5. Несовместная система линейных уравнений.

Ниже приводится пример решения такой системы. Сама система здесь не приводится, но ее расширенная матрица – это исходная матрица компьютерной выдачи.

Gauss Method. Transformation to E - matrix.

5 6 1

1.0 2.0 -3.0 4.0 -2.0 -1.0

2.0 -1.0 3.0 -4.0 -4.0 8.0

3.0 1.0 -1.0 2.0 -6.0 3.0

4.0 3.0 4.0 2.0 -8.0 -2.0

1.0 -1.0 -1.0 2.0 -2.0 -3.0

1 4 4.000

.250 .500 -.750 1.000 -.500 -.250

3.000 1.000 .000 .000 -6.000 7.000

2.500 .000 .500 .000 -5.000 3.500

3.500 2.000 5.500 .000 -7.000 -1.500

.500 -2.000 .500 .000 -1.000 -2.500

2 5 -6.000

.000 .417 -.750 1.000 .000 -.833

-.500 -.167 .000 .000 1.000 -1.167

.000 -.833 .500 .000 .000 -2.333

.000 .833 5.500 .000 .000 -9.667

.000 -2.167 .500 .000 .000 -3.667

3 2 -.833

.000 .000 -.500 1.000 .000 -2.000

-.500 .000 -.100 .000 1.000 -.700

.000 1.000 -.600 .000 .000 2.800

.000 .000 6.000 .000 .000-12.000

.000 .000 -.800 .000 .000 2.400

4 3 6.000

.000 .000 .000 1.000 .000 -3.000

-.500 .000 .000 .000 1.000 -.900

.000 1.000 .000 .000 .000 1.600

.000 .000 1.000 .000 .000 -2.000

.000 .000 .000 .000 .000 .800

There are no roots

Последняя строка последней матрицы из компьютерной выдачи указывает на то, что система несовместна. Действительно, 0  0.8.

6. Приведение матрицы системы к треугольному виду.

В линейной алгебре часто используют другой вариант метода Гаусса, состоящий в том, что матрица системы элементарными преобразованиями строк превращается в треугольную матрицу. В этом случае для получения решения системы требуется “обратный ход”. Ниже приведено компьютерное решение задачи (1) этим методом.

Gauss Method. Transformation to triangular matrix.

5 6 1

1.0 2.0 -3.0 4.0 -1.0 -1.0

2.0 -1.0 3.0 -4.0 2.0 8.0

3.0 1.0 -1.0 2.0 -1.0 3.0

4.0 3.0 4.0 2.0 2.0 -2.0

1.0 -1.0 -1.0 2.0 -3.0 -3.0

1 4 4.000

.250 .500 -.750 1.000 -.250 -.250

3.000 1.000 .000 .000 1.000 7.000

2.500 .000 .500 .000 -.500 3.500

3.500 2.000 5.500 .000 2.500 -1.500

.500 -2.000 .500 .000 -2.500 -2.500

2 1 3.000

.250 .500 -.750 1.000 -.250 -.250

1.000 .333 .000 .000 .333 2.333

.000 -.833 .500 .000 -1.333 -2.333

.000 .833 5.500 .000 1.333 -9.667

.000 -2.167 .500 .000 -2.667 -3.667

3 5 -1.333

.250 .500 -.750 1.000 -.250 -.250

1.000 .333 .000 .000 .333 2.333

.000 .625 -.375 .000 1.000 1.750

.000 .000 6.000 .000 .000-12.000

.000 -.500 -.500 .000 .000 1.000

4 3 6.000

.250 .500 -.750 1.000 -.250 -.250

1.000 .333 .000 .000 .333 2.333

.000 .625 -.375 .000 1.000 1.750

.000 .000 1.000 .000 .000 -2.000

.000 -.500 .000 .000 .000 .000

5 2 -.500

.250 .500 -.750 1.000 -.250 -.250

1.000 .333 .000 .000 .333 2.333

.000 .625 -.375 .000 1.000 1.750

.000 .000 1.000 .000 .000 -2.000

.000 1.000 .000 .000 .000 .000

48.000 - Result of Multiplication of the main elements

Rearrangement of Columns

1.000 .250 -.250 -.750 .500 -.250

.000 1.000 .333 .000 .333 2.333

.000 .000 1.000 -.375 .625 1.750

.000 .000 .000 1.000 .000 -2.000

.000 .000 .000 .000 1.000 .000

1.000 .250 -.250 -.750 .000 -.250

.000 1.000 .333 .000 .000 2.333

.000 .000 1.000 -.375 .000 1.750

.000 .000 .000 1.000 .000 -2.000

.000 .000 .000 .000 1.000 .000

1.000 .250 -.250 .000 .000 -1.750

.000 1.000 .333 .000 .000 2.333

.000 .000 1.000 .000 .000 1.000

.000 .000 .000 1.000 .000 -2.000

.000 .000 .000 .000 1.000 .000

1.000 .250 .000 .000 .000 -1.500

.000 1.000 .000 .000 .000 2.000

.000 .000 1.000 .000 .000 1.000

.000 .000 .000 1.000 .000 -2.000

.000 .000 .000 .000 1.000 .000

1.000 .000 .000 .000 .000 -2.000

.000 1.000 .000 .000 .000 2.000

.000 .000 1.000 .000 .000 1.000

.000 .000 .000 1.000 .000 -2.000

.000 .000 .000 .000 1.000 .000

Determinant = 48.000

Roots

X4 = -2.000

X1 = 2.000

X5 = 1.000

X3 = -2.000

X2 = .000

Вычисление обратной матрицы методом Гаусса

Способ нахождения обратной матрицы, основанный на вычислении алгебраических дополнений элементов матрицы, требует выполнения большого числа арифметических операций и на практике не используется. Здесь на конкретном примере покажем, как можно найти обратную матрицу методом Гаусса.

