ТЭС 2011

,

13.Гаусовский случайный шум с нулевым математическим ожиданием и дисперсией поступает на детектор огибающей. Определить, с какой вероятностью сигнал на выходе детектора превышает значения . Сущность задачи проиллюстрировать приведением выражений и графиков .

Решение.

= = х = =

du = dx

14.По каналу связи без памяти передаются двоичные символы и с вероятностями 0.7 и 0.3 соответственно. Этим символам соответствуют сигналы и с амплитудами 0.02 B. В канале связи действует гауссовский шум с дисперсией =10^-4 Вт. Какой символ будет зарегистрирован приемником, принимающим решение по однократному отсчету на интервале T, значения принятого сигнала в момент принятия решения равно z(t₀)=12мВ

Решение: S₁(t)

ПРМ. устр.

S₂(t)

S₁(t)

S₂(t)

а) работающим по правилу идеального наблюдателя

Определяем среднюю вероятность ошибки из выражения

Рош=р(а1)∙р(а1/а2)+р(2) ∙р(а1/а2)

а₁→р₁=0,7 а₂→р₂=0,4

Известно что σ²=10^-4Вт =σ = √σ² = 0,01

Принятие решения осуществляется путем отношения правдоподобия

1.- отношение правдоподобия

2. - пороговое отношение правдоподобия

3.Принятие решения

У нас

Плотность распределения при S1

≥ S₁

б. максимального правдоподобия

Считаем что p(a₁)=p(a₂)=0.5

p_ош = p(s₂/s₁)+p(s₁/S₂)

=1;

≥ S₁

15.В системе связи передаются дискретные сообщения с помощью частотной модуляции ортогональными сигналами и . Необходимо скорость модуляции увеличить в два раза. Какие параметры сигналов и каким образом нужно изменить, чтобы вероятность ошибки осталась прежней. Прием оптимальный, некогерентный.

Решение:

НКГДЧМ

V_зад → h² →p_{ош зад}

V_нов=2V_зад →

если τ_э↓ то Ес↓ p_ош ↑

так как Рош = const,нужно сохранить h²₀=сonst

чтоб не изменилось а/в

Следовательно, чтобы вероятность ошибки осталась прежней, нужно увеличить в 1,4 раза .

16. Показать, что в каналах связи с неопределенной фазой и флуктуационной помехой типа “белого” шума максимальную помехоустойчивость имеет система связи с активной паузой и ортогональными сигналами. Вычислить вероятность ошибки для двоичной системы связи с параметрами: полоса пропускания канала связи 2 кГц; спектральная плотность мощности шума G(f)= 10^-11 Вт/Гц; коэффициент передачи канала связи 10^-8; мощность передаваемого сигнала Р_сигн= 10 Вт. Определить энергетический проигрыш, связанный с незнанием фазы сигнала.

Решение:

Для оценки проигрыша найдем

р_кгош =

Выигрыш

h_кг= по формуле находим

из таблицы в МУ находим что

h=1.7

h²=2,89 то выигрыш составит 1,7 раза

17.В Гауссовском канале связи с отношением сигнал/шум h²=10 передаются с равной вероятностью двоичные сообщения с использованием амплитудной модуляции: скорость передачи 1000 Бод, полоса пропускан

ия канала связи 6 кГц. Определить вероятность ошибки. Предложить меры по повышению помехоустойчивости и оценить ожидаемый при этом выигрыш.

Решение:

ДАМ – V=1000 Бод

пусть КГ h=√10=3,2

Определим вероятность ошибочного приёма символа при ДАМ:

; =1000 Гц;

Для повышения помехоустойчивости нужно увеличить мощность сигнала и снизить полосу передачи сообщения:

Для повышения помехоустойчивости необходимо увеличить мощность сигнала и сократить полосу сигналу.

В нашем случае полоса сокращается в 6 раз, что дало энергетический выигрыш.

18. сигнал на входе оптимального фильтра имеет вид дискретной последовательности 1,1,-1,-1,-1,1,-1. найти и изобразить на рисунке форму сигнала на выходе фильтра.

Решение: Известно, что сигнал на выходе согласованного фильтра представляет собой по форме функцию корреляции входного сигнала сдвинутого вправо по оси t от нуля на величину T_c.

