Лекции атомная физика

Різниця між цими значеннями постійна і дорівнює 4,9 ± 0,1 В. Максимуми на кривій мають просте тлумачення. Поки енергія електронів менша за 4,9 eВ, вони зазнають з атомами ртуті пружних співударень, їх енергії достатньо для

подолання		різниці		потенціалів			між сіткою і анодом, струм зростає із
І, мА							збільшенням	потенціалу за звичайним
300							законом. При потенціалах, більших за 4,9
							В, зіткнення стають непружними,
250
							електрони віддають всю свою енергію
200							атомам ртуті і затримуються сіткою С.
150							Внаслідок цього струм в колі аноду різко
							падає. Якщо енергія електронів помітно
100
							перебільшує величину 4,9 еВ, то такі
50							електрони, втративши частину своєї
							енергії при непружному зіткненні з
0		5		10	U, В
							атомами ртуті, зберігають достатньо
			Мал. 2.7				енергії для подолання Ua, і струм починає
							зростати.
	Значення енергії 4,9				еВ грає, таким чином,			для атомів ртуті особливу

роль. Прискорювальний потенціал Uрез = 4,9 В називається резонансним потенціалом атома ртуті. Атом будь-якого хімічного елементу характеризується своїм значенням Uрез.

Таким чином, досліди Франка і Герца показали, що енергія атомів змінюється дискретно, і Е eUрез . Подальші досліди виявили, що у атомів

даного сорту існує не один дискретний стан, а велика кількість таких станів.

Для того, щоб знайти значення енергій стаціонарних (основного і збуджених) станів даного атома (а не тільки їх різниці, як в дослідах Франка і Герца),

достатньо визначити енергію, яка необхідна, щоб від атома у визначеному стані повністю відділити електрон. Ці значення енергії називаються енергіями іонізації. В наш час знайдені ці значення для більшості елементів.

2.6. Теорія Бора водневоподібного атома

Теорію Бора можна розглядати як першу спробу створення теорії атома з урахуванням квантових уявлень. Вона дала добрі результати лише при дослідженні так званого водневоподібного атома, коли навколо точкового ядра

(розміри легких ядер ~10-15 м а атомів ~10-10 м, тому ядра в теорії атома можна вважати точковими) з зарядом +Ze обертається лише один електрон.

21

Z = 1 – атом водню Н;

Z = 2 – однократно іонізований атом гелію Не+; Z = 3 – двократно іонізований атом літію Li++;

Z = 4 – трикратно іонізований атом берілію Ве+++ і та ін.

В основі теорії Бора лежить запропоноване ним правило квантування енергії водневоподібного атома. В загальному вигляді проблема квантування для будь-яких атомних систем була сформульована в квантовій механіці, вона достатньо складна. Правило квантування Бора становить лише історичний інтерес, але воно приводить до правильних результатів і його доцільно розглянути. При вирішенні задачі використовується аналогія з класичною механікою і емпірично встановлений вираз для спектральних термів атома водню.

Приймемо, що спектральні терми і відповідні їм рівні енергії водневоподібного атома мають бальмеровський вигляд:

Т			Z2R	,	Е		chT	ch	Z2R	.	(2.7)
			n2
	n					n	n		n2

Ціле число n називають головним квантовим числом, воно нумерує орбіти атома. Із зростанням n сусідні рівні енергії атома зближуються, і при n

відстань між ними 0. Дискретність енергетичного спектру стає все менш і менш помітною. Тому в цьому граничному випадку можна вважати, що квантова система буде поводитись як класична. Це положення висунуте Бором і назване їм принципом відповідності. Згідно цьому принципу частоти, обчислені за квантовою і класичною теоріями, повинні співпадати.

Для спрощення Бор прийняв, що електрон обертається навколо ядра по колу. Пізніше Зоммерфельд узагальнив теорію Бора на випадок еліптичних орбіт. Однак з появою квантової механіки це узагальнення втратило значення, і

ми його розглядати не будемо.

За класичними уявленнями частота світла, що випромінюється атомом,

дорівнює частоті обертання електрона по круговій орбіті. Для низьких частот, як показує порівняння класичної теорії з дослідом в області радіодіапазону, це вірно. Саме для них і проведемо розглядання.

Ядро будемо вважати нескінченно важким і тому нерухомим, тоді

Fдоц. Fкул.. Отже

	me	2r	kZe2	,	(2.8)
			r2

звідси

22

kZe2

kZe2

,

m r3

Lr

e

де L m r2

– момент імпульсу електрона, m

e

– його маса.

e

Повна енергія електрона складається із його кінетичної і потенціальної

енергій:

Е

1

m r2 2

k

Ze2

k

Ze2

.

