Лекции атомная физика

m0c2 (1 cos ).

Враховуючи (1.1) надамо цьому співвідношенню вигляду:

'	h	(1 cos ),	(1.16)
	m0c

у повній відповідності з експериментом.

Величина	c		h	дістала назву комптонівської довжини хвилі частинки
			m c
			0

і є однією із важливіших атомних констант. Для електрону с = 0,0242 Ǻ.

Формула (1.16) показує, що розсіювання фотонів на нерухомих електронах завжди повинне супроводжуватись комптонівським збільшенням довжини хвилі. Яким же є походження незміщеної лінії? Вона зумовлена розсіюванням фотонів на внутрішніх електронах атомів. Їх енергія зв’язку порівняна з енергією рентгенівських фотонів, це означає, що такі електрони вже не можна вважати вільними. Обмін енергією і імпульсом рентгенівського фотона відбувається з атомом як цілим. Маса ж атома набагато більша маси електрона, тому комптонівське зміщення фотонів, розсіяних на атомах, нищівно мале.

Крім того, із зростанням кута розсіювання доля енергії, що передається електрону, збільшується, відповідно збільшується відносна доля електронів, які можна вважати вільними. А це означає, що збільшується відношення інтенсивності зміщеної компоненти до інтенсивності незміщеної, що і показує дослід.

Одночасно з поясненням ефекту Комптона, статистична обробка дуже великого числа дослідів з комптонівського розсіювання в камері Вільсона показала зокрема, що закони збереження енергії та імпульсу виконуються в елементарних актах розсіювання фотонів на електронах.

Після успішного теоретичного обґрунтування експериментальної формули Комптона на підставі уявлень про кванти, подвійна (корпускулярнохвильова) природа світла стала повністю очевидною. В елементарних актах взаємодії з мікрочастинками світло виявляє свої корпускулярні властивості, але енергія і імпульс фотонів виражається через довжину відповідних електромагнітних хвиль, тобто ці частинки не забувають про свою двоєдину природу. Такою подвійною природою, як ми з’ясуємо пізніше, відрізняється не тільки світло, а і усі види матеріальних частинок (електрони, атоми тощо).

11

2.НАПІВКЛАСИЧНА ТЕОРІЯ АТОМА

2.1.Моделі атома Томсона й Резерфорда

До кінця ХІХ ст. було відомо, що атоми будь-якої речовини електрично нейтральні і стабільні. Досліди Фарадея з електролізу показали, що поряд із нейтральними атомами існують додатно і від’ємно заряджені кількості електрики (іони). Експерименти Томсона з катодними променями привели до відкриття електрону, дозволили встановити відношення заряду електрона до його маси, встановити, що маса електрона 1/400 маси атома. За сучасними даними e/mе 1,7588 1011 Кл/кг. Термін «електрон» в 1891 р. увів англійський вчений Стонлей.

На перших стадіях розвитку теорії побудови атома вважалося, що вся ця система є статичною. Для пояснення характеру спектру, що випускається ізольованим атомом, прийшлось припустити, що випромінювання атома – це результат малих коливань електронів в атомі навколо положення рівноваги.

В 1903 р. Томсон запропонував модель атома водню, згідно якій атом становить собою сферу, рівномірно заповнену додатною електрикою, всередині якої знаходиться електрон. Сумарний заряд сфери дорівнює заряду електрона, так що в цілому атом нейтральний.

Напруженість поля всередині рівномірно зарядженої сфери радіусу R

		e	r ,
	E(r) k			k 1/4 0 ,	(0 r R),
		R3

отже на відстані r від центру сфери (положення рівноваги) на електрон діятиме квазіпружна сила:

e2

f eE k R3 r r.

За таких умов електрон при виведенні будь-яким чином із положення рівноваги буде здійснювати коливання з частотою

e2

me k meR3 .

Звідси можна оцінити розміри атома. Для 0,6 мкм (видима частина спектру) 3∙1015 с-1. Тоді R 3∙10-10 м.

