319_Лекции по ядерной физике 1_7

моделі ядра рух нуклонів уважається незалежним, але враховується сильна спін-орбітальна взаємодія.

Унайпростішому одночастинковому варіанті оболонкової моделі ядра розглядається рух непарного нуклона в сферично симетричному однорідному потенціалі, утвореному взаємодією інших нуклонів. Розв’язок рівняння Шредингера для цього потенціалу з урахуванням сильної спін-орбітальної взаємодії дозволяє одержати певну послідовність енергетичних рівнів, що групуються біля декількох значеньенергії.Рівеньхарактеризується величиноюенергії,повниммоментом

ій орбітальним числом l. Відповідно до принципу Паулі на кожнім рівні розміщається 2і + 1 нуклонів. Повне заповнення групи відповідає побудові оболонки, що містить магічне число нуклонів. Розміщення ядер по оболонках проводиться зіставленням масового числа, спіну й інших характеристик ядра з параметрами рівнів.

Убільш складних варіантах моделі оболонок враховується взаємодія нуклонів, що входять у незаповнену оболонку.

Відповідно до цього існують дискретні енергетичні рівні (подібні до рівнів атома), заповнювані нуклонами з урахуванням принципу Паулі (нагадаємо, що спін нуклонів дорівнює 1/2). Ці рівні групуються в оболонки, у кожній з яких може знаходитися певне число нуклонів. Цілком заповнена оболонка утворює особливо стійке утворення.

Відповідно до досвіду особливо стійкими виявляються ядра, в яких число протонів, або число нейтронів (або обидва ці числа) дорівнює

2, 8, 20, 28, 50, 82, 126.

Ці числа одержали назву магічних. Ядра, в яких число протонів Z чи число нейтронів N є магічним (тобто особливо стійкі ядра), також називають магічними. Ядра, в яких магічними є і Z, і N, називають двічі магічними.

Двічі магічних ядер відомо всього п'ять:

24Не, 168 O, 2040Ca, 2048Ca,20882 Pb.

Ці ядра особливо стійкі. Зокрема, особлива стійкість ядра 24Не виявляється

в тім, що це єдина складена частинка, що випускається важкими ядрами при радіоактивномурозпаді.

Область застосування моделі ядерних оболонок обмежена описом властивостей основного і слабкозбудженого станів сферичних ядер. У цій області вона правильно пояснює досить багато експериментальних закономірностей: магічні числа, спіни і магнітні моменти легких ядер, квадрупольні електричні моменти магічних ядер, острова ізомерії, правила добору для β-розпаду й ін. За допомогою оболонкової моделі досягнуті такі успіхи: отримані правильні значення спінів для деяких ядер; пояснені обертальні рівні в несферичних ядер, що відно-

21

сяться до середини заповнення оболонок; пояснені коливальні спектри деяких ядер; отримана краща згода між розрахунковими й експериментальними значеннями магнітних моментів ядер. Однак межі застосування моделі ядерних оболонок дуже обмежені: вона дозволяє пояснити явища, що відносяться до деяких властивостей сферичних ядер (головним чином легких) в основному і слабкозбудженому станах. Але навіть і в цій області спостерігаються розбіжності моделі з експериментом. До того ж ця модель, наприклад, не дає задовільного пояснення поведінці сильнозбуджених ядер. Оболонкова модель зовсім непридатна для опису несферичних ядер. Вона дає абсолютно неправильні значення квадрупольних електричних моментів і навіть спінів цих ядер.

Причини недоліків оболонкової моделі варто шукати в тих припущеннях, що були покладені в її основу (сферична симетрія потенціалу, відсутність взаємодії між нуклонами).

Модель атомного ядра, що враховує ці два фактори, називають узагальненою моделлю ядра (іноді її називають колективною моделлю). У цій моделі (Рейнвотер; О. Бор і Моттельсон; Хілл і Уілер) враховують вплив колективного руху нуклонів на параметри середнього поля. Ця модель у найпростішому варіанті являє собою синтез оболонкової і краплинної моделей. Ядро розділяється на краплинну центральну частину (остов, утворений нуклонами заповнених оболонок) і надоболонкові нуклони, що взаємодіють з центром.

Відповідно до цієї моделі, колективний рух нуклонів, що знаходяться поза заповненими оболонками, приводить до зміни форми ядра (без зміни об’єму) й орієнтації його в просторі. Перше відповідає об'ємним і поверхневим коливанням ядерної речовини, друге – обертанню ядра (для несферичних ядер).

