ТЭС 2011
.docТЭС
-
Сообщения передаются пятиэлементным кодом с равновероятными элементами по Гауссовскому каналу связи со скоростью V=1000 Бод сигналами фазовой модуляции при отношении сигнал/шум h2=5
Рассчитать вероятность неправильного приема кодовой комбинации. Для повышения помехоустойчивости используется корректирующий код(n,k)=(9,5), исправляющий однократные ошибки tош=1. Рассчитать вероятность ошибочного декодирования принимаемых комбинаций при исправлении ошибок.
Решение:
Р –вероятность ошибочного приема одного элемента . q-вероятность правильного приема=1-р. Рпр=q1*q2*q3*q4*q5=q5. Р непр=1-(1-р)5.
Р определяется из формулы: рош=1/2(1-Ф(∙h))
Ф-интеграл вероятности, находим по таблице Методических указаний, приняв что х=3,15
h=√h2=√5=2,23 рош=1/2(1-Ф(∙2,23))=8,2 ∙10-4
Р непр=1-(1-8,2∙10-4)5=0,004
Исправление ошибок: (n,к)=(9.5) Для расчета необходимо пользоваться распределением кратностей ошибки (tош) .0<= tош<=n(ошибочный прием).
PПР пр + РНЕПР ПР = 1,
РПР пр = 1-Рнепрпр = 1-0,004=0,996
Т.к. канал гаусовский , то ошибки будут незначительными и их кратность определяется биномиальным законом распределения. tош=рtош (1-р)n*tош
Рn(tош)=∑Сntош * рtош (1-р)n-tош
Обычно составляющие при tош >=3 пренебрежимо малы.
Посчитаем для двух составляющих
PОШ.ДЕК = C92 p2(1- p)9-2 + C93 p3(1- p)9-3 =36∙0,004 ∙(1-0,004)+
+ 83 0,004 ∙(1-0.004)= 0,00056+0,0000052 =0,00057 .
-
Определить амплитуды сигналов на входе идеального приемника Котельникова при дискретной фазовой модуляции (ДФМ) для следующих условий: априорные вероятности передачи сигналов равны ; спектральная плотность мощности флуктуационной помехи на входе приемника ; средняя вероятность ошибки .
Решение:
Пусть V= 1000 Бод
Так как используется ДФМ, то pош находим по формуле
,
где -отношение средней мощности сигнала к средней мощности помехи:
, отсюда следует, что
с другой стороны , чтобы найти , необходимо определить .
Пользуясь таблицей методических указаниях для практических работ, найдем :
√2∙h = 3,10 = = 2,19
Известно, что , , тогда
Вт, тогда
Вт.
Очевидно, что , тогда В
Ответ: =В.
-
На входе фильтра, согласованного с дискретным сигналом вида 1,-1,1,-1,1, имеющим амплитуду 1 В и общую длительность 5 мкс, действует сигнал и белый шум со спектральной плотностью . Изобразить временную диаграмму заданного сигнала и определить отношение сигнал/шум на выходе фильтра.
Решение:
Временная диаграмма заданного сигнала выглядит следующим образом:
τЭЛ
Ut
1
1
1
-1
-1
t
Tс
Отношение сигнал/шум в данном случае находится по формуле:
;
Причем ;
; тогда
;
.
Ответ: =5.
4. При заданной реализации принимаемого сигнала z(t) апостериорные вероятности передаваемых сигналов «1» и «0» равны 0,7 и 0,3 соответственно. Какой символ зарегистрирует приемник, оптимальный по критерию максимального правдоподобия.
Решение: при наличии помех сигналы искажаются и для их описания используют вероятностное пространство, сами сигналы вместе с помехами описываются функциями плотности вероятности W(z/x1) и W(z/x2).
Проверим решение
>
0.7 > 0.3
Отсюда следует что будет принят сигнал «1»
5. Непрерывный гауссовский канал связи используется для передачи двоичных равновероятных сообщений со скоростью 1000 Бод. Полоса пропускания канала связи 4 кГц, отношение сигнал/шум
. Вычислить коэффициент использования пропускной способности канала связи.
Решение:
Поскольку коэффициент использования пропускной способности канала связи находится по формуле:
, то
решение задачи сводится к нахождению пропускной способности канала по формуле Шеннона:
;
Так как канал непрерывный, то пропускная способность канала ровна:
,
причем , тогда:
.
Найдем R:
,
где =2 – основание кода;
, тогда
.
Ответ: = .
6. Определить энтропию, избыточность и производительность двоичного источника дискретных сообщений, у которого априорная вероятность передачи символа равна 0.3, а скорость передачи 9600 Бод.
Решение:
Энтропия источника сообщений – среднее количество информации, приходящееся на одно сообщение, находится по формуле:
.
Избыточность находим по следующей формуле:
Производительность источника определяется количеством информации, передаваемой в единицу времени:
Рассчитаем эти величины.
а. Поскольку в данной задаче используется двоичный код
,
то найдем исходя из того, что полная группа событий:
+=1
=1-0.3=0.7
Пользуясь таблицей на странице 63 в методических указаниях для практических работ нейдем значение энтропии:
б. Найдем избыточность.
