9

Министерство образования Российской Федерации

Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет

Кафедра электропривода и автоматизации

промышленных установок

АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНОЙ САР

Методические указания к лабораторным работам по курсу

«Теория автоматического управления»

Комсомольск-на-Амуре 2005

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Изучение критериев устойчивости линейных САР, исследование влияния величины коэффициента усиления разомкнутой системы на устойчивость линейной САР.

Основные теоретические положения

Под устойчивостью САР понимается её способность возвращаться в установившееся состояние, из которого система была выведена после исчезновения внешнего воздействия.

Экспериментально устойчивость наглядно можно наблюдать по графику переходной функции. Если САР устойчива, то переходная функция такой системы стремится к новому установившемуся значению и переходный процесс носит апериодический или колебательный затухающий характер (рис.1). В случае неустойчивой САР переходный процесс, либо неограниченно возрастает, либо носит колебательный характер с непрерывно возрастающей амплитудой (рис.2). Переходный процесс САР, находящейся на границе устойчивости, представляет собой незатухающие колебания с постоянной амплитудой.

Рис.1 Графики переходных процессов для устойчивой системы

Рис.2 Графики переходных процессов для неустойчивой системы

В общем случае устойчивость линейной непрерывной САР определяется корнями характеристического уравнения, которое получено равенством знаменателя передаточной функции САР нулю. Таким образом, если задана САР с передаточной функцией

,

то характеристическим уравнением будет являться выражение

,

а корни данного уравнения определим через переменные , которые в общем случае являются комплексно-сопряжёнными, действительными или чисто мнимыми. Для удобства анализа устойчивости корни характеристического уравнения САР располагают на комплексной плоскости.

По корням характеристического уравнения в соответствии принципом А.М. Ляпунова определяется устойчивость САР:

1. Если все корни имеют отрицательную вещественную часть, то САР является устойчивой. Таким образом, для того чтобы САР была устойчивой, все корни должны находиться в левой полуплоскости комплексной плоскости. Эта область изображена на рис.3а заштрихованной. Корни, расположенные в левой полуплоскости называются левыми.

2. Если хотя бы один корень имеет положительную вещественную часть, т.е. находится в правой полуплоскости (правый корень), то САР является неустойчивой. Данный случай неустойчивой САР изображён на рис.3б, где правым корнем является корень  ₃.

3. Е сли корни имеют отрицательную вещественную часть за исключением хотя бы двух чисто мнимых, которые располагаются на мнимой оси комплексной плоскости, то САР находится на границе устойчивости. Такими корнями являются  ₁ и  ₂ на рис.3в.

Критерий Гурвица

Для определения устойчивости САР по критерию Гурвица необходимо располагать характеристическим полиномом (знаменателем передаточной функции) всей системы (или замкнутой системы).

Из коэффициентов характеристического полинома составляется матрица Гурвица размером nn.

По критерию устойчивости Гурвица следует, что при a _n > 0, для того чтобы система была устойчивой необходимо, чтобы все n определителей по главной диагонали квадратной матрицы коэффициентов были больше нуля . Если хотя бы один определитель будет больше нуля, то система будет неустойчива. Если хотя бы один определитель будет равен нулю, то система будет на границе устойчивости.

Критерий Михайлова

Устойчивость САР по критерию Михайлова определяется по годографу характеристического полинома всей системы (или замкнутой системы).

Если , то характеристическим годографом является выражение

При изменении  от нуля до бесконечности график A(j) будет представлять собой кривую называемую годографом Михайлова. Если характеристическое уравнение будет иметь l правых корней и (n – l) левых, то в результате полное приращение фазы годографа характеристического полинома при изменении  от нуля до бесконечности составит

.

Этим выражением определяется связь между формой годографом Михайлова и знаками вещественных частей корней характеристического уравнения. Годограф Михайлова для устойчивых систем имеет спиралевидную форму, причём начинается он на положительной части вещественной оси и последовательно проходит против часовой стрелки n квадрантов. Причём конец его вектора уходит в бесконечность в том квадранте комплексной плоскости, номер которого равен степени характеристического уравнения (рис.4). Неустойчивость системы связана с нарушением прохождения квадрантов (рис.5).