Деформація ядра спочатку росте з ростом кількості нуклонів на незаповненій оболонці, зменшується при наближенні до заповнення і зникає при повному заповненні.

Вузагальненій моделі атомного ядра розглядається як рух індивідуальних частинок у деякім самоузгодженім полі, так і колективний рух великої групи нуклонів (обертання і деформація ядра без зміни об’єму).

Воптичній моделі взаємодія нуклонів з ядром розглядається як проходження нуклонної хвилі через поглинаюче і заломлююче середовище. У цій моделі ядро характеризується оптичним потенціалом (узагалі кажучи, комплéксним), так що власне кажучи оптична модель відноситься до класу одночастинкових моделей. Окремий розгляд цієї моделі пов'язаний з тим, що вона служить для опису розсіювання і поглинання нуклонів, тобто процесів взаємодії зовнішнього нуклона з ядром.

22

Крім перерахованих, як уже говорилося, існує багато інших моделей, кожна з яких пояснює той чи інший бік явищ, але поки не вдається створити єдину модель, що пояснює всю складність структури і поведінки атомних ядер.

Для опису властивостей несферичних ядер Нільсон побудував одночастинкову модель з несферичним (еліптичним) потенціалом. Ця модель дає задовільний опис спінів і деяких інших властивостей непарних несферичних ядер з масовими числами 150 A 186 і A 222.

23

Лекція 3

ФОРМУЛА ВЕЙЦЗЕККЕРА

Зараз немає закінченої теорії, що пояснювала б всі властивості атомного ядра й відповідала б на всі питання щодо структури й властивостей атомного ядра, наприклад на такі:

1.Які ядра стабільні, які радіоактивні? Які види радіоактивності, період піврозпаду, форма спектра, кутовий розподіл частинок, що вилітають, для радіоактивних ядер?

2.Чому дорівнює радіус, маса, енергія зв'язку, спін, магнітний момент, парність, квадрупольний електричний момент і інші характеристики будь-якого ядра?

3.Як розподілені енергетичні стани в атомному ядрі? Чому дорівнюють відповідні їм значення енергії, спіну, магнітного моменту, парності тощо?

4.Чому дорівнюють ймовірності переходів зі збуджених станів у нижчі стани для різних механізмів цих переходів і залежно від параметрів рівнів?

5.Як змінюються перерізи взаємодії різних частинок з різними ядрами як функції енергії?

Через відсутність теорії ядра відповіді на ці питання можна намагатися одержати за допомогою різних моделей атомного ядра. За основу тієї або іншої ядерної моделі беруть деякі окремі властивості атомного ядра, які вважають головними при побудові даної моделі. Іншими властивостями ядра в цій моделі нехтують. Природно, що модель ядра, побудована за таким принципом, має обмежену галузь застосування. Однак у межах цієї галузі кожна модель дозволяє одержати ряд цікавих результатів.

Рані вже говорилося, що з експерименту випливають два важливих висновки відносно властивостей ядерної матерії:

1)густинаядерноїречовинипостійна const,щоозначаєїїнестисливість;

2)середня енергія відділення однієї частинки майже постійна ( const). Обидві ці властивості властиві рідині: рідина майже нестислива, її густина постійна. З іншого боку, енергія відділення для рідини відповідає теплоті ви-

пару, що з великою точністю теж майже постійна.

Це дало можливість Н. Бору і Я.І. Френкелю розробити незалежно один від одного краплинну модель ядра, відповідно до якої атомне ядро являє собою електрично заряджену кулясту краплю нестисливої надгустої ядерної рідини.

Краплинна модель атомного ядра допомогла пояснити багато явищ. З її допомогою вдалося одержати напівемпіричну формулу для енергії зв'язку й маси ядра, пояснити багато особливостей поділу важких ядер і деякі закономірності

24

-розпаду, одержати якісне уявлення про структуру перших збуджених станів парно-парних ядер, передбачати маси й енергії зв'язку деяких нових ядер.

Подивимося, яким чином за допомогою краплинної моделі можна одержати формулу, що виражає енергію зв'язку й масу ядра через його масове число А та заряд Z.

Відзначимо деякі властивості атомних ядер, установлені експериментально, і подивимося, які висновки варто зробити з них щодо будови ядра. Виявляється, що для стабільних не занадто легких ядер (A 20) питома енергія зв'язкув грубому наближенні постійна й становить близько 8 МеВ на нуклон. Цей факт виразно свідчить про те, що ядерні сили є короткодіючими – їхній радіус дії порядку розмірів самих нуклонів і навіть менше. Така особливість ядерних сил проявляється в їхньому насиченні. Насичення означає, що кожний нуклон у ядрі взаємодіє тільки з декількома сусідніми нуклонами. Щодо цього ядерні сили аналогічні хімічним силам, що обумовлюють валентність хімічних елементів.