Отримане значення співпадає за порядком величини із газокінетичними розмірами атомів, що можна було б розглядати як підтвердження моделі

12

Томсона. Однак в подальшому з’ясувалась неслушність цієї моделі, так що в
наш час вона має лише історичний інтерес.
Для з'ясування характеру розподілу додатного й від’ємного зарядів в
атомі необхідне було безпосереднє «зондування» внутрішніх ділянок атома.
Такі експерименти здійснили Резерфорд і його співробітники Гейгер і Марсден
(1906 – 1913 р.). У їхніх дослідах вивчалося проходження -частинок через
тонкі шари речовини. Саме в 1909 р. Резерфорд і Ройдс довели, що -частинки
є двічі іонізованими атомами гелію й мають заряд +2е.
	M	Схема	досліду	показана	на
P		малюнку 2.1. Тут P – контейнер із
	E	свинцю з вузьким отвором, в якому
		знаходилась	радіоактивна речовина
		– джерело -частинок; F – металева
	F	фольга.
		Після проходження в вакуумі
		фольги -частинки відхилялись на
	Мал. 2.1	різні кути від попереднього
		напрямку, ударялися об вкритий
сірчистим цинком екран Е, і викликані ними сцинтиляції спостерігалися в
мікроскоп М.
Виявилося, що переважна кількість частинок розсіювались на кути
порядку 1-3°, що добре описувалось кривою випадкових помилок Гаусса, однак
окремі частинки відхилялись на кути до 150°. І хоч число таких частинок
нищівно мале (із 1800 -частинок при проходженні через платинову фольгу
тільки в однієї	> 90°), але їх число	перебільшувало можливі випадкові
відхилення в моделі Томсона.
Результати дослідів свідчили про те, що всередині атома зосереджене
дуже сильне електричне поле, яке створюється додатним зарядом,
сконцентрованим у дуже малому об’ємі (ядрі) з великою масою.
Спираючись на це, Резерфорд в 1911 р. запропонував ядерну модель
атома. Згідно цій моделі атом становить собою систему зарядів, в центрі якої
розташоване додатне ядро з розмірами d 10-14 м. Навколо ядра під дією
електростатичних сил рухаються електрони. Якщо нейтральний атом має Z
електронів, то заряд ядра тоді +Zе. Майже вся маса атома зосереджена в його
ядрі. Так як в простішому варіанті рух електронів передбачався по кругових
орбітах навколо ядра, то модель атома Резерфорда прийнято називати
планетарною.
	13

2.2. Кількісна теорія розсіювання Резерфорда

Виходячи із припущень, що заряд і маса ядра локалізовані в дуже малій області атома й взаємодія -частинок з ядрами речовини, що розсіює,

кулонівське, Резерфорд розробив кількісну теорію розсіювання -частинок і вивів формулу для розподілу розсіяних -частинок по кутах їхнього відхилення. Вплив електронів на відхилення -частинок у першому наближенні теорія не враховує, тому що маса електронів на чотири порядки менше маси -частинок.

В дослідах Резерфорда використовувались дуже тонкі металеві фольги з товщиною порядку 10-7-10-6 м. В таких випадках можна не враховувати багатократні зіткнення -частинки з атомними ядрами. Тоді теорія Резерфорда є класичною задачею двох тіл.

Сформульована задача формально аналогічна задачі Кеплера про рух планети навколо Сонця. І тут, і там – сила взаємодії центральна і змінюється ~1/r2. У випадку планети – це сила притягання, у випадку -частинки – сила відштовхування. Це проявляється в тому, що планета (в залежності від її повної енергії) може рухатися і по еліпсу, і по гіперболі, а -частинка – тільки по гіперболі. Кут розсіювання -частинки дорівнює куту між асимптотами її гіперболічної траєкторії (мал. 2.2) Для нього в задачі Кеплера була отримана формула:

kq q

2

k2Ze2

(+2е)•

tg

1

,

(2.1)

2

2Kb

mbv2

де k 1/4 0 ,

К, m – кінетична енергія і

b

маса

-частинки,

q1

= +Ze – заряд

ядра,

+Ze

q2 = +2е –

заряд -частинки, v – її

ядро•

швидкість на нескінченності, b – прицільний

Мал. 2.2

параметр (відстань від ядра до первинного

напрямку -частинки).

Формула (2.1) не підлягає експериментальній перевірці, для практичних

вимірювань доступні статистичні висновки з неї.

Підрахуємо число частинок dN ,

що відхиляються фольгою в одиницю

часу на кут в інтервалі від

до d . Нехай куту

відповідає прицільний

параметр b, а ( d ) – (b + db). Тоді

dN N nV d IVnd .