Рис.4 Годографы Михайлова для устойчивой системы

Рис.5 Годографы Михайлова для неустойчивой системы

Критерий Найквиста

Устойчивость САР замкнутой отрицательной обратной связью по критерию Найквиста определяется по годографу передаточной функции разомкнутой САР (годографу Найквиста).

Если задана передаточная функция разомкнутой системы , то для замкнутой системы с отрицательной обратной связью передаточная функция представляет собой

Д

Рис.6 Годографы Найквиста для системы при l = 0.

ля того чтобы система была устойчивой в замкнутом состоянии по критерию Найквиста необходимо, чтобы полное приращение фазы годографа Найквиста относительно точки на комплексной плоскости с координатами (-1; j0) при изменении частоты от нуля до бесконечности составил  = 2l., где l это число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы C(p) = 0. Из этого следует, что для определения устойчивости системы в замкнутом состоянии необходимо знать число правых корней разомкнутой системы l, т.е. необходимо знать устойчивость разомкнутой системы.

В

Рис.7 Годограф Найквиста для системы при l = 2.

ыражение для  определяет связь между формой годографа Найквиста и знаками вещественных частей корней характеристического уравнения замкнутой системы. Для того чтобы система в замкнутом состоянии была устойчивой необходимо чтобы годограф Найквиста охватывал точку (-1; j0) раз (рис.6).

Для более сложного поведения годографа Найквиста охват точки (-1; j0) оценивается по количеству отрицательных N_– и положительных N₊ переходов годографа Найквиста через вещественную ось левее точки с координатами (-1; j0). Причём, если переход годографом по направлению увеличения частоты производится сверху вниз, то такой переход считается положительным, а снизу вверх – отрицательным. В этом случае, устойчивость системы определяется из выражения

.

Если данное равенство выполняется, то система устойчива. В противном случае – неустойчива. Из примера на рис.7 следует, что для разомкнутой системы с двумя правыми корнями (l = 2) в замкнутом состоянии будет устойчивой т.к. N₊ = 2, N_– = 1, следовательно, выполняется равенство .

D-разбиение

Методика D-разбиения применяется для определения областей значений одного, двух и более исследуемых параметров САР, при которых САР будет либо устойчивой, либо неустойчивой. В данном пособии рассматривается определение области значений коэффициента усиления k₁ передаточной функции W₁(p), при которых САР будет устойчивой.

D-разбиение осуществляется используя характеристическое уравнение всей системы (или замкнутой системы). Для этого группируют члены уравнения которые зависят от исследуемого параметра, и члены – которые не зависят от исследуемого параметра.

Далее, исследуемый параметр k₁ выражается из данного равенства с левой стороны и, заменяя оператор p на j, получается годограф исследуемого параметра k₁(j).

При изменении  от - до + график k₁(j) будет представлять собой петлеобразную кривую, левую сторону которой, по направлению увеличения , заштриховывают (рис.8).

В

Рис.8 Годограф k₁(j)

результате образуются области (D-области) ограниченные кривой годографа исследуемого параметра k₁(j). Причём, D-область полностью ограниченная заштрихованной кривой представляет собой область значений исследуемого параметра, при которых САР будет устойчивой. Но поскольку исследуемые параметры принимают вещественные значения, а D-область это область комплексных значений, то из всей заштрихованной D-области представляет интерес отрезок (a,b) на вещественной оси. В большинстве случаев коэффициент усиления это параметр, принимающий положительные значения, следовательно, искомая область значений коэффициента k₁ при которых САР будет устойчивой это отрезок (0,b), определяющий область 0<k₁<b. Причём точка b это значение коэффициента k₁, при котором САР будет на границе устойчивости, поэтому данное значение k_1гр=b будем называть граничным.

Для определения граничного значения k_1гр необходимо вычислить значение частоты `, при которой выполняется условие

.

При этом, граничное значение определяется из выражения

.