Лекция 6. Атом. физ

Лекция 6

3.3 Статистическая интерпретация волн де-Бройля

Каков же физический смысл волн де-Бройля и какова их связь с частицами вещества?

Одна из идей, которой некоторое время придерживался Шредингер, а потом быстро отказался от неё, заключается в том, что никакого дуализма волн и частиц не существует. Существуют только волны. Частицы же представляют собой суперпозицию волн – волновой пакет, т.е. такое волновое образование, что при наложении в определённый момент времени волны будут усиливать друг друга в какой-то малой области пространства, а вне этой области произойдёт их полное гашение. Казалось, что подтверждением такой точки зрения служит то, что цент волнового пакета, подобно центру группы волн, должен в вакууме распространяться с групповой скоростью. А согласно формуле (3.4) групповая скорость волн де-Бройля равна скорости частицы.

Однако волновой пакет не может вести себя как частичка сколько угодно долго. Со скоростью d / dk vгр v перемещается только максимум пакета, сам

же пакет за счет дисперсии в среде постепенно расширяется. Монохроматические волны различных частот, из которых образован пакет будут расходиться с различными фазовыми скоростями. Таким образом, частица не может быть волновым пакетом, образованным из волн де-Бройля.

Существуют, кроме того, общие соображения, указывающие на то, что микрочастицы нельзя рассматривать как пакеты волн. Необходимым признаком элементарных частиц является их неделимость. Этим свойством волны не обладают. На границе двух сред волна разделяется на отражённую и преломленную, при прохождении через кристалл она разбивается на ряд дифракционных пучков и т.д. Если предположить, что пучок очень слаб, так, что электроны проходят через кристалл один за другим, каждый дифракционный пучок должен был бы нести только часть электрона, чего на самом деле нет.

Нельзя принять и противоположную точку зрения: первичными являются частицы, а волны представляют собой их образования, т.е. возникают в среде, состоящей из частиц, подобно звуку, распространяющемуся в воздухе. Такая среда должна быть достаточно плотной, так как о волнах в среде имеет смысл говорить лишь тогда, когда среднее расстояние между частицами очень мало по сравнению с длиной волны. А в типичных случаях, как мы видели, для волн де-Бройля это не выполняется.

Но даже если можно было бы преодолеть это затруднение, то всё равно эта точка зрения должна быть отвергнута, так как она означает, что волновые свойства присущи системам многих частиц, а не отдельным частицам. Между тем волновые, интерференционные свойства частиц не исчезают и при малых интенсивностях падающих пучков. Это было доказано прямыми опытами Бимермана, Сушкина и Фабриканта с электронами.

Приведенные неудачные попытки физического толкования волн де-Бройля вынудили Борна предложить статистическую интерпретацию волн де-Бройля. Согласно ей волны де-Бройля следует рассматривать как волны вероятности. Более определёно: интенсивность волны де-Бройля в каком-либо месте пространства

пропорциональная вероятности обнаружить частицу в этом месте.

Для объяснения этого толкования обратимся к мысленному эксперименту, аналогичному опыту Юнга по изучению

		r1	интерференции от двух щелей (рис. 3.5):
S1			Направим на преграду с двумя щелями: S1 и S2
		r2	плоский пучок электронов. После прохождения
S2			пучка сквозь щели на экране возникнет
			интерференционная картина, состоящая из
			последовательности светлых и темных полос,
Рис. 3.5			положение которых можно рассчитать по
			формулам волновой оптики.

Как можно объяснить возникновение этих полос, рассматривая электроны как неделимые частицы? Предположим, что пучок электронов довольно слаб, такой, что фотопластинка может регистрировать попадание отдельных электронов. Тогда при прохождении через экран на фотопластинке появились бы сначала хаотически разбросанные отдельные темные пятнышки - следы попадания электронов, а потом спустя некоторое время отдельные следы должны образовать интерференционные полосы.

Если применить эти соображения к отдельным электронам, то можно сказать, что вероятность нахождения электрона максимальна там, где амплитуда волнового поля максимальна, и равняется нулю там, где амплитуда равняется нулю. Так как амплитуда может быть и положительной и отрицательной, а вероятность - всегда положительная величина, то необходимо характеризовать её квадратом амплитуды - интенсивностью.

3.4. Принцип неопределенности

Статистическое толкование волн де-Бройля позволяет связать результаты, полученные теоретическим путем, с экспериментальными фактами. Но оно оставляет в стороне вопрос о природе микрочастиц: электронов, протонов и др. Поскольку свойства частиц и волн не только различны, а во многих отношениях взаимоисключающие, то приходится заключить, что электроны на самом деле не является ни тем, ни другим. Однако, поскольку мы вынуждены для описания одних и тех же объектов пользоваться и волновой и корпускулярной картинами, мы уже не можем приписать этим объектам все свойства частиц и все свойства волн. Необходимо внести ограничения в применении к электронам этих картин.

В классической механике состояние материальной частицы в каждый момент времени характеризуется её расположением и импульсом. Наличие у электронов волновых свойств вносит существенные ограничения в возможность такого описания состояния системы микрочастиц.

Предположим, что нам известно расположение микрочастицы на оси х с некоторой неточностью х , так, что можно утверждать, что частица находится на интервале от х до х+ х . Этот факт в волновой картине описывается, очевидно, тем, что амплитуда волновой функции отлична от нуля лишь на участке х . Такая функция представляет собой волновой пакет – суперпозицию синусоидальных волн со значениями волнового вектора в диапазоне от kx до kx+ kx .

