Мет. указ. к КР
.pdf
|
100,1 А 1 |
|
|
|
и порядок фильтра |
|
|
|
|
|
100,1Amin 1 |
|||
|
lg |
|
|
|
|
2 |
|||
m |
|
|
. |
|
|
|
|
2lg 3
(2.33)
(2.34)
В случае, если полученное значение mне удовлетворяет заданным требованиям, необходимо изменить значения f2, f3 и повторить расчет.
Далее для выбранного порядка фильтра m находят полюсы передаточной функции НЧ-прототипа по формулам:
рˆк |
1 |
2k 1 |
|
2k 1 |
|
|
|
(2.35) |
|||||||
|
|
|
|
sin |
|
|
|
jcos |
|
|
|
, |
k 1,2...2m |
||
|
|
|
2m |
2m |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим полюсы передаточной функции аналогового полосового фильтра по известным полюсам НЧ-прототипа. Для этого воспользуемся соотношением:
p |
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
j |
2 |
2 |
(2.36) |
|
i |
|
|
i |
||||||||||
i, jПФ |
2 |
|
i |
|
2 |
|
i |
|
0 |
|
||||
Здесь 2 f2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f2 - ширина полосы пропускания ; |
|
|
||||||||||||
0 2 f0 - центральная частота ПП фильтра; |
|
|
|
|||||||||||
i j i - i |
-ый полюс передаточной функции НЧпрототипа. |
|
Одной паре комплексно-сопряженных полюсов передаточной функции НЧ-прототипа соответствует две пары комплексно-сопряженных полюсов передаточной функции аналогового полосового фильтра. Одному вещественному полюсу НЧ-прототипа соответствует одна пара комплексно -сопряженных полюсов Н р аналогового полосового фильтра.
На втором этапе формируют передаточную функцию аналогового полосового фильтра в виде произведения сомножителей второго порядка:
H p |
a1p |
|
|
a2 p |
|
|
am p |
|
||
|
|
|
|
|
. |
(2.37) |
||||
p2 b p b |
p2 b p b |
p2 b |
p b |
|||||||
|
1 |
01 |
|
2 |
02 |
|
m |
0m |
|
Каждый сомножитель соответствует одной паре комплексносопряженных полюсов. Коэффициенты числителя и знаменателя определяются из следующих соотношений:
a a |
|
a |
|
|
|
|
(2.38) |
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
2 |
|
m |
|
m |
|
|
где bi 2 i ; b0i i2 i2.
i и i - действительная и мнимая части i-го полюса передаточной функции ПФ.
В результате найдена денормированная передаточная функция аналогового полосового фильтра.
21
Перейдем от передаточной функции аналогового полосового фильтра к передаточной функции дискретного полосового фильтра. Переменные р и z связаны между собой билинейным преобразованием:
p |
2 |
|
1 z 1 |
, |
(2.39) |
|
1 z 1 |
||||
|
T |
|
|
где Т – период дискретизации.
Применение данного преобразования приводит к искажению частотных характеристик аналогового фильтра. Для исключения таких искажений существуют методы, изучаемые в курсе ЦОС.
Для уменьшения искажений в наших расчетах воспользуемся формулой:
p |
1 z 1 |
, |
(2.40) |
|
1 z 1 |
||||
|
|
|
где определяется из условия совпадения центральных частот аналогового и дискретного полосовых фильтров:
2 f0 |
ctg |
f0 |
, |
(2.41) |
|
||||
|
|
fд |
|
где f0 - центральная частота полосы пропускания, fд - частота дискретизации.
Для того, чтобы получить передаточную функцию полосового БИХфильтра, подставим формулу 2.40 в выражение 2.37, в результате получим выражение вида:
|
|
|
H z |
|
|
|
1 z 2 |
|
|
|
|
|
1 z 2 |
|
|
|
1 z 2 |
|
, (2.42) |
|||||||||
|
|
|
1 b |
|
z 1 |
b |
|
z 2 |
|
|
|
z 1 |
b |
z 2 |
|
z 1 b |
z 2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 b |
|
1 b |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11ц |
|
21ц |
|
|
|
12ц |
|
|
22ц |
|
|
1mц |
2mц |
|
|
|||
где - постоянный умножитель на входе, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
a1 a2 am |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
c1 c2 |
cm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
с b |
|
b0i |
- вспомогательная переменная |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
i |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bi, |
|
b0i - коэффициенты полинома знаменателя i го аналогового полосового |
||||||||||||||||||||||||||
фильтра |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b b0i |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
b |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
b |
|
0i |
|
|
|
|
|
, |
|
|
b |
|
|
|
i |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1iц |
|
|
|
|
ci |
|
|
|
|
|
|
2iц |
|
|
|
|
|
ci |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Каждый сомножитель передаточной функции реализуется в виде дискретной канонической рекурсивной схемы второго порядка. Звенья соединяются каскадно.
