5.2 Параметры (характеристики) помехоустойчивых кодов и их границы. Корректирующие свойства кодов.

Основными характеристиками помехоустойчивых кодов являются:

1. Длина кода n;

2. Основание кода m;

3. Общее число кодовых комбинаций N;

4. Число разрешенных кодовых комбинаций N_р;

5. Избыточность кода ;

6. Кодовое расстояние d.

Длина кода - число символов в кодовой комбинации n. Если кодовые комбинации содержат одинаковое число символов, то они называются равномерными.

Основание кода - это число различных символов кода, т.е это основание системы счисления, которую используют для кодирования.

Если коды двоичные, то .

Число разрешенных кодовых комбинаций N_р для разделимых определяется из общего числа выходных последовательностей только последовательностями, соответствующими входным.

Главное, что запрещенные кодовые комбинации для передачи информации не используются.

Избыточность кода в общем случае определяется выражением:

Избыточность кода показывает, какая доля кодовых комбинаций не используется для передачи информации, а используется для повышения помехоустойчивости.

Для двоичных кодов соответственно можно выразить через:

- относительная скорость кода

Кодовое расстояние d - число позиций, в которых две кодовые комбинации отличаются друг от друга. Кодовое расстояние можно найти в результате сложения по модулю 2 одноименных разрядов кодовой комбинации.

Например. A=01101

B=10111

11010 → d=3

Кодовое расстояние часто называют кодом Хемминга. Кодовое расстояние между различными комбинациями конкретного кода может быть различным.

Минимальное кодовое расстояние - это минимальное расстояние между разрешенными кодовыми комбинациями данного кода. является основной характеристикой корректирующей способности кода.

Декодирование после приема может производиться таким образом, что принятая комбинация отождествляется с той разрешенной, которая находится от нее на наименьшем кодовом расстоянии. Такое декодирование называется декодированием по методу максимального правдоподобия.

Например, при d=1 все кодовые комбинации называют разрешенными. Пусть n=3 , кодовые комбинации: 000, 001, 010, 100, 110, 111, 101. Любая одиночная ошибка в таком коде переводит заданную разрешенную комбинацию в другую разрешенную комбинацию. Это случай без избыточного кода, не обладающего корректирующей способностью.

Если предположить, что d=2, и для n=3 сформируем набор разрешенных комбинаций:

000, 011, 101, 110 - разрешенные комбинации;

001, 010, 100, 111 - запрещенные комбинации.

При этом однократная ошибка переведет кодовую комбинацию из категории разрешенных в категорию запрещенных. Этот факт позволяет обнаружить наличие ошибки. Эти ошибки будут обнаружены, если кратность их нечетная. При d=2 и более в кодах появляется корректирующее свойство.

В общем случае при необходимости обнаружения ошибки с кратностью s очевидно, что (граница обнаружения ошибки кратностью s).

Для исправления одиночной ошибки в разрешенной кодовой комбинации необходимо составить подмножества кодовых комбинаций, зная, в каком подмножестве запрещенных кодовых комбинаций окажется принятая, можно точно восстановить переданную комбинацию, т.е. исправить ошибки.

Рассмотрим случай, когда d=3 и n=3.

001

010

100

Разрешенные кодовые комбинации