(2.9)

2 e

r

2r

Отже згідно класичній теорії повинно бути

2Е.

L

З іншої сторони, рівні енергії водневоподібного атома повинні мати бальмеровський вигляд (2.7). Із формули для Еn виходить, що при переходах

атома з одного рівня на інший Еnn2 const. Тому при n – великих і n – малих повинно виконуватися співвідношення

		E		2 n			0.
		En
					n
З урахуванням правила частот Бора ( E ) одержуємо
					2E	n.
					n
Індекс у En опустимо.	Найменша відповідає переходу							n 1. Це
основна частота ( n 2,3...–	обертони). За принципом відповідності основна
частота повинна співпадати з класичною. Це можливо, коли
			L n.

Отже за теорією Бора момент імпульсу електрона, принаймні при великих квантових числах n квантується, тобто може приймати тільки визначені значення.

Із (2.8) отримаємо

L2 (m r2	)2 kZe2rm					( n)2 .
e					e
Звідси можна знайти радіуси електронних орбіт в атомі:
	r		2		n	2	.	(2.9)
			km e2
	n				Z
			e

При Z = 1, n = 1 отримаємо радіус першої орбіти атома водню (боровський радіус):

2

r1 kmee2 0,5292Ǻ.

23

Отримане значення має порядок газокінетичних розмірів атома.

Дозволені значення внутрішньої енергії атома (згідно (2.9)

	Ze2		(kZe2)2 m
En k			e	.	(2.10)
	2r		2 2n2

Знаючи En можна визначити частоту випромінювання атома, використовуючи другий постулат Бора. При переході із стану n в стан m випускається квант

En (kZe22)22 me n12 m12 .

Ця формула узагальнює формулу Бальмера-Рідберга на випадок водневоподібних атомів. Для водню (Z = 1) порівняння з формулою Бальмера-

Рідберга для сталої Рідберга дає значення

RH k2mee4 109735,7 см 1. 4 3c

В експерименті отримано RH 109677,58см 1 – для спектроскопії різниця велика. Вона зумовлена тим, що ядро атома вважалось нерухомим, а

Мяд. . Урахування руху ядра і електрона навколо спільного центра мас дає значення RH 109677см 1. Повне узгодження з експериментом досягається урахуванням таких тонких ефектів, як скінченність розмірів ядра атома водню, релятивістські поправки на рух електрона тощо.

Таким чином постулати Бора дали можливість побудувати досить переконливу теорію атома водню та пояснити деякі особливості спектра його випромінювання (теорія Бора дозволяє обчислити тільки частоти, але не інтенсивність і поляризацію). В той же час поширити теорію на багатоелектронні атоми (навіть на атом гелію з двома електронами) не вдалося. Але основний принциповий недолік теорії Бора в її непослідовності. Вона приймала існування тільки стаціонарних орбіт електронів, а до руху електронів застосовувала закони класичної механіки, відкидаючи при цьому класичну електродинаміку (оскільки немає випромінювання). За жартівним зауваженням Г. Брегга, в теорії Бора по понеділках, середах і п’ятницях необхідно застосовувати класичні закони, а по вівторках, четвергах і суботах – квантові.

Два постулати Бора, якщо не користуватися уявленням про орбіти електронів в атомах, перевірені експериментально, тому повинні вважатися правильними. Але сама теорія, як це розумів краще інших сам Бор, є тільки проміжним етапом до більш завершеної і послідовної теорії.

24

3.ХВИЛЬОВІ ВЛАСТИВОСТІ ЧАСТИНОК РЕЧОВИНИ

3.1.Хвилі де-Бройля

Недостатність теорії Бора зробила необхідним критичній перегляд основ квантової теорії і уявлень про природу елементарних частинок (електронів, протонів та ін.) На той час в оптиці склалося уявлення про корпускулярно-

хвильовий дуалізм у природі світла. В одних явищах світло проявляє себе як хвилі (інтерференція, дифракція й ін.), в інших (теплове випромінювання,

фотоефект, рентгенівське випромінювання тощо) – як частинки.

