319_Лекции по ядерной физике 1_7

Магнітний момент дейтрона

Можна чекати, що сумарний магнітний момент системи, що складається з p і n, дорівнює сумі магнітних моментів p і n. Оскільки магнітні моменти зв'язані зі спінами й можуть бути або паралельні, або антипаралельні, то вони повинні додаватися.

Магнітний момент дейтрона, визначений дослідним шляхом,

μd = 0,85735μ0.

До цього значення близька сума магнітних моментів протона й нейтрона

μp + μn = (2,79255– 1,91280) μ0 = 0,87975μ0.

Але відмінність від дослідного значення (0,02240 μ0) виходить за межі експериментальних похибок (+ 0,00007). Чим же пояснюється ця розбіжність?

Спін сумарної системи може мати два значення: 0

S = Sn + Sp = .

1

З надтонкої структури спектра дейтерію випливає, що сумарний повний момент кількості руху дейтрона I = L + S має значення I = 1.

У той же час вивчення ядерних реакцій з дейтроном показало, що L цієї частинки може приймати тільки парні значення (0, 2, 4, ...). Отже, дейтрон може перебувати або в стані S (L = 0, S = 1, I = L+S = 1), або в стані D (L = 2, S = – 1, I = L + S = 1), або ж основний стан дейтрона є суперпозицією цих станів з різними L (S і D).

Стан, що відповідає L = 4, уже не може існувати, тому що для нього спін дейтрона повинен дорівнювати –3 (I = 4 – 3 = 1). Наближений розгляд показав, що основний стан дейтрона непогано описується S-станом з невеликою домішкою D-стану, у якому сума спінів нуклонів спрямована обернено до орбітального моменту. Домішка D-стану виникає саме тому, що сили між протоном і нейтроном не центральні, тобто сферично не симетричні.

Для дейтрона, що перебуває в S-стані з L = 0, магнітні моменти додаються арифметично. Стан з L = 2 дає додатковий внесок орбітального магнітного моменту в повний магнітний момент системи. Експериментальне значення середнього μd виходить при допущенні, що дейтрон 96 % свого часу проводить у стані S і тільки 4 % часу – у стані D.

61

Лекція 7

ОБОЛОНКОВА МОДЕЛЬ ЯДРА

Раніше відзначалося, що ядра, які містять магічне число (2, 8, 20, 28, 50, 82, 126) нейтронів або протонів особливо стійкі, тобто мають аномально велику енергію зв'язку. Ці ядра мають нульовий електричний квадрупольний момент, тобто сферично симетричні в незбуджених станах. Щодо цього магічні ядра нагадують атоми інертних газів, що характеризуються сферичною симетрією, хімічною пасивністю й пов'язаними з нею найбільшими енергіями іонізації. Ця своєрідна періодичність у властивостях ядер, подібна з періодичною зміною властивостей атомів, дозволяє припустити, що, подібно атому, атомні ядра мають оболонкову структуру. Відповідну модель атомного ядра називають оболонковою моделлю або моделлю ядерних оболонок. Однак, зарядові числа інертних атомів (Z = 2, 10, 18, 36, 54, 86), за винятком Z = 2, не збігаються з магічними числами для ядер.

Існування магічних чисел указує на наявність якоїсь внутрішньої структури ядра, на закономірний розподіл окремих частинок ядра по його енергетичних рівнях або орбітах, подібно тому як це спостерігається з атомними електронами. Можна думати, що сукупність частинок, які перебувають на одному або декількох близьких один до одного за значеннями енергії рівнях становить ядерну оболонку, послідовне заповнення якої приводить до утворення особливо стійких ядер (за аналогією з утворенням інертних газів при забудові атомних оболонок).

Магічні числа для протонів Z і нейтронів N майже однакові.
Z = 2,	8,	20,	— ,	50,	82,	—
N = 2,	8,	20,	28,	50,	82,	126

Виходить, нуклони в ядрі зберігають свою індивідуальність (рухаються по деяких індивідуальних орбітах).

Наприкінці 60-х рр. XX ст. деякими вченими було теоретично показано, що наступне за свинцем «двічі магічне» ядро повинне містити 114 протонів і 184 нейтрона. Час його життя повинен знаходитися в межах 105 108 років. Для порівняння відзначимо, що для елемента з порядковим номером 101 час життя дорівнює 1000 с, а для елемента з порядковим номером 104 – 0,5 с.

