Метода_ТУ

Тема 10 Асимптотическая устойчивость

совпадает со знаменателем передаточной функции – этим фактом будем в дальнейшим пользоваться.

Для установления устойчивости системы найдем lim xсв (t ).

t →∞

lim x	св	(t) = lim (C et + C			2	e2t	) = ±∞ ≠ 0 .
t→∞		t →∞	1
Таким образом, система не является асимптотически устойчивой.
Пример 10.2. Исследовать							на устойчивость по определению систему с
передаточной функцией W ( p) =							4 p +10
								.
							2 p 2 − p + 5
Решение. Запишем				характеристический полином					данной системы:
D( p) = 2 p 2		− p + 5 . Дифференциальное уравнение для							определения xсв (t)

2

имеет вид: 2 d x dt 2

Корни D( p)

Тогда xсв (t)

Так как

−dx + 5x = 0 . dt

: λ =				1 − i 39				, λ				=	1 + i 39				.
											2
1					4								4
	1	t
					39										39
	4
= e											t) + C2 cos(															R .
			C1 sin(																	t) , C1 , C2
					4										4
									1			t
															39									39
lim x			св		(t) = lim e				4 C sin(										t)	+ C	2	cos(						t)	= ±∞ ≠ 0 ,	то
													1		4									4
t→∞					t→∞

система не является асимптотически устойчивой.

Пример 10.3. Исследовать на устойчивость по определению систему с

передаточной функцией W ( p) =

5 p + 12

.

( p + 1) 2 ( p − 2)

Решение.

Запишем характеристический

полином

данной системы:

D( p) = ( p + 1) 2 ( p − 2) = p 3 − 3 p − 2 .

Дифференциальное

уравнение

для

определения xсв (t) имеет вид:

d 3 x

−

3

dx

− 2x = 0 .

dt 3

dt

Корни D( p) : λ1,2

= −1, λ3 = 2 .

Тогда

x

св

(t) = C e−t + C

2

te−t + C

e2t , C , C

2

, C

3

R .

1

3

1

Так как

lim x

св

(t) = lim

(C e−t + C

te−t + C

e 2t )= ±∞ ≠ 0 , то система

не

t→∞

t→∞

1

2

3

является асимптотически устойчивой.

60

Тема 10 Асимптотическая устойчивость

Пример 10.4. Исследовать на устойчивость по определению систему с

передаточной функцией W ( p) =

3 p + 1

.

3 + 2 p 2

p

+ p

Решение.

Запишем характеристический полином

данной системы:

D( p) = p 3 + 2 p 2 + p .

Дифференциальное

уравнение для

определения x

св

(t)

имеет вид:

d 3 x

+

2

d 2 x

+

dx

= 0 .

dt 3

dt 2

dt

Корни D( p) : λ1,2 = −1, λ3 = 0 .

Тогда

x

св

(t) = C e−t + C

2

te−t

+ C

3

, C , C

2

, C

3

R .

1

1

Так как

lim x

св

(t) = lim

(C e

−t + C

te

−t + C

)= C

≠ 0 в общем случае,

то

t→∞

t →∞

1

2

3

3

система не является асимптотически устойчивой.

Пример 10.5. Исследовать на устойчивость по определению систему с

передаточной функцией W (p) =

2 p 2 + 5 p

.

p 2 + 4 p + 4

Решение.

Запишем

характеристический

полином

данной

системы:

D( p) = p 2 + 4 p + 4 .

Дифференциальное

уравнение

для

определения x

св

(t)

имеет вид:

d 2 x

+ 4

dx

+ 4x

= 0 .

dt 2

dt

Корни D( p) : λ

= −2 . Тогда x

св

(t) = C e−2t + C

2

te−2t , C , C

2

R .

1,2

1

1

Так

как

lim x

св

(t) = lim (C e−2t

+ C

te−2t

)= 0 ,

то

система

является

t→∞

t→∞

1

2

асимптотически устойчивой.