Известно также, что функция корреляции имеет максимум при

Следовательно, найдем вид функции корреляции заданного сигнала.

В общем случае:

n=7

Произведем графический расчет:

1 1-1-1-1 1-1

1 1-1-1-1 1-1

1 1 1 1 1 1 1

1 1-1-1-1 1

1-1 1 1-1-1

1 1-1-1-1

-1-1 1-1 1

1 1-1-1

-1-1-1 1

1 1-1

-1 1 1

1 1

1-1

1

-1

0

Окончательно: .

График имеет вид:

19. Определить, какую мощность должен иметь сигнал с гауссовским законом распределения мгновенных значений для обеспечения пропускной способности 5000 бит/с в непрерывном канале связи с параметрами: полоса пропускания канала связи =1200 Гц, спектральная плотность мощности шума N₀=10 мкВт/Гц.

Решение:

По формуле Шеннона :

;

, где

=, тогда

20. Кодовая комбинация, передаваемая по дискретному каналу связи, состоит из 5 знаков, каждый из которых может быть либо 0, либо 1. Найти вероятность того, что в комбинации будут три нуля.

Решение:

N=5 → a1=0 a2=1

Введем обозначение вероятностей р(1) р(0)

Задачу решим с помощью Бернулли.

Где n количество знаков в комбинации (n=5)

I=3 количество знаков одного типа

число сочетаний

Вероятность того что в комбинации будут 3 нуля(а остальные 2 единицы) равна

21.Телеграфное сообщение состоит из сигналов 0 и 1. статистические свойства помехи таковы, что искажаются в среднем 2/5 сигналов 0 и 1/3 сигналов 1. известно, что среди передаваемых сигналов 0 и 1 встречаются в соотношении 5/3. определить вероятность того, что принят передаваемый сигнал, если:

а) принят сигнал 0;

б) принят сигнал 1

Решние:

С учетом исходных данных введем обозначения

P(1/0)=2/5 вероятность приема 1 при передачe 0

P(0/1)=1/3 вероятность приема 0 при передачe 1

P(0)=5/8 р(1)=3/8

Построим диаграмму сосотояний и переходов

(с учетом вышеприведенных данных)

Р(1)=3/8

Р(0)=5/8

Р(1/0)=2/5

Р(0/1)=1/3

р(1/1) вероятность приема 1 при передачи 1

р(0/0) вероятность приема 0 при передачи 0

Пользуясь Байеса по этому для удобства запишем передаваемые символы а1 и а0,а принимаемые соответственно в1 и в0. Тогда искомые вероятности будут равны:

Вероятность того что передавался 0 (а0) если принят 0 (в0) равна

Соответственно

Р(в0) и р(в1) определяем по формуле полной вероятности с учетом диаграммы состояний и переходов:

Р(в0)=р(в0/а0)∙р(а0)+р(в0/а1)∙р(а1)

Р(в1)=р(в1/а1)∙р(а1)+р(в1/а0)∙р(а0)

Р(в0/а0)=р(0)-Р(1/0)=

Р(в1/а1)=р(1)-Р(0/1)=

Далее находим р(в0) и р(в1)

р(в1)=1-р(в0)= 1-0,265=0,735

Окончательно находим

22.Посланный радиолокатором сигнал, отражаясь от цели принимается из-за наличия помех с вероятностью 0,85. Какова вероятность того, что при пятикратной передаче сигнал будет принят 4 раза ? Не менее 4 раз ? Какое число принятых сигналов будет наивероятнейшим?

Решение:

Решаем с помощью формулы Бернулли.

Р_n= [1]

А) е=4 – сигнал принят 4 раза

Р₅(4)= ,где р=0,85

Следовательно Р₅(4)=5∙0,85⁴∙(1-0,85)¹=0,39

Б) Сигнал принят не менее 4 раз т.е. 4и5 раз

Р₅(≥4)=Р₅(4)+Р₅(5)

Р₅(4)=0,39

Р₅(5)=Р_прпр=р⁵=0,85⁵=0,44

Так как в соответствии с ф-лой [1] С⁵₅ =1 (1-р)=1

Р₅(≥4)=0,39+0,44=0,813

Наиболее вероятным является случай приема сигнала 5 раз

23. известно, что 70 процентов вех сообщений передано по кабельной линии связи (КЛС), а 30 по радиорелейной линии связи(РРЛ). Вследствие воздействия помех принимаются без искажений 90 процентов всех сообщений по КЛС; по РРЛ- 60 процентов.Определить вероятность того, что:

а) первые два наугад выбранные сообщения переданы по КЛС; по РРЛ

б) первое наугад выбранное сообщение окажется неискаженным и при этом переданным по КЛС; по РРЛ.