Здавалосяб,щодляядратеорія,побудованаза аналогієюзелектроннимиоболонками ватомі,неможлива. По-перше, тому, що вядрі немаєсилового центра для формування центрально-симетричного самоузгодженого поля, у якому рухалися б нуклони. По-друге, на відміну від атомних оболонок, де електрони розташовані далеко один від одного, уядрі нуклони впаковані дуже щільно (концентрація нук-

лонів у ядрі ~1038 см–3), а ядерні сили, що діють між ними, дуже великі. Із цих причин середня довжина вільного пробігу нуклона в ядрі від зіткнення до зіткнення, якщо її оцінювати класично, порядку розмірів самого ядра й навіть менше.

62

За таких умов, здавалося б, не має сенсу говорити про регулярний незалежний орбітальний рух нуклонів у ядрі.

Інакше кажучи, здається, що оболонкову модель ядра побудувати не можна. Справді, дві із трьох умов, необхідних для побудови оболонкової моделі (наявність силового центра, слабка взаємодія частинок між собою й справедливість принципу Паулі) для нуклонів атомного ядра, не виконуються. Атомне ядро, на відміну від атома, не має виділеного силового центра, і нуклони ядра, на відміну від електронів атома, сильно взаємодіють між собою.

Однак у незбудженому ядрі нуклони займають всі енергетично найнижчі стани, а принцип Паулі забороняє двом однаковим нуклонам перебувати в одна-

ковомуквантовомустані (оскільки спін нуклона дорівнює 12). При зіткненні двох

нуклонів один з них повинен втратити енергію й перейти в енергетично більш низький стан. А такий процес неможливий, оскільки в незбудженому ядрі всі такі стани уже зайняті. Якщо ж втрати енергії відсутні, то нуклони просто обмінюються місцями, а це зовсім не змінює стан ядра, ніби взагалі ніякого зіткнення не було. У результаті, якщо ядро перебуває в незбудженому стані, то все це проявляється так, начебто б середня довжина вільного пробігу нуклона в ядрі стала більше й навіть у багато разів перевершувала розміри самого ядра. У такому випадку можна говорити про ніби незалежний рух нуклонів у ядрі. Сильна ж взаємодія міжнуклонами,атакожмалийрадіусдіїядернихсилдозволяютьсподіватисяввес- тицентрально-симетричненуклоннеполе,уякомунезалежно рухаютьсянуклони.

В атомному ядрі нуклони швидко рухаються відносно один одного на відстанях, порівнянних із шириною нуклонної ями. Тому взаємодію нуклона з ядром можна описувати за допомогою середнього не залежного від часу поля, що зображується сумарною потенціальною ямою, яка утворилася в результаті накладення багатьох сусідніх нуклонних потенціальних ям (рис. 7.1). Через тісне сусідство нуклонів і малий радіус ядерної взаємодії середній потенціал повинен бути близький до однорідного (мало змінюватися) усередині ядра й швидко спадати до нуля на границі ядра. Оскільки ядро має сферичну форму, то потенціал повинен мати сферичну симетрію.

Відповідно до квантової механіки нуклони, рухаючись у полі цього потенціалу, можуть перебувати в різних енергетичних станах. При цьому основному стану ядра відповідає повне заповнення всіх нижніх рівнів, а оскільки в цій ситуації довжина вільного пробігу нуклона в ядрі в багато разів перевершує розміри самого ядра, то нуклони в ядрі можна вважати такими, що практично не взаємодіють.

63

U

r 0 r

а

в

U

r 0 r

б

г

Рис. 7.1 – Потенціальна яма ядра: а – потенціальні ями нуклонів; б – результуюча потенціальна яма ядра; в – потенціальна яма легкого ядра; г – потенціальна яма важкого ядра

Таким чином, є всі необхідні передумови для побудови оболонкової моделі ядра: у полі сферичного потенціалу рухаються частинки, що не взаємодіють між собою – нейтрони й протони, які мають напівцілий спін і підкоряються принципу Паулі. З урахуванням електричних взаємодій між нуклонами самоузгоджені поля повинні підбиратися по-різному для протонів і нейтронів (рис. 7.2). Однак, як ми вже відзначали,ядерні сили міжпротонами однакові зядерними силами між нейтронами. Протони відрізняються від нейтронів додатковими силами електричного відштовхування. А останні на малих відстанях, на яких проявляються ядерні сили, у сотні разів слабкіше ядерних. Електричні сили, завдяки їх далекодійному характеру, можуть бути помітними тільки для найважчих ядер. Тому впершому наближенні можна враховувати тільки ядерні сили, нехтуючи електричними. У цьому наближенні самоузгоджені поля для протонів і нейтронів однакові. Це проявляється в тім, що, як показує дослід, магічні числа протонів збігаються з магічними числами нейтронів. Тому надалі говориться про нуклонне самоузгоджене поле, причому під нуклоном з рівною підставою можна мати на увазі як протон, так і нейтрон.

