Числовые данные
i1=-0,036;
i2=-0,809;
i3=0,315;
i4=-0,265;
i5=0,471;
i6=-0,386;
i7=0,576;
i8=-0,556;
i9=0,508;
i10=0,477;
K=3
Решение
а) найдите оценку параметра A методом моментов, если известно, что выборка сделана из равномерного распределения U(–1;A)
Решение. Известно, что для равномерно распределенной на отрезке случайной величины математическое ожидание может быть вычислено по формуле. Точеной оценкой математического ожидания является среднее арифметическое.
В нашем случае имеем .
б) найдите оценку методом моментов параметра B, если известно, что выборка сделана из равномерного распределения U(-B;B).
Решение. Известно, что для равномерно распределенной на отрезке случайной величины дисперсия может быть вычислено по формуле. Точеной оценкой дисперсии является выборочная дисперсия.
В нашем случае имеем
в) найдите оценки методом максимального правдоподобия параметров c и C, если известно, что выборка сделана из равномерного распределения U(c; C);
Решение.
Запишем функцию плотности вероятностей
.
Пусть , тогда
Составим функцию правдоподобия:
если ,, …,, т.е, то
.
Если , то, поскольку в этом случае хотя бы один из сомножителейуказанного произведения обращается в нуль.
График функции правдоподобия при оценке параметра равномерного распределения имеет вид
Наибольшее значение функции правдоподобия находиться в точке , т.е..
г) найдите (и сравните) оценки параметра L методом моментов и методом максимального правдоподобия, если известно, что выборка сделана из экспоненциального EL распределения;
Решение. Пусть наблюдаемая в эксперименте случайная величина имеет экспоненциальное распределение с плотностью
Применяя метод максимального правдоподобия, найдем точечную оценку для параметра .
Составим функцию правдоподобия
.
Применяя операцию логарифмирования, получаем
.
Следовательно, уравнение правдоподобия имеет вид
.
Применяя метод моментов, найдем точечную оценку для параметра .
Найдем математическое ожидание случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение:
Так как точеной оценкой математического ожидания является среднее арифметическое , то получаем.
Применяя два различных метода, мы получили один и тот же результат
д) найдите оценку параметра m методом моментов, если известно, что выборка сделана из нормального распределения N(m, 1).
Решение. Пусть непрерывная случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами и.
Тогда плотность вероятности имеет вид
.
Найдем математическое ожидание случайной величины :
.
Первый интеграл равен нулю как интеграл от нечетной функции по симметричному относительно начала координат промежутку, второй интеграл - интеграл Эйлера-Пуассона.
Так как точеной оценкой математического ожидания является среднее арифметическое , то получаем
е) найдите оценки параметров M и S любым известным методом, если известно, что выборка сделана из нормального распределения N(M, S);
Решение. Пусть непрерывная случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами и.
Тогда плотность вероятности имеет вид
.
Найдем математическое ожидание случайной величины :
.
Первый интеграл равен нулю как интеграл от нечетной функции по симметричному относительно начала координат промежутку, второй интеграл - интеграл Эйлера-Пуассона.
Так как точеной оценкой математического ожидания является среднее арифметическое , то получаем
Найдем дисперсию случайной величины :
.
Точеной оценкой дисперсии является выборочная дисперсия .
Поэтому
ж) постройте гистограмму и полигон по выборке, количество интервалов — 3;
Найдем максимальное и минимальное значения по выборке:
, .
Размах варьирования .
Рассмотрим три равных частичных интервала, в которые попадают все элементы выборки
|
[-0,81;-0,34] |
[-0,34;0,13] |
[0,13;0,6] |
|
3 |
2 |
5 |
з) в каждом из пунктов (а) — (е) оцените близость данного теоретического распределения к эмпирическому на основе критерия Пирсона; какое из распределений (а) — (е) лучше описывает выборку?
Решение.
|
[-0,81;-0,41] |
[-0,41;-0,01] |
[-0,01;0,39] |
[0,39;0,79] |
|
2 |
3 |
1 |
4 |
В пункте а) была найдена оценка параметра .
Найдем плотность предполагаемого равномерного распределения на отрезке
,
Найдем теоретические частоты:
,
,
,
Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона
|
|
|
|
|
|
[-0,81;-0,41] |
2 |
1,94 |
0,06 |
0,0036 |
0,0019 |
[-0,41;-0,01] |
3 |
1,94 |
1,06 |
1,1236 |
0,5792 |
[-0,01;0,39] |
1 |
1,94 |
-0,94 |
0,8836 |
0,4555 |
[0,39;0,79] |
4 |
1,94 |
2,06 |
4,2436 |
2,1874 |
сумма |
10 |
|
|
|
|
Найдем по таблице критических точек распределения по уровню значимостии числу степеней свободыкритическую точку правосторонней критической области.
