- •Глава 2. Векторная алгебра.
- •2.1. Линейные операции над векторами
- •2.1.2. Сложение векторов
- •2.2. Задачи
- •Домашнее задание.
- •2.3. Проекция вектора на ось и ее свойства
- •2.3.1. Декартова прямоугольная система координат.
- •2.4. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис.
- •2.5. Задачи
- •Домашнее задание.
- •2.6. Скалярное произведение векторов
- •2.6.1. Алгебраические свойства скалярного произведения
- •2.7. Задачи
- •Домашнее задание.
- •2.8. Векторное произведение векторов
- •2.8.1. Свойства векторного произведения
- •2.8.2. Векторное произведение в декартовых координатах
- •2.9. Задачи
- •Домашнее задание.
- •2.10. Смешанное произведение векторов
- •2.10.1. Смешанное произведение в декартовых координатах
- •2.10.2. Свойства смешанного произведения
- •2.11. Задачи
- •Домашнее задание.
Домашнее задание.
8. Векторы инеколлинеарны,,. Найти.
9. В параллелепипеде обозначены:,,.
Построить векторы:
а) ; б); в).
10. Сторона треугольника разделена на три равные части точками,.
Векторы ,являются сторонами треугольника.
Найти и.
11. В правильном шестиугольнике векторы,.
Найти ,,,.
12. В декартовой прямоугольной системе координат заданы векторы
, ,,.
Вычислить:
а) ; б) координаты ортавектора;
в) направляющие косинусы вектора ; г).
13. Вектор образует с осямииуглы,и. Найти угол, который образует векторс осью, и координаты вектора.
Ответы. 2. 13, 13. 4. ;;.
5. ,,,. 6. а),;
б) ; в) (-3;4;8); г) -3, 4, 8. 7.,. 8. 24.
10. ;. 11.,,
, . 12. а); б);
в) ; г) 1. 13.,.
2.3. Проекция вектора на ось и ее свойства
Дан вектор и декартова осьu. Опустим из точек А и B перпендикуляры на ось и обозначим через точки пересечения их с осьюu. Проекцией вектора на осьназывается величина направленного отрезкаосиu и обозначается . Угол наклона векторак осиu определяется как угол между двумя лучами, исходящими из произвольной точки М, один из которых имеет направление, совпадающее с направлением вектора , а другой – направление, совпадающее с направлением осиu. Рассмотрим теперь понятие числовой проекции вектора на осьu.
Числовой проекцией вектора на осьu называется произведение длины вектора на косинус угла между вектороми осьюu.
. При этом , где - единичный вектор осиu. Основное свойство числовой проекции состоит в том, что линейные операции над векторами приводят к линейным же операциям над проекциями этих векторов:
1. .
2. .
Доказательство. 1. Пусть . Тогда. Или по определению числовой проекции.
2. Пусть . Тогда. Пусть теперь, т.е.. Тогда.
2.3.1. Декартова прямоугольная система координат.
|
Обычно координаты радиуса-вектора записывают в виде или. По теореме Пифагора. Если обозначить буквамиуглы наклона векторак осямX, Y, Z соответственно, то ;;. Три числаназываются направляющими косинусами радиус-вектора. Их можно определить через координаты радиус-вектора:
; ;.
Очевидно, что .
Рассмотрим теперь вектор . Поскольку, то
и аналогично для всех остальных проекций вектора . Тогда можем записать координаты вектора:
,
где - координаты вектора. Они не зависят, как и должно быть, от положения начальной точки вектора. Очевидно, чтои остаются в силе все остальные соотношения для направляющих косинусов вектора. В силу связи между проекцией векторана оси координат и его числовыми проекциями
; ;. Тогда имеем:
.
Представление вектора в виденазывается также разложением этого вектора по декартовому базису.
Рассмотрим теперь выражения для линейных операций над векторами, когда эти векторы представлены своими декартовыми координатами. Пусть
.
Поскольку координаты этих векторов являются числовыми проекциями, то на основании изложенных выше свойств числовых проекций можно записать
, .
Нетрудно видеть, что линейные операции над координатами векторов совпадают с линейными операциям для матриц, если рассматривать совокупность координат каждого вектора как матрицу, состоящую из одной строки и трех столбцов (вектор-строка). Поэтому координаты вектора можно представлять как вектор-строку или как вектор-столбец.