Теорема Остроградского-Гаусса

Потоком вектора напряженности электрического поля сквозь малый участок поверхности, проведенной в поле, называется величина

dN = E dS cos)=. (1.17)

где - вектор напряженности электрического поля в точках малого участка поверхности площадью dS, - единичный вектор, нормальный к площадке dS, а вектор .

dN = E_ndS = EdS_ . (1.18)

Поток напряженности N сквозь любую поверхность S равен алгебраической сумме потоков напряженности сквозь все малые участки этой поверхности:

. (1.19)

При этом все векторы нормалей к малым площадкам dS нужно направлять в одну и ту же сторону относительно поверхности S.

Рассмотрим электростатическое поле системы точечных зарядов q₁, q₂, ..., q_n. Согласно принципу суперпозиции полей:

, (1.20)

т.е. искомый поток N равен алгебраической сумме потоков через ту же замкнутую поверхность S напряженности полей каждого из зарядов системы. Поток напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен отношению алгебраической сумме электрических зарядов, охватываемых этой поверхностью, к электрической постоянной ₀.

. (1.21)

Рассмотрим несколько примеров использования теоремы Остроградского-Гаусса.

Точечный заряд

Рассмотрим точечный заряд, помещенный в центре сферы радиусом R. По теореме Остроградского-Гаусса dN = EdS = , учитывая, что S_сферы = 4R², то

. (1.22)

Бесконечно заряженная плоскость

Рассмотрим равномерно заряженную бесконечную плоскость с постоянной поверхностной плотностью заряда:

- это заряд, распределенный по площади S.

Вектор электрического поля будет направлен нормально от плоскости, если >0.

Для определения модуля вектора напряженности, создаваемого пластиной, применим теорему Гаусса к замкнутой цилиндрической поверхности (рис. 1.5). Ось цилиндра перпендикулярна заряженной плоскости, и последняя делит высоту цилиндра пополам. Оба основания параллельны заряженной плоскости и имеют одинаковую площадь S.

Поток вектора напряженности через цилиндрическую поверхность равен:

(1.23)

На боковой поверхности вектор E параллелен поверхности и cosα = 0. На торцах цилиндра вектор E перпендикулярен поверхности и cosα = 1, а величина E одинакова на обоих основаниях; следовательно,

(1.24)

Проведенная цилиндрическая поверхность вырезает из плоскости такую же площадку S c полным зарядом:

(1.25)

Подставляя (1.24) и (1.25) в левую и правую части (1.21) получаем:

откуда

(1.26)

Поле 2-х бесконечных заряженных пластин

Рис.1 .5.

Поле двух пластин.

Из чертежа (рис.1.5.) видно, что в областях I и III из-за наложения полей общая Е = 0, и только в средней Е_II = 2E_I. Учитывая, что Е_I одной плоскости равна: , тогда для 2ух плоскостей получаем:

. (1.27)