Пусть требуется найти обратную матрицу А^-1 для матрицы (2, 6) предыдущего параграфа. Заменим столбец свободных членов в системе

(1, 6) столбцом

1.000

0.000

В = 0.000 (1)

0.000

0.000

Получим систему

Х₁ + 2Х₂ - 3Х₃ + 4Х₄ - Х₅ = 1,

2Х₁ - Х₂ - 3Х₃ - 4Х₄ + 2Х₅ = 0,

3Х₁ + Х₂ - Х₃ + 2Х₄ - Х₅ = 0, (2)

4Х₁ + 3Х₂ + 4Х₃ + 2Х₄ + 2Х₅ = 0,

Х₁ - Х₂ - Х₃ + 2Х₄ - 3Х₅ = 0.

Как и раньше, матрицу системы обозначим А.. Это матрица (2, 6).

В предыдущем параграфе было установлено, что определитель матрицы А не равен нулю, поэтому система (2) имеет единственное решение, которое можно найти, например, методом Гаусса. Обозначим это решение как столбец Х. Будучи решением системы (2), столбец Х удовлетворяет матричному уравнению АХ = В, где столбец В представляет собой первый столбец единичной матрицы (1). Но с другой стороны, А А^-1 = Е, и поэтому первый столбец единичной матрицы Е есть результат умножения матрицы А на первый столбец матрицы А^-1. Таким образом, умножение матрицы А на столбец Х и умножение той же матрицы А на первый столбец матрицы А^-1 приводит к одному и тому же результату, т. е. столбец Х и первый столбец обратной матрицы представляют собой одно и то же.

Точно также можно показать, что второй, третий, четвертый и пятый столбцы матрицы А^-1 находится соответственно как решение следующих систем:

Х₁ + 2Х₂ - 3Х₃ + 4Х₄ - Х₅ = 0,

2Х₁ - Х₂ - 3Х₃ - 4Х₄ + 2Х₅ = 1,

3Х₁ + Х₂ - Х₃ + 2Х₄ - Х₅ = 0, (3)

4Х₁ + 3Х₂ + 4Х₃ + 2Х₄ + 2Х₅ = 0,

Х₁ - Х₂ - Х₃ + 2Х₄ - 3Х₅ = 0.

Х₁ + 2Х₂ - 3Х₃ + 4Х₄ - Х₅ = 0,

2Х₁ - Х₂ - 3Х₃ - 4Х₄ + 2Х₅ = 0,

3Х₁ + Х₂ - Х₃ + 2Х₄ - Х₅ = 1, (4)

4Х₁ + 3Х₂ + 4Х₃ + 2Х₄ + 2Х₅ = 0,

Х₁ - Х₂ - Х₃ + 2Х₄ - 3Х₅ = 0.

Х₁ + 2Х₂ - 3Х₃ + 4Х₄ - Х₅ = 0,

2Х₁ - Х₂ - 3Х₃ - 4Х₄ + 2Х₅ = 0,

3Х₁ + Х₂ - Х₃ + 2Х₄ - Х₅ = 0, (5)

4Х₁ + 3Х₂ + 4Х₃ + 2Х₄ + 2Х₅ = 1,

Х₁ - Х₂ - Х₃ + 2Х₄ - 3Х₅ = 0.

Х₁ + 2Х₂ - 3Х₃ + 4Х₄ - Х₅ = 0,

2Х₁ - Х₂ - 3Х₃ - 4Х₄ + 2Х₅ = 0,

3Х₁ + Х₂ - Х₃ + 2Х₄ - Х₅ = 0, (6)

4Х₁ + 3Х₂ + 4Х₃ + 2Х₄ + 2Х₅ = 0,

Х₁ - Х₂ - Х₃ + 2Х₄ - 3Х₅ = 1.

Таким образом, для определения А^-1 нужно решить пять систем линейных уравнений с одной и той же матрицей А и с разными столбцами свободных членов, представляющими собой столбцы единичной матрицы.

Но в тех случаях, когда нужно найти решения нескольких систем с одинаковыми матрицами А и разными столбцами свободных членов совсем не обязательно каждую систему решать отдельно, ведь при решении этих систем методом Гаусса различаться могут только крайние правые столбцы преобразуемых матриц. Поэтому к матрице А можно приписать не один столбец свободных членов, а сразу все столбцы, соответствующие разным системам уравнений. В результате элементарных преобразований полученной матрицы на месте каждого из столбцов свободных членов получится решение соответствующей ему системы уравнений. Нужно только помнить, что ведущий элемент из элементов добавленных столбцов не выбирается

Итак, для вычисления А^-1 следует приписать к матрице А справа единичную матрицу Е. В результате преобразований полученной прямоугольной матрицы столбцы матрицы Е превращаются в столбцы искомой матрицы А^-1, а на месте матрицы А появляется единичная матрица.