Признак асимптотической устойчивости

Утверждение (признак асимптотической устойчивости). Динамическая система является асимптотически устойчивой тогда и только тогда, когда все корни ее характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть.

Пример 6. Исследовать на устойчивость с помощью признака асимптотической устойчивости системы с передаточными функциями:

а) W ( p) =		2 p + 3	; б) W ( p) =	4 p +10			в) W ( p) =	5 p + 12
						;				;
		2 − 3 p + 2		2 p 2				( p + 1) 2
	p				− p + 5				( p − 2)

61

				Тема 10 Асимптотическая устойчивость
г) W ( p) =		3 p + 1	; д) W (p) =	2 p 2 + 5 p	.
	p	3 + 2 p 2 + p		p 2 + 4 p + 4

Решение. Заметим, что для применения признака асимптотической устойчивости необходимы корни характеристического уравнения системы,

которые для заданных систем а) – д) найдены в примерах 10.1–10.5.

а) Корни характеристического уравнения λ1 = 1, λ2 = 2 .

Так

как

Re(λ1 ) = 1 > 0 ,

Re(λ2 ) = 2 > 0 ,

то

система

не

является

асимптотически устойчивой.

1 − i

б) Корни характеристического уравнения λ =

39

, λ

=

1 + i

39

.

2

1

4

4

Так

как

Re(λ ) =

1

> 0 ,

Re(λ

) =

1

> 0 ,

то

система

не

является

2

1

4

4

асимптотически устойчивой.

в) Корни характеристического уравнения λ1,2 = −1, λ3 = 2 .

Так как Re(λ1 ) = Re(λ2 ) −1 < 0 , а

Re(λ3 ) = 2 > 0 ,

то система не является

асимптотически устойчивой.

г) Корни характеристического уравнения λ1,2 = −1, λ3 = 0 .

Так

как

Re(λ1 ) = Re(λ2 ) = −1 < 0 ,

а Re(λ3 ) = 0 , то система не

является

асимптотически устойчивой.

д) Корни характеристического уравнения λ1,2

= −2 .

Так как Re(λ1 ) = Re(λ2 ) = −2 < 0 , то система асимптотически устойчива. Как следует из рассмотренных примеров, использование признака

асимптотической устойчивости существенно облегчает исследование системы, но требует вычисления корней полинома, что при высоких порядках является трудоемкой задачей.

Необходимое условие асимптотической устойчивости

Утверждение (необходимое условие устойчивости). Если ДС является асимптотически устойчивой, то все коэффициенты ее характеристического уравнения имеют один знак.

Данное условие является достаточным условием устойчивости для систем с порядком характеристического уравнения не более 2.

Пример 10.7. Проверить выполнение необходимого условия асимптотической устойчивости для систем с заданными передаточными функциями. Сделать вывод об устойчивости систем.

62

Тема 10 Асимптотическая устойчивость

а) W ( p) =

2 p + 1

;

б) W ( p) =

p + 5

;

p

3

− 2 p 2 + 3 p + 1

p 2

+ 3 p + 17

в) W ( p) =

2 p + 3

;

г) W ( p) =

5 p + 12

.

p

3

+ 4 p 2 + 3 p + 2

( p + 1) 2 ( p − 2)

Решение

а) Характеристический полином системы

D( p) = p 3 − 2 p 2 + 3 p + 1 имеет

коэффициенты разных знаков, значит, необходимое условие устойчивости не выполняется. Следовательно, система не является устойчивой.

б) Характеристический полином системы D( p) = p 2 + 3 p + 17 имеет коэффициенты одного знака, значит, необходимое условие устойчивости выполняется. Поскольку порядок системы n = 2 , то это условие является достаточным, следовательно, система устойчива.

в) Характеристический полином системы D( p) = p3 + 4 p 2 + 3 p + 2 имеет коэффициенты одного знака, значит, необходимое условие устойчивости выполняется. Однако, порядок системы n = 3 > 2 , и необходимое условие не является достаточным – система может быть как устойчива, так и неустойчива.

