ПСК: а);б)

Решение.

а) Определим тип кривой: – это окружность с центром в начале координат и радиусом (см. табл. 1).В ПСК уравнение примет вид: , так какПри любом значении полярного угла полярный радиус постоянный и равен(рис.13).

б)Определим тип кривой: – это окружность со смещенным центром (см. табл. 1). Выделяя квадрат в левой части равенства, получим каноническое уравнение: ;.Координаты центра О (0; −3), радиус R = 3. Формулы (2) позволяют найти уравнение этой окружности в ПСК: . Это уравнение распадается на два:и. Первое уравнение при любом представляет полюс – точку О. Второе уравнение дает все точки окружности (в том числе полюс), поэтому первое уравнение можно опустить. Строим кривуюв ПСК.

Воспользуемся правилом построения кривых в ПСК (подразд. 2.6).

1. Решаем неравенство: воспользуемся данными табл. 5:

2. Выбираем значения полярного угла из промежутка : при .

3. Составим таблицу значений и:

	0	3			6			3	0

4. Строим точки с найденными координатами Построение точек в ПСК было рассмотрено в задании 1.

5. Соединим точки плавной линией, получим изображение окружности радиусом R = 3 (рис.14).

З а д а н и е 4. Даны уравнения кривых в ПСК:Построить кривую в ПСК и получить ее уравнение в ДПСК: а) ; б); в).

Решение.

а) Определим тип кривой: – спираль Архимеда (подразд. 2.2).

Воспользуемся правилом построения кривых в ПСК (подразд. 2.6).

1. Найдем пределы изменения полярного угла, решая неравенство . Тогда

2. Выберем главное значение угла . Поскольку– функция не периодическая, то , с учетомимеем

3. Составим таблицу значений иБудем придавать значения полярному углучерез промежуток(выбран произвольно).

Например, при ;

при ;

при ;

при .

Полученные значения записываем в таблицу:

	0
	0

					…
					…

4. По таблице строим точки с найденными полярными координатами :

5. Соединим построенные точки плавной линией, получим изображение спирали Архимеда (рис.15).

Запишем уравнение в ДПСК, используя формулы (2) и (3):

.

б) Определим тип кривой: – окружность со смещенным цент-ром и радиусом R = 4/2 = 2 (см. табл. 1).

Воспользуемся правилом построения кривых в ПСК (подразд. 2.6).

1. Найдем пределы изменения полярного угла, решая неравенство . Тогда(см. табл. 5)

2. Функция периодическая. Таким образом, выберем значения углов из промежутка при

3. Составим таблицу значений и

	0	2			4			2	0

4. Строим точки с найденными координатами

5. Соединим точки плавной линией, получим изображение окружности радиусом R = 2 (рис.16).

Замечание: построение графика можно провести другим способом. Так какфункция четная, т. е., при построении достаточно ограничиваться значениями , а затем отобразить график симметрично относительно полярной оси для углов.

Составим уравнение данной окружности в ДПСК. В силу формул (2) имеем: Приведем полученное уравнение к каноническому виду: – окружность со смещенным вдоль оси Ох центром (2; 0) и радиусом 2.

в) Определим тип кривой: – кардиоида (подразд. 2.3).

Строим заданную кривую.

1. Найдем пределы изменения полярного угла, решая неравенство . Тогда,(см. табл. 5).

2. Функцияпериодическая.Выберем значения полярных углов, т. е. илиУдобнее взять промежуток

3. Составим таблицу значений и

	0
	0			1,5		4,5

			6

	4,5	3	1,5			0

При вычислении значений мы пользовались формулами приведения:

. Например: и т. д.

Можно вычислять значения на калькуляторе.

4. Строим точки с найденными координатами

5. Соединим точки плавной линией, получим кардиоиду (рис.17).

Замечание: построение графика можно провести другим способом. Так какфункция четная, т. е., при построении достаточно ограничиваться значениями а затем отобразить график симметрично относительно полярной оси для углов

При переходе к ДПСК уравнение кардиоиды примет вид: умножим обе части ра-венства на получимили .

