Информатика / METOD
.pdf
4.Число в 2-ной системе разбить справа налево на группы по n цифр в каждой.
5.Если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов.
6.Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать
еесоответствующей цифрой в системе счисления с основанием q = 2n.
Правило перевода числа, записанного в системе счисления с основанием q = 2n в 2-ную системы счисления
Каждую цифру числа заменить ее n-разрядным эквивалентом в двоичной системе счисления.
Правило сложения чисел в q-ичной системе счисления (алгоритм аль-Хорезми)
Например:
(a4 a3 a2 a1 a0)q (b3 b2 b1 b0)q
(c4 c3 c2 c1 c0)q
5.Записать второе слагаемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.
6.Сложить цифры первого разряда (b0 + а0). Если сумма (с0) меньше q, то записать ее в разряд единиц ответа и перейти к следующему разряду.
7.Если сумма (d0) единиц больше или равна q, то представить ее в виде
d0 = 1 • q + с0, где с0 – цифра соответствующей q-ой с. с.; с0 – записать в первый разряд ответа, а 1 добавить к цифрам складываемым в следующем разряде (по аналогии с фразой, знакомой еще с начальной школы «с0 – пишем, 1 – в уме»). Чтобы не забыть прибавить единицу ее можно записать над а1.
1
(a4 a3 a2 a1 a0)q (b3 b2 b1 b0)q
(c4 c3 c2 c1 c0)q
8.Повторить аналогичные действия со вторым разрядом, затем третьим и т. д., вплоть до сложения цифр старших разрядов. Если их сумма больше или равна q, то в старший разряд ответа добавляем 1.
Правило вычитания чисел в q-ичной системе счисления (алгоритм аль-Хорезми)
Например:
(a4 a3 a2 a1 a0)q (b3 b2 b1 b0)q
(c4 c3 c2 c1 c0)q
7.Записать вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.
8.Если цифра в первом разряде вычитаемого (а0) не превосходит соответствующей цифры уменьшаемого (b0), вычитаем ее из цифры уменьшаемого, записываем разность (с0) в первый (правый) разряд искомого числа, после чего переходим к следующему разряду.
9.Если цифра в первом разряде вычитаемого (а0) больше соответствующей цифры уменьшаемого (b0), т. е. b0 > а0, и а0 ≠ 0, то нужно уменьшить цифру второго разряда уменьшаемого (а1) на 1, одновременно а0 увеличить на q и уже из этого числа (а0 + q) вычитаем b0 и полученную разность (с0) записать как цифру первого разряда (правого) искомого числа, далее перейти ко второму разряду. Чтобы не забыть об уменьшении а1 на 1, сверху над ним можно поставить точку.
•
(a4 a3 a2 a1 a0)q (b3 b2 b1 b0)q
(c4 c3 c2 c1 c0)q
10.Если цифра в первом разряде вычитаемого (а0) больше соответствующей цифры уменьшаемого (b0), т. е. b0 > а0, и а0 = 0, и, например, а1 = 0, а2 = 0, то первую отличную от нуля цифры в уменьшаемом (в данном случае, а3 ≠ 0) нужно уменьшить на 1. Все цифры в младших разрядах, которые
равнялись 0, кроме первого, записать как цифру q-1 (а1 = q-1, а2 = q-1). Первый разряд представить как q (a0 = q), вычесть из него b0. Полученный результат (с0) записать в первый разряд искомого числа. Чтобы не забыть об увеличении а1 и а2 до q-1, сверху над ними можно поставить точки.
• •
(a4 a3 0 0 0)q
(b3 b2 b1 b0)q
(c4 c3 c2 c1 c0)q
11.В следующем разряде повторить процесс.
12.Вычитание заканчивается, когда производится вычитание из старшего разряда уменьшаемого.
Двоичное представление информации в электронно-вычислительных машинах
В современных вычислительных установках используется двоичная система счисления для кодирования информации.
Бит – минимальная единица хранения информация, представляющая одноразрядное двоичное число: 0 или 1.
Байт – восемь расположенных подряд битов памяти (восьмиразрядное двоичное число).
Машинное слово – наибольшая последовательность бит, которую процессор может обрабатывать как единое целое (длина слова может быть 8, 16, 32 бита и т. д.).
Внутреннее представление числа – запись числа в двоичной системе счисления, соответствующее его представлению в ЭВМ.
Знаковый разряд – первый слева бит (разряд) во внутреннем представлении числа, обозначающий положительное число (если значение бита = 0) или отрицательное (если значение бита = 1) число.
Правило получения внутреннего представления в ЭВМ целого положительного числа N, хранящегося в k-разрядном машинном слове
Перевести число N в двоичную систему счисления.
Полученный результат дополнить слева незначащими нулями до k разрядов.