Рассмотрим волновой пакет, образованный синусоидами с одинаковой амплитудой, волновые числа которых возрастают на одну и ту же величину. В точке х фазы волн изменяются от от kxх до (kx+ kx )х, т.е. на величину х kx . Если

х kx = 2 , то в этой точке все синусоиды взаимно гасят друг друга. Найдем

ближайшую точку х+ х , в которой будет также происходить гашение. В этой

точке разность фаз между крайними синусоидами будет равна

(kx kx )(x x) kx (x x) x kx x kx 2 x kx .

Ближайшее гашение произойдёт, когда хkx 2 . Таким образом волновое

возмущение разобьется на отрезки длиной х , на концах которых волновое поле обращается в нуль. Если воспользоваться синусоидами всевозможных амплитуд, то можно усилить возмущение в пределах только одного отрезка х , а всюду в других погасить. Это следует из теоремы Фурье, причем необходимым условием

являются выполнения соотношения:

хkx 2 .

Таким образом, минимальная ширина интервала kx в волновом пакете должна удовлетворять приведенному условию. Домножая обе части этого

неравенства на и учитывая то,	что kx px , получим (для других координат
аналогично):
хpx 2
		Неравенства Гейзенберга, 1927 . (3.4)
y py 2
z pz 2
Из этих соотношений следует, что координата х и импульс рх			не могут
одновременно иметь определенные		значения, т.е. если х = 0, то	рх .

Другими словами, чем точнее локализовано расположение частицы (чем меньше х ), тем больше неопределённость соответствующей компоненты импульса, и наоборот. Таким образом, принцип неопределенности Гейзенберга отражает тот факт, что в природе объективно не существуют состояния микрочастиц с точно определёнными значениями обеих переменных: х и рх.

Соотношение Гейзенберга проявляется при любой попытке измерения точного расположения или импульса частицы.

Пример 1. Рассмотрим эксперимент, позволяющий прямым путем определить скорость электрона (рис. 3.7). Пусть на экран со щелью ширины d

(диафрагму) падает			электрон, двигающийся	параллельно				оси устройства. Если
						электрон прошёл через щель,
			A			то	его	координата			х будет
						зафиксирована				с точностью
						х	~	d.	Суживая		ширину
p	d					щели		можно		определить
					y
						расположение				электрона с
						необходимой				точностью.
			Рис. 3.7			Казалось			бы,		импульс
						электрона			также		является
						полностью			определённым.
					рх = 0, а			рy
Поскольку импульс			р параллелен оси y,	то					= р.	Однако при

прохождении щели плоская волна де-Бройля, представляющая собой движение свободного электрона, испытать дифракцию. А это означает следующее: вообразим вместо одного электрона их параллельный поток, который проходит через диафрагму параллельно оси у. Тогда на фотопластинке мы получим

дифракционную картину, из вида которой можно заключить, что некоторые электроны изменяют свое направление.

Дополнительный импульс электрона, попадающего в точку А

p		psin	2	sin .	(3.5)
	x
Если учитывать попадание		электрона в пределах			только главного

дифракционного максимума, то угол будет углом между осью y и направлением

на первый	дифракционный	минимум. Из		условия минимума xsin и
соотношения (3.5) получим:		х px 2 .		Если	учесть также дополнительные
максимумы,	то имеем: х px n2 , т.е.		х px		2 . Это и есть соотношения

неопределённости.

Проведем количественную оценку. Масса электрона me = 9∙10-31 кг. Пусть необходимо установить принадлежность электрона определённому атому. Размер атома ~ 10-10 м, таким образом, целесообразная точность х ~ 10-11 м. Тогда

	v			1,054 10 34	1,17 107	м/с.
		m x		9,11 10 31 10 11

В опытах Франка и Герца при энергиях порядка 10 эВ скорость электрона v ≈ 1,87∙106 м/с. Тогда, в этом случае неопределённость скорости на порядок больше самой скорости.

Пример 2. Наблюдение поведения микрочастиц в камере Вильсона показывает, что при достаточно большой энергии частиц наблюдаются строго прямолинейные траектории и никаких признаков неопределённости импульса, связанных с волновыми свойствами, не обнаруживается. Для объяснения этого вспомним, что прямолинейные траектории представляют собой гирлянду

маленьких капелек тумана. Размеры капелек ~ 10-6 м, поэтому в этом случае х = 10-6 м и р ~ 10-28 кг∙м/с в случае электронов.

Так как, с другой стороны, прямолинейные траектории наблюдаются только при очень больших энергиях, то р << p, и в указанных пределах точности

микрочастица будет вести себя как вполне классическая частица. Вообще при очень больших энергиях волны де-Бройля будет очень мала, и так же, как в оптике, при очень малых можно применять геометрическое приближение, т.е. световые лучи, в случае микрочастиц можно говорить об определённых траекториях.

Анализ приведенных и многих других ситуаций, связанных с измерениями, показывает, что измерения в квантовой области принципиально отличаются от классических измерений. В квантовой физике существует естественный предел точности измерений. Он в самой природе квантовых объектов и не может быть преодолён никаким совершенствованием приборов и методов измерений. Соотношения Гейзенберга устанавливают один из таких пределов.

Соотношение неопределённостей является одним из фундаментальных положений квантовой механики. Одного этого соотношения достаточно, чтобы получить ряд важных результатов, в частности:

1.Невозможно состояние, в котором частица находилась бы в состоянии

покоя.

2.При рассмотрении движения квантового объекта необходимо во многих случаях отказаться от самого понятия классической траектории.

3. Часто теряет смысл деление полной энергии Е квантовой частицы на потенциальную U и кинетическую К, так как потенциальная зависит от координат, а кинетическая – от импульса. Эти же переменные не могут иметь одновременно определённые значения.