5. Дифференциальное уравнение колебаний математического маятника

Математический маятникпредставляет собой материальную точку, подвешенную на идеальной (невесомой и нерастяжимой) нити (Рис.1).

Основной закон динамики вращательного движения маятника: . ЗдесьM– момент сил, действующих на маятник,I– его момент инерции относительно точки подвеса нити,– угловое ускорение,- угол отклонения нити от вертикального направления – положения равновесия маятника. Маятник совершает колебательные движения благодаря действию силы тяжести, возвращающей его к положению равновесия. Момент этой силы представляет собой векторное произведение радиус-вектора, проведенного из точки подвеса нити до центра масс маятника, и силы тяжести:. Легко показать, что вектор момента возвращающей силы и вектор углового смещения противоположны по направлению (например, на рисунке 1 оба вектора перпендикулярны плоскости рисунка, но вектор углового смещения направлен к зрителю, а вектор момента силы тяжести от него). Следовательно, можем записать скалярное соотношение:. В результате основной закон динамики примет вид. Это выражение описывает движение как математического, так и физического маятника. В последнем случае величинаLобозначает расстояние между осью вращения и центром масс маятника.

Рис.1 Изображение рабочего окна программы для изучения свободных колебаний математического маятника.

Будем считать, что угол отклонения маятника мал, а значит (вместо синуса угла будем использовать его угловую меру, выраженную в радианах). Момент инерции математического маятника(момент инерции материальной точки, движущейся по окружности с радиусомL). Сделав указанные подстановки, окончательно получим. Форма данное выражения полностью соответствует уравнению (1), а значит его решение может быть записано в виде, аналогичном выражениям (2):

, где. (5)

Поскольку в момент времени t=0угол отклонения равен₀, начальная фаза равна нулю. Период колебаний математического маятника без затухания.

В рассмотренной выше системе отсутствовали диссипативные силы, а значит колебания происходили без затухания. Между тем, при движении тела в любой вязкой среде (в том числе в воздухе) на тело действует сила трения, величина которой при малой скорости движения пропорциональна скорости тела, а направление противоположно ей: . Эта сила направлена по касательной к траектории, а значит для ее момента можно записать скалярное выражение. Учитывая, что, уравнение вращательного движения приобретает следующий вид:. Подставляя сюдаи принимая угол отклонения маятника малым (), получим окончательно:

. (6)

В соответствии с формулами (3) и (4), решение этого уравнения имеет вид

, где. (7)

Величина представляет собой коэффициент затухания колебаний, аналогичный параметрув формулах (3) и (4). Приb=0система совершает гармонические колебания с циклической частотой₀. По мере роста коэффициента трения частота колебаний уменьшается, а значит период колебаний растет, пока при критическом значениипериод не обратится в бесконечность, то есть колебания в системе полностью прекратятся.