Расчет фильтра заканчивается построением его полной схемы с указанием значений элементов и расчетом его частотных характеристик. К частотным характеристикам относятся комплексная частотная характеристика фильтра, а также зависимость ослабления от частоты. Расчет той и другой характеристик
22
производится на основе передаточной функции H z путем замены z ej T .
При этом вначале на выбранных частотах рассчитывают H j отдельных звеньев, а затем всего фильтра, используя соотношение:
m |
|
H j Hi j . |
(2.43) |
i 1 |
|
Так как частотная характеристика дискретной цепи – функция периодическая, ее достаточно рассчитать в диапазоне частот 0 д .
Для дальнейшего расчета сигнала на выходе фильтра число расчетных точек H j должно совпасть с числом отсчетов дискретного сигнала на периоде.
Зависимость ослабления от частоты |
A |
определяют по формуле |
|
||
A 20lg |
1 |
|
. |
(2.44) |
|
|
H j |
||||
|
|
|
|
В число расчетных частот необходимо включить граничные частоты полос пропускания и непропускания.
ПРИМЕР РАСЧЕТА: Требуется рассчитать БИХ-фильтр для выделения второй гармоники при частоте генерируемых колебаний 10 кГц, Неравномерность ослабления в ПП А 1дБ , минимально допустимое ослабление в ПН Amin 20дБ (рис. 2.13), порядок НЧ-прототипа равен m 2, период дискретизации Т 6,25мкс.
Частота 2-ой гармоники равна 20 кГц, следовательно, 0= 20 кГц. Выберем границу полосы пропускания f2 21,025кГц и границу полосы не-
пропускания |
f3 25кГц. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f02 |
|
|
f02 |
|
Так как f0 |
|
|
|
|
|
|
|
f3 , то |
f2 |
19,025кГц, |
f3 |
16кГц. |
|||
|
f |
2 |
f2 |
|
f3 |
|
|
||||||||
|
f2 |
f3 |
Определим требования к НЧ-прототипу:
|
|
|
f |
|
f |
25 103 16 103 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3 |
|
100,1 А 1 |
100,11 |
|
|
||||||
|
3 |
|
|
3 |
|
|
4,5 |
|
1 0,509 |
|||||
f2 |
f2 |
|
||||||||||||
|
|
|
21025 19025 |
|
|
|
|
|
|
Определим порядок фильтра Баттерворта по формуле 2.34.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100,1Amin |
1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lg |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
Для всех вариантов должно выполняться неравенство: 1 |
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2lg 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f2 и f3 , |
|||||
Если это неравенство не выполняется, необходимо изменить значения |
|
||||||||||||||||||||
но так, чтобы f3 f0 |
fг |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
100,1Amin |
1 |
|
|
100,120 |
1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
lg |
|
|
|
|
|
lg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0,509 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||
Для рассматриваемого примера |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,98 |
||||||||
|
2lg 3 |
|
|
|
2lg0,509 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23
При округлении в большую сторону до целого числа m 2. Полученный порядок фильтра удовлетворяет требованиям, можно продолжать расчет.
Запишем выражение для квадрата АЧХ передаточной функции:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
j |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
. |
(2.45) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 2m |
1 0,5092 4 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Определим полюсы квадрата АЧХ по формуле 2.35 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
рˆк |
1 |
2k 1 |
|
|
|
|
2k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
и выберем те, которые |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
sin |
|
|
|
jcos |
|
|
|
|
|
, |
k 1,2,3,4 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
находятся в левой полуплоскости: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
p2 |
|
1 |
|
0,7071 j0,7071 0,9913 j0,9913, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
1 |
|
0,7071 j0,7071 0,9913 j0,9913. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для отыскания полюсов передаточной функции аналогового полосового |
||||||||||||||||||||||||||||||||
фильтра воспользуемся соотношением 2.36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
j |
|
2 |
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
i |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i, jПФ |
2 |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
0 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
где 2 f2 f2 2 21025 19025 12566,37рад/с;
02 2 f0 2 4 104 2 1,5791 1010 радс 2 .