г) Характеристический полином данной системы имеет	вид:
D( p) = ( p + 1) 2 ( p − 2) = p 3 − 3 p + 2 ; его коэффициенты разных знаков,	значит,

необходимое условие устойчивости не выполняется. Следовательно, система не является устойчивой.

Частотный критерий устойчивости Михайлова

Пусть характеристический полином системы D( p) имеет общий вид:

D( p) = an p n + an−1 p n−1 + ... + a1 p + a0 , an > 0 .

Определение. Годографом Михайлова называется кривая в комплексной плоскости, которую описывает конец вектора D(iω) при изменении ω от 0 до + ∞ .

Критерий Михайлова. Для того, чтобы система являлась асимптотически устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова начинался при ω = 0 на вещественной положительной полуоси, при изменении частоты ω от 0 до + ∞ не проходил через начало координат и обходил против часовой стрелки последовательно n квадрантов комплексной плоскости, где n – порядок характеристического уравнения.

На рис. 10.1, 10.2 приведены примеры годографов Михайлова для устойчивых и для неустойчивых систем.

63

Тема 10 Асимптотическая устойчивость

n = 2	n = 1

n = 5

ω = 0

n = 3

n = 4

Рис. 10.1 – Примеры годографов Михайлова устойчивых систем

n = 5

n = 4

n = 4

ω = 0	•

n = 3

Рис. 10.2 – Примеры годографов Михайлова неустойчивых систем

Пример 10.8. Исследовать на устойчивость с			помощью критерия
Михайлова систему с передаточной функцией W ( p) =			1	.
		2
	p		+ 2 p + 5

Решение. Построим годограф Михайлова данной системы. Характеристический полином: D( p) = p 2 + 2 p + 5 ; порядок системы n = 2 .

D(iω) = (iω)2 + 2iω + 5 = 5 − ω 2 + 2iω ;

U (ω) = Re D(iω) = 5 − ω 2 ; V (ω ) = Im D(iω) = 2ω .

Строим годограф Михайлова по точкам. Соответствующие значения представлены в таблице.

ω	0	1	2	3	4	10	. . .
U (ω)	5	4	1	–4	–11	–95	. . .
V (ω )	0	2	4	6	8	20	. . .

Заметим, что связь между функциями U (ω) и V (ω ) квадратичная, поэтому годограф Михайлова представляет собой часть параболы, проходящей через точки с рассчитанными координатами. Искомая кривая приведена на рис. 10.3.

Как следует из анализа рис. 10.3, все условия критерия Михайлова выполняются: годограф Михайлова начинается при ω = 0 на вещественной положительной полуоси, при изменении частоты ω от 0 до + ∞ не проходил через начало координат и обходит против часовой стрелки последовательно 2 квадранта комплексной плоскости. Следовательно, система асимптотически устойчива.

64

Тема 10 Асимптотическая устойчивость

V (ω)

	U (ω)
0	5
Рис. 10.3 – Годограф Михайлова для примера 10.8
Пример 10.9. Исследовать на	устойчивость с		помощью критерия
Михайлова систему с передаточной функцией W ( p) =			2 p + 3
				.
		3 p	2 + 2 p + 2

Решение. Построим годограф Михайлова данной системы. Характеристический полином: D( p) = 3 p 2 + 2 p + 2; порядок системы n = 2 .

D(iω) = 3(iω)2 + 2iω + 2 = 2 − 3ω 2 + 2iω ;

U (ω) = Re D(iω) = 2 − 3ω 2 ; V (ω ) = Im D(iω) = 2ω .

Годограф Михайлова данной системы представляет собой часть параболы и приведен на рис.10.4. Как следует из анализа рис. 10.4, все условия критерия Михайлова выполняются. Следовательно, система асимптотически устойчива.