64

Легкі ядра

Важкі ядра

n

p

p

n

Рис. 7.2

Для визначення положення рівнів частинок задають певні параметри потенціальної ями: її ширину приймають рівною діаметру ядра, а глибину знаходять із умови, що енергія зв'язку нейтрона в ядрі приблизно дорівнює 8 МеВ (параметри ями не міняються помітним чином при зміні А). Якщо для частинки, що перебуває в такій ямі, розв’язати рівняння Шредингера, то вийде серія власних значень і відповідних їм власних функцій, що описують різні стани частинки в потенціальній ямі.

Як перше наближення для опису потенціалу можна взяти прямокутну яму. Рішення рівняння Шредингера для цього випадку дає послідовність станів, наведену в табл. 7.1.

Таблиця 7.1

Стани	1s	1p	2s	1d	1f	2p	1g	2d	3s	1h	2f	3p
l	0	1	0	2	3	1	4	2	0	5	3	1
N=2(2l+1)	2	6	2	10	14	6	18	10	2	22	14	6
N	2	8	10	20	34	40	58	68	70	92	106	112

Тут стани (рівні) розташовані в порядку зростання енергії, вони характеризуються квантовим числом п (визначальним число вузлів хвильової функції) і орбітальним квантовим числом l. На кожному рівні відповідно до принципу Паулі розміщається N = 2 (2l + 1) нуклонів кожного типу (протонів і нейтронів).

При зміні форми потенціальної ями рівні переміщаються по енергетичній шкалі (іноді зі зміною порядку чергування) і поєднуються в групи близько розташованих рівнів, між якими виникають більші енергетичні просвіти. Такігрупи близьких по енергії рівнів можна зіставити з ядерними оболонками. У правильній моделі повне число нуклонів N на заповненій оболонці повинне збігати-

ся з магічним числом. Великий енергетичний просвіт між оболонками обумов-

65

лює особливу стійкість магічних ядер і утрудняє приєднання до них наступного нуклона.

Найбільш природною зміною прямокутної потенціальної ями, що наближає її форму до реального потенціалу, є округлення її кутів. Ця операція, як показує розрахунок, не змінює порядку розташування рівнів, але призводить до об'єднання в групи таких станів: 2s і 1d; 1f і 2p; 1g, 2d і 3s; 1h, 2f і 3р (рис. 7.3).

МеВ U

42,845 верхнямежа

потенціальної ями

40

1і

3p

35	2f
	1h
30	3s
	2d
25	1g

2p

20

1f

15 2s

1d

10

1p

5

1s

0

3p 1/2

2f 5/2

3p 3/2

1i 13/2

1h 9/2

2f 7/2

3s 1/2

2d 3/2

1h 11/2

2d 5/2

1g 7/2

1g 9/2

2p 1/2

2p 3/2

1f 5/2

1f 7/2

2s 1/2

1d 3/2

1d 5/2

1p 1/2

1p 3/2

1s 1/2

	Число нуклонів		Число нуклонів
	кожного сортув		кожного сортуу
	данійоболонці		всіхзаповнених
			оболонках
	2j+1
	14
	2
	4	44	126
	6
	8
	10
	12
	2	32	82
	4
	6
	8
	10
	2	30	50
	4
	6
	8
	4	12	20
	6
	2
	2	6	8
	4
	2	2	2

Рис. 7.3 – Схема енергетичних рівнів

нуклонів у потенціальній ямі

66

Таким чином, оболонки для прямокутної ями із закругленими кутами замикаються на числах: 2, 8, 20, 40, 70 і 112. Зіставлення їх з магічними числами (2, 8, 20, 50, 82 і 126) показує, що розглянута схема дає правильні значення тільки для перших трьох магічних чисел.