Так как наблюдаемое значение критерия меньше критического значения критерия (3,224<3,8), то делаем вывод о том, что наблюдения согласуются с равномерным распределением на рассматриваемом отрезке на уровне значимости .
В пункте б) была найдена оценка параметра .
Найдем плотность предполагаемого равномерного распределения на отрезке
,
Найдем теоретические частоты:
,
,
,
Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона
|
|
|
|
|
|
[-0,81;-0,41] |
2 |
2,4 |
-0,4 |
0,16 |
0,0667 |
[-0,41;-0,01] |
3 |
2,4 |
0,6 |
0,36 |
0,15 |
[-0,01;0,39] |
1 |
2,4 |
-1,4 |
1,96 |
0,8167 |
[0,39;0,79] |
4 |
2,4 |
1,6 |
2,56 |
1,0667 |
сумма |
10 |
|
|
|
|
Найдем по таблице критических точек распределения по уровню значимостии числу степеней свободыкритическую точку правосторонней критической области.
Так как наблюдаемое значение критерия меньше критического значения критерия (2,1001<3,8), то делаем вывод о том, что наблюдения согласуются с равномерным распределением на рассматриваемом отрезке на уровне значимости .
В пункте u) была найдена оценка параметра .
Найдем плотность предполагаемого экспоненциального распределения ,
Найдем теоретические частоты:
,
,
,
Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона
|
|
|
|
|
[-0,81;-0,41] |
2 |
8419603071104 |
-8419603071102 |
8419603071100 |
[-0,41;-0,01] |
3 |
10870723 |
-10870720 |
10870715 |
[-0,01;0,39] |
1 |
474,6 |
-473,6 |
472,6 |
[0,39;0,79] |
4 |
0,0007 |
3б9993 |
22849,14 |
сумма |
10 |
|
|
|
Найдем по таблице критических точек распределения по уровню значимостии числу степеней свободыкритическую точку правосторонней критической области.
Так как наблюдаемое значение критерия значительно больше критического значения критерия , то делаем вывод о том, что наблюдения не согласуются с экспоненциальным распределением на уровне значимости .
В пункте д) была найдена оценка параметра .
Найдем плотность предполагаемого нормального распределения с парметрами 0,0295 и 1
,
Найдем теоретические частоты:
,
,
,
Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона
|
|
|
|
|
|
[-0,81;-0,41] |
1 |
1,295 |
-0,295 |
0,16 |
0,067 |
[-0,41;-0,01] |
3 |
1,54 |
1,46 |
2,1316 |
1,38 |
[-0,01;0,39] |
1 |
1,57 |
-0,57 |
0,3249 |
0,21 |
[0,39;0,79] |
4 |
1,36 |
2,64 |
6,9696 |
5,12 |
сумма |
10 |
|
|
|
|
Найдем по таблице критических точек распределения по уровню значимостии числу степеней свободыкритическую точку правосторонней критической области.
Так как наблюдаемое значение критерия больше критического значения критерия , то делаем вывод о том, что наблюдения не согласуются с нормальным распределением с параметрами 0, 0295 и 1 на уровне значимости .
В пункте е) была найдена оценка параметра ,
Найдем плотность предполагаемого нормального распределения с парметрами 0,0295 и 0,48
,
Найдем теоретические частоты:
,
,
,
Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона
|
|
|
|
|
|
[-0,81;-0,41] |
1 |
1,39 |
-0,39 |
0,1521 |
0,109 |
[-0,41;-0,01] |
3 |
2,89 |
0,11 |
0,0121 |
0,004 |
[-0,01;0,39] |
1 |
3,05 |
-2,05 |
4,2025 |
1,378 |
[0,39;0,79] |
4 |
1,7 |
2,3 |
5,29 |
3,112 |
сумма |
10 |
|
|
|
|
Найдем по таблице критических точек распределения по уровню значимостии числу степеней свободыкритическую точку правосторонней критической области.
Так как наблюдаемое значение критерия больше критического значения критерия , то делаем вывод о том, что наблюдения не согласуются с нормальным распределением с параметрами 0, 0295 и 0,48 на уровне значимости .
Из представленных распределений указанная выборка лучше всего согласуется с равномерным распределением на отрезке , т.к. в этом случае получено наименьшее наблюдаемое значение критерия.