V (ω)

0	2 U (ω)
Рис. 10.4 – Годограф Михайлова для примера 10.9
Пример 10.10. Исследовать на	устойчивость с		помощью критерия
Михайлова систему с передаточной функцией W ( p) =			2 p + 3
				.
		p 2
			+ 2 p − 2

Решение. Построим годограф Михайлова данной системы. Характеристический полином: D( p) = p 2 + 2 p − 2; порядок системы n = 2 .

D(iω) = (iω)2 + 2iω − 2 = −2 − ω 2 + 2iω ;

U (ω) = Re D(iω) = −2 − ω 2 ; V (ω ) = Im D(iω) = 2ω .

Годограф Михайлова данной системы представляет собой часть параболы и приведен на рис.10.5. Как следует из анализа рис. 10.5, не все условия

65

Тема 10 Асимптотическая устойчивость

критерия Михайлова выполняются: кривая начинается на отрицательной части действительной оси, так как U (0) = −2 , V (0) = 0 , и обходит только 1 квадрант. Следовательно, система не является асимптотически устойчивой.

V (ω )

-2	0	(			)
		U ω
Рис. 10.5 – Годограф Михайлова для примера 10.10
Пример 10.11. Исследовать на устойчивость			с		помощью критерия
Михайлова систему с передаточной функцией W ( p) =				5 p + 12
						.
			( p + 1)2 ( p − 2)

Решение. Построим годограф Михайлова данной системы. Характеристический полином: D( p) = ( p + 1) 2 ( p − 2) = p 3 − 3 p − 2 ; порядок системы n = 3 .

D(iω) = (iω)3 − 3iω − 2 = −2 − iω 3 − 3iω ;

U (ω) = Re D(iω) = −2 ;

V (ω) = Im D(iω) = −ω 3 − 3ω .

Годограф Михайлова данной системы представляет собой часть прямой и приведен на рис.10.6. Как следует из анализа рис. 10.5, не все условия критерия Михайлова выполняются: кривая начинается на отрицательной части действительной оси, так как U (0) = −2 , V (0) = 0 , и обходит только 1 квадрант. Следовательно, система не является асимптотически устойчивой.

V (ω)

-2

0 U (ω)

Рис. 10.6 – Годограф Михайлова для примера 10.11

66

Тема 10 Асимптотическая устойчивость

Пример 10.12.	Исследовать на устойчивость с помощью				критерия
Михайлова систему с передаточной функцией W ( p) =		5 p + 12
				.
		( p + 1) 2
			( p + 2)
Решение. Построим годограф Михайлова данной системы. Характеристи-
ческий полином:	D( p) = ( p +1) 2 ( p + 2) = p 3 + 4 p 2 + 5 p + 2 ;		порядок		системы

n = 3 .

D(iω) = (iω)3 + 4(iω)2 + 5iω + 2 = 2 − 4ω 2 + 5iω − iω 3 ; U (ω) = Re D(iω) = 2 − 4ω 2 ;

V (ω) = Im D(iω) = 5ω − ω 3 .

Строим годограф Михайлова по точкам, координаты которых рассчитаны в таблице. Искомая кривая приведена на рис. 10.7.

ω	0	1	2	3	4	10	. . .
U (ω)	2	–2	–14	–34	–62	–398	. . .
V (ω )	0	4	2	–12	–44	–500	. . .

V (ω )

0	2	( )
		U ω

Рис. 10.7 – Годограф Михайлова для примера 10.12

Как следует из анализа рис. 10.7, все условия критерия Михайлова выполняются. Следовательно, система асимптотически устойчива.

Критерий перемежаемости корней

Пусть характеристический полином системы D( p) имеет общий вид

D( p) = a		n	p n + a		n−1	p n−1 + ... + a p + a		0	, a	n	> 0 .
							1
Обозначим Re D(iω ) = U (ω ) ,							Im D(iω ) = V (ω) .
Критерий перемежаемости корней. Система является асимптотически
устойчивой	тогда			и только тогда, когда						U (0) > 0, V (0) = 0 и уравнения
U (ω ) = 0 ,	V (ω ) = 0					имеют	все		действительные перемежающиеся

(чередующиеся) корни.