Насиченням ядерних сил пояснюється, чому енергія зв'язку не занадто легких стабільних ядер у грубому наближенні пропорційна масовому числуА. Якби насичення не було, а кожний нуклон ефективно взаємодіяв з іншими A–1 нуклонами, то енергія зв'язку ядра виявилася б пропорційною A A 1 /2, тобто при великих A зростала б приблизно пропорційно другого, а не першого ступеня А. З насиченням ядерних сил зв'язана й та обставина, що густина ядерної речовини для не занадто легких ядер приблизно постійна, тобто не залежить від А. Завдяки

цьому радіус ядра R виявляється пропорційним A13 . Це дає підставу розглядати атомне ядро як краплю нестисливої рідини, зарядженої позитивною електрикою; таке припущення вводиться в так називанійкраплинній моделі ядра. Така класична модель є найбільш обґрунтованою для ядер з великими масовими числами А.

Енергія ядра в краплинній моделі визначається напівемпіричною формулою Вейцзеккера. Пояснимо її походження, використовуючи аналогію з рідиною й розглядаючи ядро як двокомпонентний розчин протонів і нейтронів.

Раніше було показано, що енергія ядра Е менше суми енергії спокою протонів і нейтронів, які входять у нього, на величину енергії зв'язку E , що виділилася при утворенні ядра.

Знайдемо залежність E від масового числа А та атомного номера Z.

а) Якщо – середня енергія зв'язку однієї частинки усередині ядра, обумовлена тільки ядерними силами, то в першому наближенні (відповідно до властивості 2) повна енергія зв'язку виявиться рівною A

E1 A…

б) Однак, це правильно тільки в припущенні, що всі нуклони ядра рівноцінні, насправді ж у краплі поверхневі частинки притягаються іншими тільки з

25

однієї (внутрішньої) сторони і їх легше видалити з ядра. Якщо нуклон перебуває поблизу поверхні ядра, то зменшується число нуклонів, що втримують його в ядрі, тобто не всі зв'язки в цьому випадку будуть діяти повністю. Цей ефект особливо істотний для легких ядер, тому що його вплив тим більше, чим більше

відношення поверхні ядра до його об'єму (пропорційне R 1 ~ A 13 ). Енергія зв'язку ядра буде менше A на величину, пропорційну поверхні краплі S. Позначимо цю поверхневу енергію E . Уважаючи, що ядро-крапля має форму кулі, а поверх-

нева енергія, віднесена до 1 см2, дорівнює (і чисельно дорівнює поверхневому натягу ядерної рідини), одержимо

E 4 R2 ;

оскільки R r0 A13 , знаходимо, що

E 4 r02 A23 A23 .

Величина була визначена експериментально за енергією відриву частинки з поверхні ядра й виявилася рівною 1020 ерг/см2 (для порівняння відзначимо, що у води 102 ерг/см2). Таким чином, через енергію поверхневого натягу величина енергії зв'язку повинна бути зменшена:

E2 A A23 .

в) Необхідно врахувати також електростатичну енергію, що завдяки кулонівському відштовхуванню протонів теж зменшує загальну енергію зв'язку. Для легких ядер цей ефект не відіграє істотної ролі, оскільки в цьому випадку ядерні сили перевищують кулонівські приблизно на два порядки. Але ця енергія стає дуже істотною для важких ядер. Причина цього полягає в тому, що кулонівські сили мають значно більший радіус дії, чим ядерні сили (кулонівські сили не мають насичення), і кожний протон взаємодіє з усіма іншими протонами усередині ядра. Отже, повна енергія Ep , обумовлена кулонівським відштовху-

ванням Z протонів, пропорційна Z Z 1 Z2 й обернено пропорційна радіусу

ядра R r0 A13 . Цим пояснюється зменшення питомої енергії зв'язку важких ядер

зі зростанням Z.

Позначимо коефіцієнт пропорційності . Тоді

Ep Z12 . A 3

Оскільки кулонівська енергія зменшує енергію зв'язку, то

E3 A A23 Z12 .

