18. Демографический рост

В демографических исследованиях изучаются изменения возрастной структуры народонаселения. В действительности мужья и жены часто принадлежат к разным возрастным группам, и деторождение зависит как от этого фактора, так и от индивидуальной способности женщин к деторождению. Однако в математической модели, которая будет здесь рассмотрена, детей классифицируют лишь по возрастным группам матерей. При таком способе анализа удобнее всего представлять изменения, происходящие за определенный период, в виде таблицы.

Воз-раст	Кол-во женщин		Кол-во доче-рей на 1940-1955гг.
	на 1940г.	на 1955г.
0-14	14459	16428	4651
15-29	15264	14459	10403
30-44	11346	15264	1374

Обозначим возрастную структуру населения на время переписи 1940г тремя величинами – А₄₀, В₄₀, С₄₀. Тогда А₅₅, В₅₅, С₅₅будут удовлетворять следующим соотношениям:

(21)

Величины, стоящие в круглых скобках в первом соотношении, естественно назвать коэффициентами рождаемости, а величины, стоящие во втором и третьем выражении, - коэффициентами выживаемости. Если предположить, что эти коэффициенты не изменяются во время прогнозирования, то полученные соотношения позволяют прогнозировать возрастной состав с шагом 15 лет. Разумеется, такая постоянность коэффициентов весьма малоправдоподобна, так как рождаемость и смертность зависят либо от случайных, либо от систематически действующих факторов или же от тех и других одновременно. Поэтому исследователь, стремясь приблизиться к реальности, может вводить переменные коэффициенты. Этот процесс приводит к усложнению модели. Методы, применяемые демографами, могут быть распространены на изучение проблем, касающихся экологии и эпидемиологии. Точно так же можно прогнозировать развитие популяций. Состоящих из неодушевленных предметов, таких, как телеграфные столбы, железнодорожные вагоны или жилые дома. В таких случаях нормы рождаемости заменяются нормами вложений, а показатель смертности – показателем износа. При этом модель показывает необходимое пополнение или замену, обеспечивающую надлежащий запас в течение любого желаемого отрезка времени.

Запишем соотношения (21) в матричном виде:

SX₄₀=X₅₅,

где

.

Предположив постоянство матрицы S, можно прогнозировать на любой период:

SX₄₀=X₅₅; SX₅₅=X₇₀; SX₇₀=X₈₅…

или

S³X₄₀=X₈₅…S^X₄₀=X_.

Рассмотрим вопрос о предельном состоянии возрастной структуры Х_. Очевидно, что это связано с изучением матрицыS^. Для простоты предположим, что матрицаSприводится к диагональному виду, т.е. существует матрица Т, такая, что

S=TT^-1.  = Diag (₁, ₂ … _n).

Тогда

S^k=T_kT^-1.

Пусть . Тогда

.

.

Пусть Т₁– собственный столбец, отвечающий собственному значению_1, аY– первая строка матрицы Т^-1. С учетом этого

.

,

где число . Таким образом, предельное состояние возрастной структуры пропорционально собственному столбцу матрицыS, отвечающего максимальному собственному значению.

Упражнения

1. Какой процесс при вычислении предельного состояния выгоднее с точки зрения вычислительной работы:

SX_k =X_k+1илиS^kX.