67

Пример 10.15.

перемежаемости

Тема 10 Асимптотическая устойчивость

Пример 10.13.

Исследовать

на

устойчивость

с

помощью

критерия

перемежаемости корней систему с передаточной функцией W ( p) =

1

.

p 2

+ 2 p + 5

Решение.

Характеристический

полином: D( p) = p 2 + 2 p + 5;

тогда

D(iω) = 5 − ω 2 + 2iω; U (ω) = 5 − ω 2 ; V (ω) = 2ω.

Проверим

условия

критерия перемежаемости

корней:

U (0) = 5 > 0 ,

V (0) = 0 ; корни

U (ω):

ω1,2 = ±

корни V (ω ):

На рис. 10.8

5 ,

ω3 = ± 5 .

приведены графики

функций U (ω)

и V (ω ); так

как

U (ω)

всегда четная

функция, а V (ω ) – нечетная, то при построении графика достаточно ограничится неотрицательной частью оси частот. Анализ графиков подтверждает перемежаемость корней U (ω) и V (ω ).

5 v(ω)

ω

u(ω)

Рис. 10.8 – Графики функций U (ω) и V (ω ) для примера 10.13

Таким образом, все условия критерия выполнены. Следовательно, система

асимптотически устойчива.
Пример 10.14. Исследовать на						устойчивость с			помощью критерия
перемежаемости			корней		систему		с	передаточной		функцией
W ( p) =		1		.
		5 + 5 p 2
	p		+ 4 p + 1
Решение. D(iω) = (iω)5 + 5(iω) 2 + 4(iω) + 1 = −5ω 2 + (ω 5 + 4ω)i + 1, тогда
U (ω) = −5ω 2 + 1 , V (ω) = ω (ω 4 + 4) .
Проверим			условия критерия			перемежаемости			корней:	U (0) = 1 > 0 ,
V (0) = 0 .		Многочлен V (ω )			имеет комплексные корни,				следовательно, не все

условия критерия выполнены; система не является асимптотически устойчивой. Исследовать на устойчивость с помощью критерия корней систему с передаточной функцией

W ( p) =			2 p − 7		.
		4	+ 3 p3 + 5 p 2
	p			+ 7 p + 3

68

Тема 10 Асимптотическая устойчивость

Решение

D(iω ) = (iω ) 4 + 3(iω)3 + 5(iω) 2 + 7iω + 3 = ω 4 − 3iω 3 − 5ω 2 + 7iω + 3 , тогда U (ω ) = ω 4 − 5ω 2 + 3 , V (ω) = −3ω 3 + 7ω .

Проверим условия критерия перемежаемости корней: U (0) = 3 > 0 ,

V (0) = 0 .

ω 4 − 5ω 2 + 3 = 0;

t= ω 2

t2 − 5t + 3 = 0;

D = 25 − 12 = 13,

t =		5 + 13					, t				=				5 − 13			,
									2
1				2												2
ω	= ±					5 + 13								; ω			= ±			5 − 13		.
1, 2				2												3, 4				2
ω1, 2 ≈ ±2,074 , ω3, 4 ≈ ±0,835.
− 3ω 3			+ 7ω = 0;
(3ω 2 − 7)ω = 0;
ω = 0,			ω = ±							7		≈ ±1,528.
									3

На рис. 10.9 приведены графики функций U (ω) и V (ω ). Анализ графиков подтверждает перемежаемость корней U (ω) и V (ω ).

u (ω )

3

0
0 .835	1 .528 2 .074	ω

v (ω )

Рис. 10.9 – Графики функций U (ω) и V (ω ) для примера 10.15

Таким образом, все условия критерия выполнены. Следовательно, система асимптотически устойчива.

Критерий устойчивости Рауса

Пусть характеристический полином системы D( p) имеет общий вид

D( p) = an p n + an−1 p n−1 + ... + a1 p + a0 , an > 0 .

69