A 3

26

г) Формула повинна відбивати тенденцію, що спостерігається в природі, до симетрії у будові атомних ядер. Ця симетрія в явному виді виступає в легких ядрах, які, як правило, складаються з однакового числа протонів і нейтронів (N Z при заданому А). Ми приймемо як узагальнення дослідних фактів, що зазначена тенденція до стабільності збережеться й для важких ядер, якщо «вимкнена» електрична взаємодія. При відхиленні чисел Z і N від рівності в енергії зв'язку ядра, крім поверхневої й кулонівської енергій, з'явиться ще одна від’ємна добавка, називана енергією симетрії. Фізична природа енергії симетрії не ясна. Однак її наявність, безсумнівно, свідчить про те, що протон відрізняється від нейтрона не тільки електричним зарядом. Між ними є й інші, хоча й менш істотні відмінності. Залишаючи осторонь питання про фізичну природу енергії симетрії, поставимо більш скромне завдання: на основі емпіричних фактів одержати наближене вираження для енергії симетрії.

Припустимо, що в ядрі «вимкнена» електромагнітна взаємодія, а залишилася тільки ядерна взаємодія. Якщо тепер у ядрі замінити всі протони нейтронами, а всі нейтрони – протонами, то від цього енергія зв'язку не зміниться. Це твердження є узагальненням дослідних фактів і підтверджується, зокрема, існуванням дзеркальних ядер. Ядерні сили мають властивість насичення. Тому у формулу треба ввести додатковий член, що залежить від різниці (N Z), але симетричний відносно N і Z, тобто залежний квадратично від різниці (N Z).

Цьому щонайкраще задовольняє вираження N AZ 2 , що має мінімум при N Z (диференціюючи його по N при A const й дорівнюючи нулю першу похідну, одержуємо 2A N Z = 0).

Це означає, що ядра з Z A/2 мають найбільшу стійкість і, отже, мають найбільшу питому енергію зв'язку . Відхилення від рівності Z A/2 у будь-яку сторону веде до зменшення енергії зв'язку й повинне бути враховане у формулі для членом виду 1/2 Z / A 2 зі знаком мінус, де – коефіцієнт пропорцій-

ності.
Відповідно у формулу для E	треба додати доданок виду		A/2 Z 2 .
			A

У важких ядрах через велику кількість протонів рівновага порушується на ко-

ристь нейтронів. Але оскільки цей ефект уже врахований членом Z12 , то й

A 3

для важких ядер урахування ефекту симетрії повинно проводитися введенням

члена		A/2 Z 2	(в ділянці великих Z мінімум суми двох членів
		A

27

		Z2		N Z 2	буде досягатися при	N Z ). Цей член напівемпіричної фор-
		A13		A

мули не можна пояснити в рамках краплинної моделі.

Як уже говорилося, ефект симетрії з'являється через те, що нейтрон і протон мають спін sN 1/2 і підпорядковуються принципу Паулі, роль якого можна

врахувати в моделі незалежних частинок.

Як відомо з атомної фізики, принцип Паулі забороняє взаємодію тотожних частинок зі спіном ½ у деяких станах. Завдяки цьому середня взаємодія між двома різними нуклонами більше, ніж між двома тотожними. Виходить, при даному А утворення системи з рівного числа протонів і нейтронів (Z N) енергетично вигідніше, ніж з різного (Z N ).

З урахуваннямефектусиметріїформула дляенергіїзв'язкумаєтакийвигляд:

E		A A23		Z2		A2 Z 2	.	(*)
	4			A13
						A
Оскільки маса атома		пов'язана	з	енергією зв'язку				співвідношенням

E ZMат 11 H A Z mn Mат A,Z , то ця формула (*) дозволяє проводити також і обчислення маси атомів:

			2			A 2	2
Mат A,Z ZMат 11H A Z mn A A2	3	Z					Z	. (3.1)
		1				A
		A		3

Останній член формули (3.1) називається ізотопічним і не може бути пояснений за допомогою краплинної моделі.

Коефіцієнти , , і були знайдені зіставленням з відомими (з порівняння виміряних значень мас атомів) енергіями зв'язку. При цьому коефіцієнт можна визначити безпосереднім підрахунком електростатичної енергії взаємного відштовхування Z протонів ядра. Підрахунок, зроблений у припущенні рівномірного розподілу заряду Ze усередині сфери радіусом R, дає

		Z2		3		Ze 2	,	(3.2)
		A13		5		R

звідки за відомим R може бути знайдений коефіцієнт :

3 e2 .

5 r0

Коефіцієнт можна визначити зі співвідношення,що зв'язуєAі Zдля стабільних ядер, які мають при даному А найменшу масу. Це співвідношення виходить, якщо продиференціювати вираження (3.1) по Z при постійному А і дорівняти похідну нулю: M Z A 0. При такім диференціюванні коефіцієнти й виключаються й коефіцієнт виражається через А і Z стабільного ядра й .