Поскольку
,
где ,
то
в. Для того, чтобы рассчитать
производительность, найдем
Ответ:,,
7. Закодировать сообщение источника с зависимыми сообщениями и для передачи:
а. Равномерным двоичным кодом;
б. Оптимальным кодом Шеннона-Фано, объединяя по два элемента.
Вычислить производительность источника и избыточность в обоих случаях и сравнить их между собой для следующих исходных данных: ; ; вероятности переходов ;; полная энтропия источника .
Решение:
а. Равномерный код.
;
б. Оптимальный код Шеннона-Фано
Статистическое кодирование предполагает использование неравномерного кода
Для этого:
-
Все комбинации записываются в порядке убывания вероятностей
-
Начиная снизу комбинации объединяются попарно, а их вероятности складываются пока не дойдем до верху.
-
Определяем структуру комбинаций путем обхода кодового дерева от узла к сообщению.
-
Находится средняя длительность сообщения непрерывного кода, которая должна быть
1
0,49 0 0
0 10
0,21
0,51 1
110
0,21 0
0,3 1
0,09 1 111
А Равномерный код
Для равномерного кода сообщения кодируются следующими комбинациями:
00 – кодируется 1-ое сообщение; 01 – кодируется второе сообщение; 10 – кодируется 3-ье сообщение; 11 – кодируется 4-ое сообщение.
Б. Оптимальный неравномерный код
При неравномерном коде сообщения кодируются следующим образом:
Например: сообщение 1 кодируем символом «0» тогда символ «1» является запрещенным;
сообщение 2 кодируем комбинацией «01» остальные являются запрещенными;
сообщение 3 кодируем комбинацией «001»;
сообщение 4 кодируем комбинацией «0001».
Видно что равномерный код более удобен так как сообщение кодируется комбинацией символов с постоянной длинной когда как при неравномерном коде сообщения кодируется переменной длинной комбинацией символов. Для нашего случая при равномерном коде одно сообщение кодируется 2 символами а при неравномерном коде при кодировании каждого следующего сообщения количество элементов увеличивается на один.
8.Сообщение передается последовательностью амплитудно-модулированных импульсов с заданным шагом квантования . На сообщение накладываются шумы с нормальным законом распределения вероятности и дисперсией . Определить величину минимально допустимого шага квантования, при котором вероятность ошибки из-за шумов не превысит значения 0.05 (как известно, ошибка при квантовании возникает при условии, что мгновенное значение шума превышает половину шага квантования).
В соответствии с теоремой Котельникова любой непериодический сигнал U(t) можно представить отсчетами равным где Fв граничная частота исходного непрерывного сигнала шаг дискретизации (по Котельникову)
Niразр=Nmax=2N-1
Вероятность ошибки квантования, при условии что уровень шума
Из таблицы методических указаний находим, что будет при х=1.6 равно .
Окончательно
9.На электронное реле воздействует случайное напряжение с релеевской плотностью распределения вероятностей и дисперсией =1 В2. Определить вероятность срабатывания реле при условии, что порог срабатывания реле равен 2 В. Сущность задачи проиллюстрировать приведением графиков .
- это закон Релея
σ2=1в2=в Uпор=2в
= = х = =0,135
du = dx
2
10. Вследствие замираний амплитуда радиосигнала на приеме случайна и распределена по закону Релея с дисперсией =2 В2. Радиосигнал принимается на три разнесенные антенны, так что сигналы в каждой из антенн являются независимыми. Вычислить вероятность
того, что сигнал на всех антеннах одновременно уменьшится ниже уровня 1,5 В.
= = х = = 0,32
du = dx
1,5
- т.к события не зависимы вероятность того, что сигнал уменьшится ниже уровня 1,5В на одной антенне
p1,2,3(Uc123‹1,5)=(p1(Uc1‹1,5в))3
Вероятность того, что сигнал уменьшится на трех антеннах сразу равен:
11.Определить требуемую полосу пропускания канала передачи телевизионного изображения объемом 5 .105 элементов при 25 кадрах в секунду и 8 равновероятных градациях яркости для соотношения сигнал/шум и при условии, что изображение может принимать вид белого шума (т.е. наиболее хаотичный вид).
Решение:
Расчет основан на теореме Шеннона для пропускной способности непрерывного канала связи
V=5∙105∙25=1,25∙107 бит Необходимо учесть 8 градаций яркости для этого нужен 3-х разрядный код
n=log28 = 3 бит/1 эл-т
С=V∙N=1.25∙107∙3 = 3.75∙107 бит/с
Отсюда находим полосу пропускания
Ответ: =8.5
12. Непрерывное сообщение с верхней границей спектра преобразуется методом ИКМ в двоичный сигнал с количеством уровней квантования 256. определить скорость передачи двоичных символов в канале связи.
Решение:
U(t)→ Fв = 3 кГц
В соответствии с теоремой Котельникова находим
на Δtдолжно быть «уложено» длительность τэл →
Скорость передачи находим по формуле:
;