41. Теоремы о действиях над переменными величинами, имеющими конечные пределы.

При практическом нахождении пределов применяются следующие теоремы о пределах.

Теорема 1. Если переменная имеет конечный предел, то она ограничена.

Теорема 2. Если переменная величина имеет предел, то он единственный.

Теорема 3. Предел постоянной равен самой постоянной (следует из определения предела).

Теорема 4. Если ,, гдеи– конечны, то:

1) ;

2) ;

3) , при условии, что.

В качестве следствия к пункту 2) отметим, что постоянный множитель можно выносить за знак предела, то есть .

Пример 1. Переменная имеет предел. Найти предел переменной.

Решение. По теореме 4 получим:

.

Пример 2. Найти предел переменной .

Решение. .

Поделив в первом слагаемом числитель и знаменатель на и применив теорему о пределе частного, получим:(так какпри).

Второе слагаемое можно рассматривать как произведение, где– величина ограниченная (так как), а– бесконечно малая. Следовательно,– также величина бесконечно малая, то есть ее предел равен нулю. Таким образом,.

Обращаем внимание на то, что требование существования конечных пределов у переменных ив теореме 4 является существенным. Без этого условия теорема неверна, хотя предел суммы, разности, произведения и частного может существовать.

42. Число e.

e— основаниенатурального логарифма,математическая константа,иррациональноеитрансцендентноечисло. Иногда числоeназываютчислом Эйлераиличислом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».

Максимум функции достигается при.

Число eиграет важную роль вдифференциальномиинтегральном исчислении, а также во многих других разделахматематики.

Поскольку функция экспонентыинтегрируется и дифференцируется «в саму себя»,логарифмыименно по основаниюeпринимаются какнатуральные.

В экономическом смысле число eозначает максимально возможную годовую прибыль при 100 % годовых и максимальной частотекапитализации процентов^[2].

Содержание

• 1Способы определения

• 2Свойства

• 3История

• 4Приближения

• 5Открытые проблемы

• 6Интересные факты

• 7См. также

• 8Примечания

• 9Ссылки

Способы определения

Число eможет быть определено несколькими способами.

• Через предел:

(второйзамечательный предел).

• Как сумма ряда:

или.

• Как единственное число a, для которого выполняется

• Как единственное положительное число a, для которого верно

Свойства

• Данное свойство играет важную роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например, единственным решением дифференциального уравненияявляется функция, гдеc— произвольная константа.

• Число eиррациональнои дажетрансцендентно. Его трансцендентность была доказана только в1873 годуШарлем Эрмитом. Предполагается, чтоe—нормальное число, то есть вероятность появления разных цифр в его записи одинакова.

[показать]Доказательство иррациональности

• Число eявляетсявычислимым(а значит, иарифметическим) числом.

• , см.формула Эйлера, в частности

  • 

  • 

• Ещё формулы, связывающие числа eиπ:

• т. н. «интеграл Пуассона» или «интегралГаусса»

• предел

• Для любого комплексного числаzверны следующие равенства:

• Число eразлагается в бесконечнуюцепную дробьследующим образом:

, то есть

• Или эквивалентным ему:

• Для быстрого вычисления большого числа знаков удобнее использовать другое разложение:

• 

• Представление Каталана:

• Представление через произведение:

• Через числа Белла

• Мера иррациональностичислаeравна 2 (что есть наименьшее возможное значение для иррациональных чисел).^[3]