Sp

14

Тут I – інтенсивність пласкопаралельного пучку частинок; N – повне число частинок в пучку, що проходить в одиницю часу через площадку, перпендикулярну осі z; Sр – площа поперечного перерізу пучка; V = Sрd, де d –

товщина фольги; n – концентрація атомів речовини, що розсіює; d 2 bdb – площа кільця з радіусами b і b + db (диференціальний ефективний переріз взаємодії) (мал.2.3).

Зв’язок між d і db можна отримати диференціюванням (2.1):

db

d

db

kZe2

d

.

mv2

sin

2( /2)

b

Знак «-» зумовлений тим, що при

z

db > 0 d < 0 (мал. 2.3). В подальшому

Мал. 2.3

нас цікавитиме тільки

db

. Вводячи

тілесний кут

d 2 sin d , в

границях якого містяться напрямки,

що відповідають кутам від

до d ,

одержимо формулу Резерфорда:

2

2

d

d

kZe

4

2

sin

( /2)

mv

Отже

kZe2 2

d

2

4

,

dN IVnd IVn

sin

mv

( /2)

або зважаючи на те, що I = N/S, маємо:

dN

kZe2

2

d

nd

2

4

.

N

sin

mv

( /2)

(2.2)

(2.3)

В такому вигляді формула Резерфорда і була підтверджена на практиці.

Другим доказом її справедливості слугують досліди Блекетта з розсіювання - частинок у газах. Фотографувалася велика кількість треків -частинок в камері Вільсона і підраховувалось, як часто зустрічаються визначені кути розсіювання.

Підтвердження формули Резерфорда на досліді може розглядатися як непрямий доказ закону Кулона на відстанях, на які можуть наближатись - частинки до атомних ядер – до 3∙10-14 м. Звідси, однак, не випливає, що цей закон справедливий на будь-яких малих відстанях. Досліди з пружного розсіювання легких ядер, розігнаних прискорювачем, також на легких, але нерухомих ядрах, показали, що спостерігається різке відступлення від закону Кулона, коли відстань між центрами ядер зменшуються до 10-14 м і менше. На

15

таких відстанях проявляються ядерні сили притягання, перекриваючи кулонівські сили відштовхування.

Отже результати дослідів підтвердили справедливість ядерної моделі атома. Однак в рамках класичної фізики виявилося неможливим пояснити стабільність атома. Оскільки система нерухомих зарядів не може знаходитись у стійкому стані, Резерфорд природно прийшов до планетарної моделі атома, в якій електрон обертається навколо ядра. Але в цьому випадку електрон буде рухатись прискорено і, згідно класичній електродинаміці, він повинен випромінювати електромагнітні хвилі. Витрачаючи енергію на

випромінювання, електрон неперервно наближався б до ядра, і врешті решт, повинен був би впасти на нього. Отже модель нестійка, або розміри стійкого атома повинні були б бути рівними розмірам його ядра ~ 10 -14 м, що суперечить досліду.

Крім того, випромінювання електрона за таких умов не може бути

монохромним (момент імпульсу L m r2	m vr не const), частота
e	e

випромінювання збільшувалась би і спектр випромінювання був би неперервним. Навіть якщо ввести гіпотетичні сили, що забезпечили б стабільність атома і орбіти електрона, згідно загальним принципам класичної механіки спектр випромінювання атома повинен був би складатися із кількох основних частот і відповідних їм обертонів. Дослід же приводить до зовсім іншої закономірності, що виражається комбінаційним принципом Рітца.

Таким чином класична механіка і електродинаміка виявилися неспроможними пояснити існування атомів як стійких систем ядер і електронів. Розв′язок цієї проблеми був отриманий тільки в рамках квантової фізики.

2.3. Спектральні закономірності. Комбінаційний принцип Рітца

Велику роль у встановленні структури атома зіграло вивчення закономірностей у атомних спектрах. Розжарені тверді тіла випускають суцільні спектри. У газів, поряд із суцільними, спостерігаються лінійчаті і смугасті спектри. Лінійчатий спектр складається із окремих вузьких спектральних ліній,

смугастий – із множини щільно розташованих ліній. До початку ХХ ст. було з’ясовано, що лінійчаті спектри випускаються атомами і іонами, а смугасті – молекулами.