Правило получения внутреннего представления в ЭВМ целого отрицательного числа (-N), хранящегося в k-разрядном машинном слове
Получить внутреннее представление положительного числа N. Получить обратный код этого числа заменой 0 на 1 и 1 на 0. К полученному результату прибавить 1.
Практические задания
Примеры решений
I тип. Перевод из q-ичной системы счисления в 10-ную
Задача. Число, записанное в развернутом виде представить в сокращенной форме 7 • 84 + 5• 83 + 0 • 82 + 1• 81 + 3 • 80.
Решение.
В записи xq = (an-1an-2…a1a0)q = an-1 • qn-1 + an-2 • qn-2 + … + a1 • q1 + a0 • q0
для данного примера q = 8, a4 = 7, a3 = 5, a2 = 0, a1 = 1, a0 = 3. Получаем, x8 = 750138.
Ответ: x8 = 750138
Задача. Число, записанное в сокращенной форме представить в развернутом виде 10322004.
Решение.
В записи xq = (an-1an-2…a1a0)q = an-1 • qn-1 + an-2 • qn-2 + … + a1 • q1 + a0 • q0
для данного примера q = 4, a6 = 1, a5 = 0, a4 = 3, a3 = 2, a2 = 2, a1 = 0, a0 = 0. Получаем, x4 = 10322004 = 1• 46 + 0 • 45 + 3 • 44 + 2 • 43 + 2 • 42 + 0 • 41 + 0 • 40.
Ответ: x4 = 1• 46 + 0 • 45 + 3 • 44 + 2 • 43 + 2 • 42 + 0 • 41 + 0 • 40
Задача. Перевести число, записанное в сокращенной форме 530026 в десятичную систему счисления.
Решение.
Используем правило перевода из q-ичной в 10-ную систему счисления, то есть запишем число в развернутой форме, учитывая, что q = 6, и выполним последовательно соответствующие арифметические операции.
530026 = 5 • 64 + 3 • 63 + 0 • 62 + 0 • 61 + 2 • 60 = 5 • 1296 + 3 • 216 + 0 • 36 + 0 • • 6 + 2 • 1 = 6480 + 648 + 0 + 0 + 2 = 713010.
Ответ: 530026 = 713010.
Задача. Найти ошибку в записи числа:
в) 85 + 3 • 84 + 4 • 83 + 2 • 8 + 9; г) 24310324.
Решение.
а) На первый взгляд может показаться, что в развернутой форме записи данного числа отсутствуют коэффициенты перед 85 и 9, отсутствует слагаемое с 82, в слагаемом 2 • 8 нет показателя степени 8, и нет степени у 9. Но это не является ошибкой, а говорит лишь о том, что коэффициенты перед 85 и 9 равны 1, коэффициент перед 82 равен 0, в слагаемом 2 • 8 показатель степени 8 равен 1 (2 • 81), степень у 9 равна 80 =1. То есть, если привести данное число к стандартной развернутой форме, получим: 85 + 3 • 84 + 4 • 83 + 2 • 8 + + 9 = 1 • 85 + 3 • 84 + 4 • 83 + 0 • 82 + 2 • 81 + 9• 80. Ошибка заключается в том, что число записано в 8-ричной с. с., в которой отсутствует цифра 9 (базис {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}).
Ответ: 85 + 3 • 84 + 4 • 83 + 2 • 8 + 9.
б) Число составлено из цифр 4-ричной с.с., в базисе которой отсутствует цифра 4 (базис {0, 1, 2, 3}).
Ответ: 24310324
Задача. Перевести дробное число 34,42145 в десятичную систему счисления.
Решение.
Используем правило перевода из q-ичной в 10-ную систему счисления, то есть запишем число в развернутой форме, учитывая, что q = 5, и выполним последовательно соответствующие арифметические операции.
34,42145 = 3 • 51 + 4 • 50 + 4 • 5-1 + 2 • 5-2 + 1 • 5-3 + 4 • 5-4 = 15 + 4 + 4 • 15 + 2 • •
251 + 1 • 1251 + 4 • 6251 = 19 + 54 + 252 + 1251 + 6254 = 19 + 0,8 + 0,08 + 0,008 + 0,0064 = 19 + 0,8944 = 19,894410.
Ответ: 19,894410
II тип. Перевод из 10-ной системы счисления в любую q-ичную
Задача. Перевести целое число 388610 в восьмеричную систему счисления.
Решение.
Согласно правилу перевода из 10-ной в q-ичную систему счисления целых чисел, разделим 3886 на 8 и получим частное 485 и остаток 6. Следовательно, в восьмеричной записи числа 3886 последняя цифра равна 4. Для нахождения второй цифры разделим найденное 485 снова на 8. Получим частное 60, а остаток при этом равен 5. Следовательно, предпоследняя цифра в восьмеричной записи числа 3886 есть 5. Далее, разделив 60 на 8, получим 7 и 4 в остатке. 4 – третья с конца цифра в восьмеричной записи числа 3886. Частное равное 7 на 8 уже не делится, значит 7 – первая цифра в восьмеричной записи числа 3886. Итак, 388610 = 74568.