Полученные значения полюсов удобно представить в виде таблицы.
Таблица 2.8 – Значения полюсов аналогового полосового фильтра
Номер полюса |
Полюсы Н р полосового фильтра |
||
104 |
j 104 |
||
|
|||
1,3 |
0,5920 |
11,9436 |
|
2,4 |
0,6537 |
13,1892 |
Передаточная функция ПФ может быть записана в виде произведения двух сомножителей второго порядка
|
|
|
H p |
|
a1p |
|
|
|
a2 p |
|
, |
(2.46) |
|||||
|
|
|
p2 b p b |
p2 |
b p b |
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
01 |
|
|
2 |
02 |
|
|
||||||
где |
а1 а2 |
|
|
|
12566,37 |
|
17616. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
m |
2 0,509 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты при р в знаменателях сомножителей bi 2 i ,а свободные члены b0i i2 i2. Их значения сведем в таблицу 2.9.
24
Таблица 2.9 – Значения коэффициентов передаточной функции аналогового полосового фильтра
|
|
Номер со- |
|
|
|
|
Значения коэффициентов |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
множителя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ai |
|
bi |
|
|
|
|
|
b0i |
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
1,7616 · 104 |
|
1,1839 · 104 |
|
1,4300 · 1010 |
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
1,7616 · 104 |
|
1,3074 · 104 |
|
1,7438 · 1010 |
|
|
|
||||||||||||
|
Тогда передаточная функция искомого ПФ будет иметь вид |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
H p |
|
|
|
|
17616p |
|
|
|
|
|
|
|
17616p |
(2.47) |
|||||||||
|
|
|
p |
2 |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
p |
2 |
|
10 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
11839p 1,4300 10 |
|
13074p 1,7438 10 |
|
||||||||||||||||
Для того, чтобы перейти к передаточной функции БИХ-фильтра, выпол- |
|||||||||||||||||||||||||
ним замену в выражении (2.47): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
p |
1 z 1 |
, |
где 2 f |
0 |
ctg |
f0 |
|
2 20 103 |
ctg |
20 103 |
303379 |
|
|||||||||||||
|
fд |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1 z 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
160 103 |
|
Передаточная функция БИХ-фильтра может быть записана в виде произведения постоянного сомножителя и двух сомножителей второго порядка:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H z |
|
|
|
|
1 z 2 |
|
|
|
|
|
1 z 2 |
|
|
, |
(2.48) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 b |
|
z 1 |
b |
z |
2 |
|
1 b |
z 1 b |
z 2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11ц |
|
21ц |
|
|
|
|
|
12ц |
22ц |
|
|
|
|
где - постоянный умножитель на входе, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
a1 a2 |
, |
|
|
с b |
b0i |
- вспомогательная переменная |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
c c |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b b0i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
b |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
b |
|
0i |
|
|
|
|
|
, |
b |
|
|
i |
|
|
. Их значения сведем в таблицу |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1iц |
|
|
|
|
|
|
|
ci |
|
|
|
|
2iц |
|
|
|
|
ci |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таблица 2.10 – Значения коэффициентов дискретного фильтра |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Номер со- |
|
|
сi |
|
|
|
|
|
|
|
b1iц |
|
|
|
|
|
|
b2iц |
|
|
|
|
||||||||
множителя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