Заміна реальних сил самоузгодженим полем, однаковим для всіх нуклонів ядра, зводить задачу багатьох тіл до задачі про одну частинку, що рухається в цьому самоузгодженому полі. Відповідний цьому полю нуклонний потенціал, як уже сказано вище, підбирається емпірично. Насамперед для сферичних ядер самоузгоджений нуклонний потенціалU(r)повинен бути сферично-симетричним. А через малість радіуса дії ядерних сил U(r) приблизно повинен змінюватися залежно від відстані r до центра ядра аналогічно густині ядерної речовини. Для середніх і важких ядер приймається, щоU(r)приблизно постійний усередині ядра, а в околиці границі останнього дуже круто (але все-таки плавно) спадає практич-

но до нуля. Для легких ядер самоузгодже-	U(r)
ний потенціал за формою нагадує потенціал	0
тривимірного осцилятора, тобто усередині
ядра U(r)представляється наближеноюфор-	r
мулою U(r) = (1/2)kr2 з постійним k. Зро-
зуміло, поза ядром U(r) = 0. Наближений
вид звичайно застосовуваного емпіричного	-U0
самоузгодженого нуклонного потенціалу
представлений кривою на рис. 7.4.	Рис. 7.4

Після вибору самоузгодженого нуклонного потенціалу задача зводиться до розв’язання одночастинкового рівняння Шредингера. Подивимося спочатку, до яких магічних чисел приводить припущення, що U(r) представляється потенціалом тривимірного гармонічного осцилятора, тобто усередині ядраU(r) =(1/2)kr2, а поза ядром U = 0. Представляючи U у формі U (1/2)k(x2 y2 z2 ), бачимо,

що в рівнянні Шредингера змінні x, y, z розділяються, так що треба розв’язати три однакових рівняння Шредингера для одновимірного гармонічного осцилятора, що відрізняються одне від іншого тільки позначеннями незалежних змінних. Енергія одновимірного гармонічного осцилятора в стаціонарному стані дорівнює Ex (nx 1/2) , і аналогічно для y і z. Повна енергія тривимірного

осцилятора представиться у вигляді E Ex Ey Ez (n 3/2) , де n nx ny nz , причому всі квантові числа nx , ny , nz можуть приймати тільки цілі позитивні

значення й нуль (n = 0). Саме істотне для нашої задачі полягає в тому, що рівні енергії тривимірного осцилятора вироджені. Кратність виродження (без спіну) дорівнює (1/2) (n + 1)(n + 2). Зокрема, при п = 1 виродження трикратне. Тому самому значенню n відповідають різні стани, що відрізняються одне від іншого

67

значеннями квантових чисел nx, ny, nz (а також проекції спіну, що може дорівню-

вати або + 1/2, або – 1/2). Можливі стани (без врахування спіну) наведені в таблиці 7.2 дляn,рівних 0, 1,2,3. Таблицюлегко продовжити й для більших значеньп.

Таблиця 7.2

n	nx	ny	nz	Число станів
				в оболонці
0	0	0	0	1
	1	0	0
1	0	1	0	3
	0	0	1
	2	0	0
	0	2	0
2	0	0	2	6
	1	1	0
	0	1	1
	1	0	1
	3	0	0
	0	3	0
	0	0	3
	2	1	0
3	2	0	1	10
	1	2	0
	0	2	1
	1	0	2
	0	1	2
	1	1	1

Природно прийняти, що кожному значенню n відповідає певна оболонка ядра. Оболонками називають сукупності близьких за енергією рівнів, розділених енергетичними інтервалами, що значно перевищують відстані між енергетичними рівнями усередині самих оболонок.Якщо врахувати спін,то число станівтреба подвоїти. Тому й моделі тривимірного гармонічного осцилятора числа нуклонів у послідовних оболонках повинні були б мати значення 2, 6, 12, 20, 30, 42. Відповідні магічні числа виходять додаванням кожного із цих чисел до суми попередніх. Таким чином, при розглянутій формі потенціалу магічні числа повинні були б мати значення 2, 8, 20, 40, 70, 112. Магічними називають ядра з повністю забудованою оболонкою протонів або нейтронів. Перші три числа збігаються з експериментально встановленими. Але інші числа відрізняються від експериментально знайдених значень магічних чисел 50, 82, 126. Узагальнення цієї інформації наведено в таблиці 7.3.

68

					Таблиця 7.3
n	0	1	2	3	4	5
Число станів в оболонці	2	6	12	20	30	42
теоретичні магічні числа	2	8	20	40	70	112
експериментальні магічні числа	2	8	20 (28)	50	82	126

Зазначену розбіжність природно віднести за рахунок неправильного вибо-

ру форми самоузгодженого нуклонного потенціалу й не врахування ls-зв'язку. При іншому виборі цього потенціалу поділ змінних у декартових координатах при розв’язанні рівняння Шредингера вже не вийде. Але поділ змінних залишиться в сферичній системі координат, незалежно від форми самоузгодженого нуклонного потенціалу, аби тільки останній був сферично-симетричним. Можливі стаціонарні стани нуклона в цьому випадку можна характеризувати зовсім так само, як це робиться у випадку одноелектронних атомів, а саме чотирма квантовими числами: головним квантовим числом n, орбітальним квантовим числом l, квантовим числом j повного моменту, що складається з орбітального і спінового, і квантовим числом т, що визначає проекцію повного моменту на обраний напрямок. Можливість такого опису стану нуклона в ядрі забезпечується саме сферично-симетричною формою самоузгодженого нуклонного потенціалу, у силу якої для кожного нуклона має місце збереження орбітального й повного моментів імпульсу.