Проведенные выкладки удобно представить следующим образом:
3886 |
8 |
|
|
|
32 |
485 |
8 |
|
|
68 |
48 |
60 |
8 |
|
64 |
5 |
|||
56 |
7 |
|||
46 |
|
|||
|
4 |
|||
40 |
|
|
||
|
|
|
||
6 |
|
|
|
Ответ: 388610 = 74568.
Задача. Перевести дробное число 0,894410 в 5-ную систему счисления. Решение.
Воспользуемся правилом перевода из 10-ной в q-ичную систему счисления дробных чисел:
0, 8944
•5 4, 4720
•5 2, 3600
•5 1, 8000
•5 4, 0000
Согласно пункту 4 правила запись дробного числа начинается с целой части первого произведения, следовательно, 0,894410 = 0,42145. И
действительно, когда переводили число 34,42145 в десятичную систему (см. выше) мы получили 19,894410, то есть дробные части этих чисел совпадают
0,894410 = 0,42145.
Ответ: 0,894410 = 0,42145.
Задача. Перевести смешанное число 19,894410 в 5-ную систему счисления. Решение.
Согласно правилу перевода смешанных чисел из десятичной системы, нужно отдельно перевести в 5-ую с. с. целую часть числа и отдельно дробную. Дробную часть нашли в предыдущем примере 0,42145. Переведем 1910 в пятеричную систему:
19 5
15 3
4
Получаем, что 1910 = 345. Итак, 19,894410 = 34,42145. Проведенный в предыдущем типе задач перевод числа 34,42145 в 10-ую систему дал аналогичный результат, что подтверждает полученный результат.
Ответ: 19,894410 = 34,42145.
III тип. Перевод из p-ичной системы счисления в q-ичную
Задача. Перевести 32014 в восьмеричную систему счисления. Решение.
Переведем число вначале в десятичную систему счисления, затем полученное число из десятичной системы переведем в 8-ую: 32014 → y10→ z8.
32014 = 3 • 43 + 2 • 42 + 0 • 41 + 1• 40 = 3 • 64 + 2 • 16 + 0 + 1 = 22510.
225 |
8 |
|
|
16 |
28 |
8 |
|
65 |
24 |
3 |
|
64 |
4 |
||
|
|||
1 |
|
|
Итак, 32014 = 3418. Ответ: 32014 = 3418.
Задача. Составить двоично-шестнадцатеричную таблицу. Решение.
016 = 02;
116 = 12; 216 = 210; переведем 210 в двоичную систему:
2 |
2 |
2 |
1 |
0 |
|
216 = 210 = 102.
Аналогично, получаем 316 = 310 = 112; 416 = 410 = 1002; 516 = 510 = 1012; 616 = 610 = 1102; 716 = 710 = 1112; 816 = 810 = 10002; 916 = 910 = 10012; A16 = 1010 = 10102; B16 = 1110 = 10112; C16 = 1210 = 11002; D16 = 1310 = 11012; E16 = 1410 = 11102; E16 = 1510 = 11112.
Сведем полученные данные в таблицу.
Таблица 12.
Двоично-шестнадцатеричная таблица
|
16 |
2 |
16 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0000 |
8 |
1000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0001 |
9 |
1001 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0010 |
A |
1010 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0011 |
B |
1011 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0100 |
C |
1100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
0101 |
D |
1101 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
0110 |
E |
1110 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
0111 |
F |
1111 |
|
|
|
|
|
|
|
Задача. Перевести 110010100111012 |
из 2-ой системы счисления в 16- |
||||
ную.
Решение.
Согласно правилу перевода целого двоичного числа в систему счисления с основанием q = 2n, (в данном случае q = 16, n = 4) разделим число на группы по четыре цифры, начиная справа: 11 0010 1001 1101. В крайней слева группе оказалось 2 цифры, поэтому дополним ее нулями: 0011 0010 1001 1101. Используя данные из таблицы 12 заменим двоичную группу на соответствующую шестнадцатеричную цифру: 3 2 9 D. Итак, 110010100111012
= = 329D16.
Ответ: 110010100111012 = 329D16.
Задача. Перевести 8BFD16 в 2-ую систему счисления. Решение.
Согласно правилу перевода числа, записанного в системе счисления с основанием q = 2n в 2-ную системы счисления, и используя данные таблицы
12, 8 заменим ее двоичным эквивалентом 1000, B – 1011, F – 1111, D – 1101. Итак, получаем 8BFD16 = 10001011111111012.
Ответ: 8BFD16 = 10001011111111012.