362353,9 |
|
|
|
|
-1,4143 |
|
|
0,9347 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
373933,7 |
|
|
|
|
-1,3152 |
|
|
|
|
0,9301 |
|
|
|
|
|||||||
Определим значение постоянного умножителя на входе дискретной цепи |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a a |
|
|
|
176162 |
|
|
|
|
|
2,29 10 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
c1 c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
362353,9 373933,7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Передаточная функция искомого БИХ-фильтра с учетом полученного значения коэффициента имеет вид:
H z 2,29 10 3 |
|
1 z 2 |
|
1 z 2 |
. Данная |
|
|
|
0,9301z 2 |
||||
|
1 1,4143z 1 0,9347z 2 |
1 1,3152z 1 |
|
схема реализуется каскадным соединением умножителя и двух рекурсивных звеньев второго порядка. Схема БИХ-фильтра приведена на рисунке 2.11
25
Комплексную частотную характеристику БИХ-фильтра получим из пере-
даточной функции H z , выполнив замену |
z ej T , тогда H j запишем: |
||||||||||||||
H j 2,29 10 3 |
|
|
1 e j2 T |
|
|
|
|
|
|
|
1 e j2 T |
||||
|
|
0,9347e j2 T |
|
|
|
|
|
0,9301e j2 T |
|||||||
|
|
1 1,4143e j T |
|
1 1,3152e j T |
|||||||||||
Расчет выполним для нормированной частоты |
|
|
f |
, тогда |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
1 e j4 |
|
|
|
|
|
д |
fд |
|
|||
H j 2,29 10 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 e j4 |
|||
|
j2 |
0,9347e |
j4 |
|
|
|
j2 |
j4 |
|||||||
|
1 1,4143e |
|
|
|
1 1,3152e |
0,9301e |
Результаты расчета частотной характеристики фильтра приведены в таблице
2.11.
U1 z |
|
|
+ |
+ |
+ |
U2 z |
|
+ |
|
|
|
||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
1 |
|
|
z 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b11ц |
|
|
|
b12ц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z 1 |
|
z 1 |
|
|
|||
|
|
|
|
||||
b21ц |
|
|
1 |
b22ц |
|
1 |
Рис. 2.14 – Схема БИХ-фильтра
Таблица 2.11 – Результаты расчета частотной характеристики фильтра
f ,кГц |
|
Н1 |
1 |
Н2 |
2 |
Н |
|
0 |
0 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,000 |
0,00 |
10 |
0,0625 |
2,05 |
86,17 |
1,63 |
86,73 |
0,008 |
172,89 |
20 |
0,125 |
21,61 |
-45,07 |
20,20 |
45,07 |
1,000 |
0,00 |
30 |
0,1875 |
2,73 |
-84,88 |
3,18 |
-83,61 |
0,020 |
-168,49 |
40 |
0,25 |
1,41 |
-87,35 |
1,52 |
-86,96 |
0,005 |
-174,31 |
50 |
0,3125 |
0,86 |
-88,40 |
0,90 |
-88,20 |
0,002 |
-176,59 |
60 |
0,375 |
0,51 |
-89,05 |
0,53 |
-88,94 |
0,001 |
-177,99 |
70 |
0,4375 |
0,24 |
-89,55 |
0,25 |
-89,51 |
0,000 |
-179,06 |
80 |
0,5 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,000 |
0,00 |
90 |
0,5625 |
0,24 |
89,55 |
0,25 |
89,51 |
0,000 |
179,06 |
100 |
0,625 |
0,51 |
89,05 |
0,53 |
88,94 |
0,001 |
177,99 |
110 |
0,6875 |
0,86 |
88,40 |
0,90 |
88,20 |
0,002 |
176,59 |
120 |
0,75 |
1,41 |
87,35 |
1,52 |
86,96 |
0,005 |
174,31 |
130 |
0,8125 |
2,73 |
84,88 |
3,18 |
83,61 |
0,020 |
168,49 |
140 |
0,875 |
21,61 |
45,07 |
20,20 |
-45,07 |
1,000 |
0,00 |
150 |
0,9375 |
2,05 |
-86,17 |
1,63 |
-86,73 |
0,008 |
-172,89 |
26
По результатам расчета построим график АЧХ цепи.
H f
1
-40 |
0 |
40 |
80 |
120 |
160 |
200 f ,кГц |
|
|
|
|
|
2 |
t, рад |
Рисунок. 2.15 АЧХ полосового БИХ-фильтра.
В результате получена характеристика полосового фильтра с периодом повторения, равным частоте дискретизации.
Ослабление фильтра связано с частотной характеристикой выражением:
1
A 20lg H j .