При вивченні атомних спектрів було помічено, що лінії в спектрі розташовані не невпорядковано, а об’єднані в групи, або, як їх називають, в серії ліній. Найбільш чітко це виявляється у спектрі простішого атома – водню.

16

Атомний спектр водню спостерігають при електричному розряді у вакуумній

трубці тоді, коли більша частина молекул Н2 дисоціювала на атоми. Але у парах ртуті смуги молекулярного спектра зникають вже під час дисоціації.

На малюнку 2.4 наведена частина спектра водню у видимій і близькій ультрафіолетовій області. Відстань між лініями убуває при переході від більш

довгих хвиль до більш коротких. H - границя серії.

6562,8

4881,3

4340,5

4101,7

Швейцарський фізик Бальмер у 1885 р.

встановив, що довжини хвиль цієї серії ліній

водню, яку за його ім’ям назвали серією

Бальмера, можна представити формулою:

Bn2

H

H

H

H

H

,

n2 4

Мал. 2.4	де n = 3, 4, 5…;	В – емпірична константа.

Вспектроскопії прийнято характеризувати спектральні лінії не частотою,

авеличиною, оберненою до : * 1/ , яку називають спектроскопічним хвильовим числом (не плутати з k 2 / !). Шведський спектроскопіст Рідберг запропонував записувати попередню формулу у вигляді:

	*		1	1			1
								.
				22			n2
Тут R = 109677,58 см-1 – стала Рідберга. Константу R =									2 cR = 2,07∙1016

с-1 також називають сталою Рідберга, вона використовується у іншому варіанті запису вказаної вище формули:

	1		1
R				.
			n2
22

Поряд із серією Бальмера у спектрі атомарного водню був виявлений ряд інших серій (мал. 2.5), що представляються аналогічними формулами:

Серія Лаймана

Серія Бальмера

Серія Пашена

Серія Брекета

Серія Пфунда

	*	1				1				n = 2, 3, 4…, ультрафіолетова область
		R							,
				2		n	2
			1

	*	1							1
										,
		R							n2
		22
	*	1							1
										,
		R							n2
		32
	*	1							1
										,
		R							n2
		42
	*	1							1
										,
		R							n2
		52

n = 3, 4, 5…, видима частина спектру

n = 4, 5, 6…,

n = 5, 6, 7…, інфрачервона область

n = 6, 7, 8….

17

n

Видно, що для водню всі відомі серії

4

можна

представити

узагальненою

формулою

3

Бальмера:

Серія

Пашена

*

1

1

2

,

(2.4)

Серія

m2

n2

Бальмера

де m в кожній серії – const (m = 1, 2, 3…), а n =

Серія

m+1, m+2…

З

ростом n

частота

ліній у кожній

серії

1

Лаймана

Мал. 2.5

прямує

до

граничного

значення

R/m2,

що

називають границею серії.

Вводячи позначення Tm R /m2 , Tn R /n2 , можна записати:

* T

T .

(2.5)

m

n

Числа Tm ,

Tn називаються спектральними термами. Для атома водню вся

система термів може бути отримана із однієї загальної формули:

R

Tn n2 , (n = 1, 2, 3…),

а хвильове число будь-якої спектральної лінії атома водню можна представити як різницю двох термів. В цьому полягає комбінаційний принцип Рітца, що був встановлений емпірично у 1908 р. і вважається основним законом спектроскопії.

Комбінаційний принцип справедливий не тільки для водню, а і для будь-

якого атома. Отже уся розмаїтість спектральних ліній атома може бути отримана шляхом попарної комбінації термів. Але для переважної кількості елементів аналітичні вирази для термів невідомі. В кращому випадку вони наводяться приблизними напівемпіричними формулами.

Комбінаційний принцип був відкритий чисто емпіричним шляхом, і спочатку, подібно багатьом іншим закономірностям в спектрах, вважався якимось чисельним курйозом. Глибокий зміст цього принципу відкрився тільки після того, як були сформульовані квантові постулати Бора.