З а д а н и е 5. Даны уравнения кривых в ДПСК и ПСК. Построить кривые в ПСК: а) ; б); в); г).

Решение.

а) Определим тип кривой: −лемниската Бернулли (подразд. 2.5). Воспользуемся формулами (2), связывающими декартовы координаты с полярными координатами. Тогда уравнение заданной кривой можно записать в виде: или.,. Это уравнение распадается на два:и.Первое уравнение при любом представляет полюс – точку О. Второе уравнение: дает все точки кардиоиды (в том числе полюс), поэтому первое уравнение можно опустить. Используя формулу , получим:,или . Т. к. . Построим кривую, заданную уравнением: . Воспользуемся правилом построения кривых в ПСК (подразд. 2.6).

1. Функция определена при , что равносильно неравенству (см. табл. 5) или

2. Выбираем значения полярного угла:

при , при

3. Составим таблицу значений и, разбивая полученные в п. 2 отрезки на отрезки длиной

			0
	0		1		0	0		1		0

4. Строим точки с найденными координатами

5. Соединим точки последовательно плавной линией, получим лемнискату Бернулли (рис. 18).

Замечание: данную кривую можно построить другими способами.

1) Поскольку − периодическая функция с периодом, то достаточно построить часть кривой при , а другую половину лемнискаты получить поворотом построенной части на угол

2) Можно учесть и тот факт, что − функция четная. Тогда при построении достаточно ограничиться значениями , а затем отобразить график симметрично относительно прямой,перпендикулярной полярной оси для углов .

б) Определим тип кривой: − «четырехлепестковая роза» (подразд. 2.3).

Строим данную кривую в ПСК.

1. Решаем неравенство или (см. табл. 5),

2. Выбираем значения полярного угла: при , при , при , при

3.Составим таблицу значений и:

			0
	0		3/2	3/4	0	0	3/4

	3/2	3/4	0	0	3/4	3/2	3/4

	0	0	3/4	3/2	3/4	0

4. Строим точки с найденными координатами

5. Соединим точки плавной линией, получим изображение кривой «четырехлепестковая роза» (рис.19).

в) Определим тип кривой: − «трехлепестковая роза» (подразд. 2.3).

Строим данную кривую в ПСК.

1. Решаем неравенство или (см. табл.5):

2. Выбираем значения полярного угла при , при при .

3. Разбивая полученные отрезки на отрезки длиной , составим таблицу значенийи:

	0
	0		4		0	0

	4		0	0		4		0

4. Строим точки с найденными координатами

5. Соединим точки плавной линией, получим изображение кривой «трехлепестковая роза» (рис. 20).

г) Определим тип кривой: − «двухлепестковая роза».

Строим данную кривую в ПСК.

1. Решаем неравенство или (см. табл.5):

2. Выбираем значения полярного угла из промежутка: при , при

3. Составим таблицу значений и:

					0
	0		2		0	0		2		0

4. Строим точки с найденными координатами

5. Соединим точки плавной линией, получим изображение кривой«двухлепестковая роза» (рис. 21).

Библиографический список

1. В ы г о д с к и й М. Я. Справочник по высшей математике / М. Я. В ы -г о д с к и й. М.: Астрель, 2006. 991 с.

2. Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии. 13-е изд. / Н. В. Ефимов. М.: Физматлит, 2004. 496 с.

3. Н а т а н с о н И. П. Краткий курс высшей математики. 10-е изд. / И. П. Н а т а н с о н. СПб: Лань, 2009. 727с

4. П и с ь м е н н ы й Д. Т. Конспект лекций по высшей математике /

Д. Т. П и с ь м е н н ы й. М.: Айрис-Пресс, 2006. Ч. 1. 288 с.

5. П р и в а л о в И. И. Аналитическая геометрия. 38-е изд. / И. И. П р и- в а л о в. СПб: Лань, 2010. 299 с.

35