В силу нелинейности преобразования 2.40 границы полосы пропускания и полосы непропускания дискретного БИХ-фильтра не будут совпадать с соответствующими значениями аналогового фильтра. Найдем их из соотношения
|
а |
tg |
fц |
, |
(2.49) |
|
|||||
|
|
fд |
|
||
|
|
|
|
Где а- частота аналогового фильтра, fц - частота цифрового фильтра.
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fц |
fд |
arctg |
|
|
2 fа |
|
|
|
|
(2.50) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
В результате расчета получили: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
f |
д |
|
|
|
|
|
2 f |
|
|
|
|
|
160 103 |
|
|
|
2 16 103 |
|
|
|||||||||||||||
f3ц |
|
|
|
arctg |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
16,30кГц |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
303379 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
f2ц |
|
f |
д |
|
|
|
|
2 f |
|
|
|
|
|
|
160 103 |
|
|
|
|
2 19,025 103 |
|||||||||||||||||
|
|
arctg |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
19,12кГц |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
303379 |
|
|
||||||||||||||||||||
f2ц |
|
fд |
arctg |
2 f2 |
|
|
160 103 |
arctg |
|
2 21,025 103 |
20,91кГц |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
303379 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
f3ц |
|
|
fд |
arctg |
2 f3 |
|
|
160 103 |
arctg |
2 25 103 |
24,33кГц |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
303379 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим ослабление в диапазоне частот f3ц f3ц , результаты запишем в таблицу 2.12.
27
Таблица 2.12 – Результаты расчета ослабления фильтра
|
f ,кГц |
|
Н1 |
Н2 |
Н |
А |
|
16 |
0,1000 |
7,55 |
4,71 |
0,081 |
21,78 |
f3ц |
16,3 |
0,1019 |
8,37 |
5,05 |
0,097 |
20,28 |
|
16,5 |
0,1031 |
9,00 |
5,30 |
0,109 |
19,23 |
|
17 |
0,1063 |
11,00 |
6,04 |
0,152 |
16,36 |
|
17,5 |
0,1094 |
13,92 |
6,96 |
0,222 |
13,07 |
|
18 |
0,1125 |
18,32 |
8,17 |
0,343 |
9,30 |
|
18,5 |
0,1156 |
24,68 |
9,79 |
0,553 |
5,14 |
|
19 |
0,1188 |
30,30 |
12,06 |
0,837 |
1,55 |
f2ц |
19,12 |
0,1195 |
30,61 |
12,74 |
0,893 |
0,98 |
|
19,5 |
0,1219 |
28,06 |
15,36 |
0,987 |
0,11 |
f0 |
20 |
0,1250 |
21,61 |
20,20 |
1,000 |
0,00 |
|
20,5 |
0,1281 |
16,52 |
26,12 |
0,988 |
0,10 |
f2ц |
20,91 |
0,1307 |
13,64 |
28,6 |
0,894 |
0,98 |
|
21 |
0,1313 |
13,13 |
28,46 |
0,856 |
1,35 |
|
21,5 |
0,1344 |
10,82 |
24,15 |
0,599 |
4,46 |
|
22 |
0,1375 |
9,19 |
18,67 |
0,393 |
8,11 |
|
22,5 |
0,1406 |
7,98 |
14,63 |
0,268 |
11,45 |
|
23 |
0,1438 |
7,06 |
11,88 |
0,192 |
14,34 |
|
23,5 |
0,1469 |
6,33 |
9,95 |
0,144 |
16,83 |
|
24 |
0,1500 |
5,73 |
8,54 |
0,112 |
19,00 |
f3ц |
24,33 |
0,1521 |
5,4 |
7,81 |
0,097 |
20,29 |
|
24,5 |
0,1531 |
5,25 |
7,48 |
0,090 |
20,92 |
|
25 |
0,1563 |
4,84 |
6,66 |
0,074 |
22,64 |
По результатам расчета построим графики АЧХ и ослабления цепи.
H f
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
16 18 20 22 24 f ,кГц
Рисунок 2.15 – График АЧХ БИХ-фильтра в диапазоне частот f3ц f3ц
28
A f , дБ
25
20
15
10
5
0
16 |
18 |
20 |
22 |
24 f ,кГц |
Рисунок. 2.16 – |
График ослабления БИХ-фильтра в диапазоне частот f3ц f3ц |
Проверим, соответствуют ли ослабление спроектированного фильтра исходным требованиям.