Головне квантове число п може приймати цілочислове значення 1, 2, 3, ...

Воно на одиницю більше числа вузлів радіальної хвильової функції ядра. Зокрема, при п = 1 радіальна хвильова функції зовсім не має вузлів. Отже, у випадку ядра головне квантове число має інший зміст, чим в атомній фізиці. (У випадку атома квантове число, що визначає число вузлів радіальної хвильової функції, називається радіальним і позначається через nr, а головне квантове число виз-

начається вираженням n nr l 1). Як і в атомній спектроскопії, стани з l = 0,

1, 2, ... позначаються відповідно через s, p, d, f і далі за алфавітом. Число j при заданому l 0 може приймати два значення, l + 1/2 і l – 1/2, залежно від орієнтації спіну нуклона: по орбітальному моменту або проти нього. При l =0 можливо тільки єдине значення j = 1/2. При заданому l квантове число mj може прийма-

ти всі значення: – j, – (j – 1), ..., + (j – 1), + j, тобто всього 2j + 1 значень.

Для позначення стаціонарних станів нуклона застосовується символіка, аналогічна тієї, яка застосовується в атомній фізиці. На першому місці як коефіцієнт ставиться головне квантове число n, потім (для позначення l) іде одна з букв s, р, d, ... з індексом унизу, що позначає квантове число j. Наприклад, символ 2d5/2 означає стан, у якого п = 2, l = 2, j= 5/2. Відзначимо, що через сферичну симет-

69

рію самоузгодженого нуклонного потенціалу енергія нуклона від квантового числа тj не залежить.

Хиткість наведених міркувань, звичайно, не забезпечує надійності теорії, що будується на їхній основі. Мова йде про розглянуту тут оболонкову модель ядра. Проте така модель була створена. У ній реальні сили, що діють між нуклонами, заміняються самоузгодженим полем, у якому незалежно один від одного й рухаються нуклони. Звичайно, оболонкова модель ядра по своїй обґрунтованості й результатам значно поступається теорії періодичної системи хімічних елементів. Причина цього зрозуміла з викладеного вище. Інша причина полягає в тому, що на відміну від атома, де діють детально вивчені електричні сили, сили між нуклонами в ядрі вивчені ще дуже мало. Тому самоузгоджене поле в ядрі ми змушені підбирати емпірично, керуючись при цьому тільки тим, щоб можливо краще погодити результати оболонкової моделі з експериментальними фактами. Приблизна відповідність результатів оболонкової моделі дослідним фактам і повинна розглядатися як її обґрунтування.

Існують два способи видозміни описаної схеми для одержання кращого збігу з експериментом.

У першому способі проводиться більш радикальна зміна форми потенціальної ями. Так, для ями типу «дна пляшки» (рис. 7.5, а) або потенціалуосцилятора (див. рис. 7.5, б) вдається одержати таке розташування станів, що приводить до збігу з усіма магічними числами. Однак жод- на з подібних моделей не пояснює всі експериментальні факти.

аУ другому способі для одержання збігу з магічними числами для важких ядер Майєр припустила існування сильної спінорбітальної взаємодії (у порівнянні із взаємодією нуклонів між собою). Відповідно до цієї гіпотези, сферично-симетрич- ний потенціал береться у вигляді

				H	U(r) V(r)(sl ),
	б		де H	– гамільтоніан у рівнянні Шредингера H ,
			U (r) – яма із плоским дном і розмитим краєм; V(r) b			1 U		–
	Рис.	7.5
						r r

центрально-симетричний потенціал, більш слабкий, чим U (r); b – стала спінорбітальної взаємодії.

Область застосування моделі ядерних оболонок обмежена описом властивостей основного і слабкозбудженого станів сферичних ядер. У цій області вона правильно пояснює досить багато експериментальних закономірностей: магічні числа, спіни і магнітні моменти легких ядер, квадрупольні електричні моменти

70