Лекция_1_МКТ
.doc
ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ (МКТ)
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
-
Плотность вещества,
, . (1)
- масса вещества в объеме .
-
Концентрация молекул,
, м-3 . (2)
-число молекул в объеме .
-
Давление
, =Па (Паскаль). (3)
- сила, действующая на площадку , перпендикулярную направлению силы.
1мм.рт.ст.=133 Па.
-
Количество молекул (атомов) вещества, содержащее столько же молекул, сколько их содержит 12 грамм изотопа углерода , называется молем вещества.
Один моль вещества содержит молекул. Это число называется числом Авогадро . Масса моля вещества называется молярной массой . Молярная масса определяется по таблице Менделеева, например для воды ():
г/моль= кг/моль
Количество молей (количество вещества)
, моль. (4)
-
Масса одной молекулы . Плотность .
-
Температура по шкале Кельвина связана с температурой по Цельсию:
=+273 K .
ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ
Идеальным называется газ, удовлетворяющий трем условиям:
-
можно пренебречь взаимодействием молекул;
-
можно пренебречь собственным объемом молекул;
-
соударения молекул можно рассматривать как абсолютно упругие.
Азот N2, кислород O2 , водород H2, пары воды H2O и другие газы при условиях, близких к нормальным, удовлетворяют условиям идеальности.
Нормальные условия (н.у.):
температура t=0°С и давление p=760 мм.рт.ст.=101,3 кПа.
Законы идеального газа:
-
Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона)
, (5)
-давление газа, - его объем, – масса газа, - молярная масса, =8,31 Дж/(моль·К) – газовая постоянная, – температура в Кельвинах.
Вводя постоянную Больцмана
=1,38·10-23 Дж/K,
уравнение состояния также записывают в другом виде. Т.к.
= =, то
, (6)
- концентрация молекул.
-
Основное уравнение МКТ (связь давления с энергией поступательного движения молекулы).
, (7)
- средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул. Поступательное – это движение молекулы без учета ее вращения и колебаний атомов около положения равновесия.
- средняя квадратичная скорость молекул, .
Следствия из основного уравнения МКТ.
-
Перепишем уравнения (7) и (6) :
и .
Приравняем правые части. Получаем связь средней кинетической энергии поступательного движения молекул с температурой:
. (8)
-
Сравнивая уравнение (8) и выражение ,
получаем, что средняя квадратичная скорость молекул
.
Масса одной молекулы , а .
Тогда можно записать как
.
-
Закон Дальтона: давление смеси газов равно сумме парциальных давлений
. (8)
Парциальное давление – это давление, которое оказывал бы один газ из смеси, если бы занимал весь объем сосуда.
Распределение Максвелла молекул по скоростям
Если - число молекул в каком–либо объеме газа, а - число молекул со скоростями от до (+), то
- относительное число молекул из данного объема, движущихся со скоростью .
Вид функции был установлен Д.Максвеллом,
(13)
и она носит название «функция Максвелла» (или функция распределения молекул по скоростям). График функции для разных температур представлен на рис.1.
Рисунок 1.
Свойства функции Максвелла:
-
Площадь, ограниченная функцией Максвелла и горизонтальной осью , равна единице:
= = = 1 .
-
Наиболее вероятная скорость молекул газа.
Наиболее вероятная скорость – это скорость, с которой движется наибольшее число молекул при данной температуре. Этой скорости соответствует максимальное значение функции Максвелла. Значит, производная от по , при =, должна быть равна нулю, т.е.
= 0 при =.
, тогда
= =
= .
Производная равна нулю, если = 0. Отсюда получаем значение наиболее вероятной скорости
, или , т.к. и , то
.
-
Средняя арифметическая скорость молекул.
= = , (14)
где - число молекул, движущихся со скоростью , а - полное число молекул.
Поскольку величина скорости распределена непрерывно, то сумма в выражении (14) переходит в интеграл:
, или
Таким образом, определяется через функцию Максвелла. В результате интегрирования получено, что
, или
. (15)
-
Число молекул со скоростями от до .
Рассмотрим интеграл
= = = .
Т.е. относительное число молекул со скоростями от до численно равно площади заштрихованного участка на рисунке 1 и вычисляется через функцию Максвелла,
.
Эффективный диаметр и средняя длина свободного пробега молекулы
Эффективный диаметр молекулы – минимальное расстояние, на которое сближаются молекулы газа при соударениях.
Средняя длина свободного пробега молекулы - среднее расстояние, которое пролетает молекула между двумя последовательными соударениями,
, (16)
- концентрация молекул.
Среднее число столкновений молекул за время ,
= = .
Число соударений в единицу времени,
. (17)
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА.
К явлениям переноса относятся диффузия, теплопроводность и внутреннее трение (вязкость). Эти явления обусловлены хаотичным тепловым движением молекул и являются необратимыми.
Диффузия – самопроизвольное перемешивание частиц соприкасающихся веществ, или одного вещества, при котором выравнивается плотность . Уравнение диффузии (уравнение Фика)
, (18)
- масса вещества, которая переносится через площадку за время в направлении x, перпендикулярном площадке. - коэффициент диффузии, зависящий от рода вещества и температуры, - градиент плотности. Знак минус в уравнении отражает то, что перенос массы происходит в направлении меньшей плотности .
Теплопроводность – перенос теплоты в результате соударений молекул и передачи ими друг другу своей кинетической энергии. Уравнение теплопроводности (уравнение Фурье)
, (19)
– теплота, которая переносится через площадку за время в направлении x, перпендикулярном площадке; - скорость изменения температуры в этом направлении; - коэффициент теплопроводности материала. Перенос тепла происходит в область с меньшей температурой.
Внутреннее трение (вязкость) – сцепление между собой слоев жидкости или газа. При этом слои, движущиеся с разными скоростями, за счет соударений молекул передают друг другу импульс , что приводит к выравниванию скорости движения слоев. Сцепление между собой слоев приводит к появлению сил трения между ними. За счет сил трения быстро движущийся слой замедляет свое движение, а медленно движущийся – убыстряет.
Уравнение внутреннего трения:
, (20)
- импульс, который переносится молекулами через площадку за время в направлении , перпендикулярном скорости движения слоев. - коэффициент вязкости, зависящий от рода жидкости или газа и их температуры.
Т.к. , то сила трения между слоями жидкости или газа, действующая на площадь поверхности, равна
. (21)
Если плотность потока массы , или плотность теплового потока, или плотность потока импульса является величиной постоянной, то в уравнениях диффузии, теплопроводности и внутреннего трения можно перейти от бесконечно малых изменений величин к конечным разностям и эти уравнения записать в виде
, , .
Для твердых тел и жидкостей коэффициенты определяются экспериментально, для идеальных газов
, , .
- удельная теплоемкость газа при постоянном объеме .