По результатам расчета видим, что:
ослабление на границе полосы пропускания
А f2ц 0,98дБ 1дБ; А fц2 0,98дБ 1дБ
ослабление на границе полосы непропускания
А f3ц 20,28дБ 20дБ ; А fц3 20,29дБ 20дБ .
Очевидно, что требования, заданные при проектировании выполнены.
2.5 Расчет сигнала на выходе БИХ-фильтра
Зная отсчеты спектра входного сигнала U1 jk 1 , определим отсчеты спектра выходного сигнала
U2 jk 1 U1 jk 1 H jk 1 , |
(2.51) |
где H jk 1 - значения комплексной частотной характеристики на соответст-
вующих частотах.
Результаты расчетов можно представить в виде таблицы 2.13.
29
Таблица 2.13 – Результаты расчета спектра сигнала на выходе БИХ-фильтра.
f ,кГц |
k |
U1 k 1 |
1 k 1 |
Н k 1 |
k 1 |
U2 k 1 |
2 k 1 |
0 |
0 |
2,66 |
0,0 |
0,000 |
0,00 |
0 |
0,00 |
10 |
1 |
2,59 |
0,0 |
0,008 |
172,89 |
0,020 |
172,89 |
20 |
2 |
2,41 |
0,0 |
1,000 |
0,00 |
2,407 |
0,00 |
30 |
3 |
2,13 |
0,0 |
0,020 |
-168,49 |
0,042 |
-168,49 |
40 |
4 |
1,80 |
0,0 |
0,005 |
-174,31 |
0,009 |
-174,31 |
50 |
5 |
1,47 |
0,0 |
0,002 |
-176,59 |
0,003 |
-176,59 |
60 |
6 |
1,19 |
0,0 |
0,001 |
-177,99 |
0,001 |
-177,99 |
70 |
7 |
1,01 |
0,0 |
0,000 |
-179,06 |
0,000 |
-179,06 |
80 |
8 |
0,94 |
0,0 |
0,000 |
0,00 |
0,000 |
0,00 |
90 |
9 |
1,01 |
0,0 |
0,000 |
179,06 |
0,000 |
179,06 |
100 |
10 |
1,19 |
0,0 |
0,001 |
177,99 |
0,001 |
177,99 |
110 |
11 |
1,47 |
0,0 |
0,002 |
176,59 |
0,003 |
176,59 |
120 |
12 |
1,80 |
0,0 |
0,005 |
174,31 |
0,009 |
174,31 |
130 |
13 |
2,13 |
0,0 |
0,020 |
168,49 |
0,042 |
168,49 |
140 |
14 |
2,41 |
0,0 |
1,000 |
0,00 |
2,407 |
0,00 |
150 |
15 |
2,59 |
0,0 |
0,008 |
-172,89 |
0,020 |
-172,89 |
Применим к полученным значениям U2 jk 1 ОДПФ, в результате получим отсчеты дискретного сигнала на выходе БИХ-фильтра.
|
1 |
N 1 |
2 |
|
|
1 |
15 |
|
|
||
u2 n |
U2 jk 1 ej |
|
nk |
|
U2 jk 1 ej |
|
nk |
(2.52) |
|||
N |
8 |
||||||||||
|
|
|
|||||||||
|
N k 0 |
|
|
|
16k 0 |
|
|
|
Результаты расчетов представим в виде таблицы 2.14 Таблица 2.14 – Отсчеты дискретного сигнала на выходе БИХ-фильтра.
n |
nT,мкс |
u2 n ,В |
0 |
0 |
0,292 |
1 |
6,25 |
0,210 |
2 |
12,5 |
0,004 |
3 |
18,75 |
-0,210 |
4 |
25 |
-0,303 |
5 |
26,25 |
-0,217 |
6 |
32,5 |
-0,001 |
7 |
38,75 |
0,218 |
8 |
50 |
0,308 |
9 |
56,25 |
0,216 |
10 |
62,5 |
-0,002 |
11 |
68,75 |
-0,216 |
12 |
75 |
-0,301 |
13 |
81,25 |
-0,208 |
14 |
87,5 |
0,003 |
15 |
93,75 |
0,208 |
16 |
100 |
0,292 |
30