Решение:

А) Р_КЛС(2)=р_клс∙р_клс = р_клс²=0,7²=0,49

Р_ррл(2)=р_ррл∙р_ррл = р_ррл²=0,3²=0,09

Б) Р_{нескКЛС}(1)=р_клс∙р_{прпрклс} = 0,7∙0,9=0,63

Р_{нескррл}(1)=р_ррл∙р_{прпрррл} = 0,3∙0,6=0,18

Рклс = 0,7 Рклспл =0,9

КЛС

Рклсош =0,1

ИДС

ПС

Ррлл = 0,3

РРЛ

Ррллпл = 0,6

Ррллош = 0,4

24. По каналу связи, подверженному воздействию помех, передается одна из двух команд управления в виде кодовых комбинаций 11111 или 00000, причем априорные вероятности передачи этих команд соответственно равны 0,6 и 0,4. Из-за наличия помех вероятность правильного приема каждого из символов (0 или 1) уменьшается до 0,06.Предполагается, что символы кодовых комбинаций искажаются независимо друг от друга. На выходе приемного устройства зарегистрирована комбинация 10110. определить, какая команда была передана (с какой вероятностью)?

Решение:

А=11111 р(А)=0,6

В=00000 р(В)=0,4

Р(1/1)=Р(0/0)=0,06

1111111010 Р(2”0”)=Р_прпр³*(1-Р_прпр)²=0.06³*(1-0.06)²=0.0002

0000011010 P(3“1”)= Р_прпр²*(1-Р_прпр)³=0.06²*(1-0.06)³=0.003

Р(2”0”)*р(А)=0.0002*0.6=0.00012

P(3“1”)* р(В)=0.003*0.4=0.0012

P(3“1”)> Р(2”0”)

Поэтому считаем, что передавался сигнал 00000

Находим вероятность приема 10110 для двух случаев а)Передавалось А1=11111 тогда искажено 2 эл-та “1”

Тогда Р(В/А1)=р³_прпр(1)∙р²_непрпр(1)

Р_непрпр(1)=1-р_прпр(1)=1-0,06=0,94

Следовательно Р(В/А)=0,06³∙0,94²=0,00019

б)Передавалась комбинация А0=00000 тогда для приема комбинации 10110 должно быть искажено 3 эл-та “0”

следовательно Р(В/А0)=р²_прпр(0)∙р³_непрпр(0)=0,06²∙0,94³=0,003

Вывод : была передана та комбинация для которой Р(В/Аi)больше. Следовательно передавалась комбинация 00000.

25.Производящий многочлен циклического кода (8,5) имеет вид g(x)=x³+x+1. Найти проверочные элементы кода для заданных информационных элементов кода вида 10011 и записать полученную 7-значную комбинацию. Проиллюстрировать также случай обнаружения однократной ошибки.

Решение.

Циклическое кодирование производиться следующим образом:

а. Передаваемая кодовая комбинация F(x)=10011 умножается на x^r , где r- количество проверочных элементов. Это эквивалентно дополнению информационной части r-нулями справа для выравнивания разрядности для деления на g(x).

g(x)=x³+x+1 представим в двоичном виде- 1011.

10011000 1011

1011 1010

1010

1011

100

б. В результате деления получаем остаток R(x)=100- это проверочные элементы, они добавляются к F(x) справа.

Обнаружение ошибок:

Для обнаружения ошибок принятый сигнал F(x) делим на g(x) и получаем остаток Q(x). При Q(x)=0 ошибок нет либо они не обнаружены, иначе ошибки имеются.

Введем в F(x) ошибку в третьем символе.

10011100 1011

1011 101

1011

1011

0

Q(x)=0, значит ошибка не обнаружена.

10111100 1011

1011 1001

01100

1011

111

Q(x)≠0, значит ошибка обнаружена.

37