2.4. Постулати Бора

Ядерна модель атома в поєднанні з класичною механікою і електродинамікою виявилась неспроможною пояснити ні стійкість атома, ні дискретний характер атомного спектра. Взагалі закони класичної фізики, посуті, пристосовані для опису неперервних процесів, між тим лінійчаті спектри

18

атомів виявляють відому дискретність внутрішньоатомних процесів. Це вказує на те, що уявлення класичної фізики незастосовні для явищ мікросвіту. Ці труднощі частково були вирішені датським фізиком Нільсом Бором у 1913 р. в

його теорії атома, побудованій з урахуванням квантових уявлень Планка. Припущення, які були зроблені Бором, містяться у двох постулатах.

1. Атоми і атомні системи можуть довгий час перебувати лише у певних стаціонарних станах, в яких, не зважаючи на прискорений рух заряджених частинок, що входять до їх складу, вони не випромінюють і не поглинають енергію. У цих станах атомні системи мають енергії, що утворюють дискретний ряд: Е1, Е2, Е3 ... Еn . Стаціонарні стани стійкі, усяке змінення енергії системи внаслідок випускання або поглинання електромагнітного випромінювання, або внаслідок співударянь може відбутися при повному переході (стрибком) з

одного з цих станів в інший.

Згідно ядерній моделі Резерфорда це означає, що із нескінченного числа електронних орбіт, можливих з точки зору класичної фізики, в дійсності реалізуються тільки деякі визначені орбіти.

2. Переходячи з одного стаціонарного стану в інший, атоми випускають або поглинають випромінювання лише суворо визначеної частоти.

Випромінювання, що випускається або поглинається при переході із стану Еm

до стану Еn монохроматичне і його частота визначається формулою:

h Еm Еn.

(2.6)

Цю умову називають правилом частот Бора.

У відповідності з моделлю атома Резерфорда випромінювання або поглинання світлового кванту з частотою відбувається при переході із однієї стаціонарної орбіти на другу. Частота лінії, що випромінюється, дорівнює

Еm Еn . h h

Якщо довільну адитивну у виразі для енергії вибрати так, щоб Е оберталась у нуль при видаленні електрона від ядра на нескінченність, то всі Еi

будуть від’ємними (для видалення електрона від ядра необхідно здійснити додатну роботу). Отже

Еm Еn .

h h

Правило частот Бора пояснює комбінаційний принцип Рітца. Із нього можна отримати:

19

Мал. 2.6

		Е	m				Е	n
*										,
		ch					ch

отже тоді Tn Еn , тобто терми визначаються енергетичними рівнями атома, ch

тим самим був розкритий їх фізичний зміст.

2.5. Експериментальне підтвердження постулатів Бора.

Дослід Франка і Герца

Існування дискретних енергетичних рівнів атома підтверджується дослідами, що були здійснені Франком і Герцем у 1914 р. В цих дослідах знаходився розподіл швидкостей електронів до і після співударень їх з атомами і молекулами розрідженого газу. Було встановлено, що при швидкостях електронів, менших деякої vкр., співударення відбувається пружно – електрон не передає атому свою енергію, а змінює лише напрямок своєї швидкості. При v = vкр. зіткнення електрона з атомом стає непружним – електрон втрачає всю енергію, передаючи її атому, який після цього переходить у другий стаціонарний стан з більшою енергією. Звідси виходило, що атом або зовсім не сприймає енергію, або сприймає її у кількостях, що дорівнюють різниці енергій у двох стаціонарних станах, характерних для даного атома.

Схема установки приведена на малюнку 2.6. В заповненій парами ртуті трубці під невеликим тиском (~ 1 мм. рт.

ст.) розміщувалися три електроди: катод К, сітка С і анод А. Електрони, що вилітали із катоду внаслідок термоелектронної емісії, прискорювались різницею потенціалів U

між катодом і сіткою. Цю різницю потенціалів можна було плавно змінювати потенціометром П. Між сіткою і анодом створювалось слабке електричне поле

(Ua ≈ 0,56 В), яке гальмувало рух електронів до аноду. Анода досягали лише ті електрони, енергія яких

Е eU eUa .

Досліджувалась залежність сили струму І в колі аноду (гальванометром

Г) від напруги U (мал. 2.7).

Під час руху електрони зазнавали чисельних зіткнень з атомами газу.

Максимуми струму І спостерігались при потенціалах U = 4,9; 9,8; 14,7 В.

20