28

Для контролю можна знайти за декількома стабільними ядрами. Коефіцієнти

й визначають безпосереднім зіставленням з відомими масами атомів.

Урезультаті всіх цих підрахунків дослідним шляхом були знайдені такі значення коефіцієнтів , , і :

15,75 МеВ; 17,8 МеВ; 0,710 МеВ; 94,8 МеВ.

(3.3)

д) Формула (3.1) з наведеними вище коефіцієнтами (3.3) добре передає значення мас всіх атомів з непарними А. Очевидно, що за формулою (3.1) для Мат A,Z можна також визначити й масу ядра, якщо в першому доданку зробити

заміну Mат 11 H на mp . При цьому досить точні значення мас (до другого знака

після коми) виходять не тільки для стабільних, але й для радіоактивних ядер. Однак для ядер з парним значенням А формула (3.1) дає неправильні значення мас.

Раніше уже відзначалося, що всі ядра можна за їхньою стійкістю розділити на три групи. У першу групу входять найбільш стійкі парно-парні ядра; у другу – менш стійкі парно-непарні й непарно-парні ядра (з непарним масовим числом А) і, нарешті, у третю – непарно-непарні ядра, які, як правило, нестабільні (відомо тільки чотири стабільних ядра такого типу 12 H , 36 Li, 105 B і 147 N ).

Тобто енергія зв'язку максимальна для парно-парних ядер, мінімальна для непарно-непарних і приймає проміжні значення для інших ядер. Цей факт із певністю свідчить про спарювання однакових нуклонів у ядрі, тобто в якомусь сенсі про об'єднання в пари як протонів, так і нейтронів. Спарювання збільшує енергію зв'язку ядра. Відповідну поправку в енергії зв'язку називають енергією спарювання. При парних Z і N всі протони й всі нейтрони ядра спарені. При непарному А залишається один неспарений протон або один неспарений нейтрон. Нарешті, при непарних Z і N вийде один неспарений протон і один неспарений нейтрон.

Експериментальні факти задовільно описуються, якщо при непарному А енергію спарювання включити в об'ємний член, тобто прийняти її рівною нулю. Тоді для парно-парних ядер енергія спарювання буде додатна, а для непарнонепарних від’ємна, причому за абсолютною величиною обидві енергії практично однакові.

У зв'язку із цим маса атомних ядер з даним парним масовим числом A 2n const при послідовній зміні заряду ядер Z на одиницю (що переводить ядро з першої групи в третю й навпаки) змінюється не плавно, а стрибкоподібно. Такий характер зміни маси ядер зі зміною Z не передбачений формулою (3.1), тому для парно-парних ядер вона дає завищене значення маси, а для непарнонепарних – занижене. Щоб формула правильно передавала значення мас всіх ядер, у неї треба внести ще один доданок A , де для показника різні автори

29

наводять різні значення від +1/3 до 1. Ми будемо вважати, що 34. Значеннядорівнює

0

для парно-парних ядер, для ядер з непарним А, для непарно-непарних ядер.

Цей доданок називається спіновим членом і відбиває той факт, що ядерні сили залежать від взаємної орієнтації спінів нуклонів. Спін – сугубо квантова характеристика ядра й природно, що за допомогою краплинної моделі пояснити походження спінового члена неможливо.

Зіставлення з відомими значеннями мас парно-парних ядер дає для величину

Формула з -членом

34 МеВ.

(3.3а)

A

2

Z

2

Z

2

E

A A

2

3

A

A

3

4

(3.4)

A

13

і

M Zm

A Z m A A23

Z2

A/2 Z 2

A 34

(3.5)

A13

A

p

n

дають однаково гарні значення енергій зв'язку (і мас) для ядер як зпарним, так і

знепарним А. Ще раз підкреслимо, що пояснити існування -члена в рамках описаної тут краплинної моделі ядра не можна. Його поява у формулі пов'язана

зіснуванням унуклонів парної взаємодії і відбиває той факт,що найбільшстійкими є ядра парно-парні, а найменш стійкими – непарно-непарні. Проміжні значення енергіїзв'язкумаютьядразнепарнимА.Цевипливаєздослідноговизначеннямас.

Користуючись формулою (3.4), яку уперше отримав Вейцзеккер, можна обчислювати маси всіх ядер і їхню повну енергію:

E mc2 c2 Zm		A Z m	A A23	Z2		A/2 Z 2	A 34 . (3.6)
				A13		A
	p	n

Обчислені значення для мас добре збігаються з експериментальними результатами, наприклад:

30