В 1924 р. французький фізик Луі де-Бройль висунув гіпотезу, що такою подвійною природою відрізняється не тільки світло, але й усі види матеріальних мікрочастинок (електрони, атоми тощо). Якщо з такою частинкою зв'язана якась хвиля, то можна чекати, що вона поширюється в напрямку швидкості самої частинки. Про природу цієї хвилі нічого певного де-Бройлем не було висловлено. Як ми побачимо далі, це – не електромагнітні хвилі й вони мають специфічну природу, для якої немає аналога в класичній фізиці.

Припускаючи таким чином, що частинки речовини поряд із корпускулярними властивостями володіють також і хвильовими, де-Бройль переніс на випадок матеріальних частинок ті ж правила переходу від однієї картини до другої, що справедливі у випадку світла.

З формули для імпульсу фотона ( p h/ ) для частинок можна визначити довжини тих пласких монохроматичних хвиль, що зіставляються цим частинкам:

	h		h	,	де m		m0		.	(3.1)
			mv
	р					1 (v/c)2

Ця формула одержала назву формули де-Бройля, а - дебройлевської довжини хвилі частинки з імпульсом р.

Другим, незалежним від (3.1) співвідношенням є зв'язок енергії частинки

Е с частотою дебройлевської хвилі:

E .								(3.2)
					2
Якщо ввести хвильовий вектор k			ev			ev	, то	p k . Формула
		v

пласкої хвилі, що описує рух вільних матеріальних частинок, має тоді наступний вид:

Aexp[i kr t ].

25

Розглянемо основні властивості хвиль де-Бройля. Обчислимо їх фазову і групову швидкості.

E

mc2

c2

1. Фазова швидкість vф

, c v, отже фазова

k

k

p

mv

v

швидкість хвиль де-Бройля більше швидкості світла у вакуумі, але вона не визначає швидкість переносу сигналу (енергії), тому це можливо.

2. Групова швидкість vгр		d		d( )		dE	. Це співвідношення
		dk		d( k)
						dp

знайдемо із таких міркувань. Прирощення енергії частинки, що рухається під дією сили F на переміщенні dr

		dp
dE (F	,dr)			,dr	(v	,dp) v dp.
		dt

Отже dE/dp v і vгр= v, тобто групова швидкість хвиль де-Бройля дорівнює швидкості частинки.

3.Із формули для фазової швидкості одержимо: vф∙vгр= с2.

4.В теорії Бора умова для визначення стаціонарних орбіт має вигляд:

mvr n		2 r n	2	,	або 2 r n ,
			mv
де 2 /mv – довжина хвилі де-Бройля.
Із цього виходить,	що	довжина кола			стаціонарної орбіти електрона

повинна дорівнювати цілому числу хвиль де-Бройля. Цю властивість де-Бройль використав для наглядного тлумачення таємничого правила квантування Бора у випадку водневоподібного атома. Він розглянув хвилю, що біжить навколо ядра по круговій орбіті електрона. Якщо на орбіті вкладається ціле число хвиль,

то у вихідну точку хвиля кожен раз буде повертатися з тією ж фазою і амплітудою. В кожній точці встановиться незмінний коливальний режим і не виникне випромінювання. В цьому випадку орбіта виявиться стаціонарною.

3.2. Експериментальне підтвердження гіпотези де-Бройля

Гіпотеза де-Бройля невдовзі була підтверджена експериментально. У 1927 р. Девіссон і Джермер виявили, що пучок електронів при розсіюванні від кристалічної пластики дає дифракційну картину.

В проведеній ними серії експериментів паралельний пучок електронів однакової швидкості, створюваний «електронною гарматою» А (мал. 3.1),

направлявся на монокристал нікелю. Розсіяні електрони вловлювалися

26

колектором С, з'єднаним з гальванометром. Колектор можна було встановлювати під будь-яким кутом до напрямку падаючого пучка й за його показниками можна було судити про інтенсивність пучків електронів,

розсіяних у різних напрямках.

Мал. 3.1

Мал. 3.2

Типова полярна діаграма інтенсивності розсіювання електронів представлена на мал. 3.2. На ній є різко виражений максимум, що відповідає дзеркальному відбиттю електронів, коли кут падіння дорівнює куту відбиття. Той же дослід, повторений з полікристалічною пластинкою нікелю, що складається з безлічі дрібних безладно орієнтованих кристаликів, не виявив ніякого переважного напрямку при відбитті електронів.

Описаний дослід становить собою точну аналогію інтерференційного відбиття рентгенівських променів від кристалу за методом Брегга. Від різних паралельних атомних площин відходять хвилі, що мов би зазнали дзеркального відбиття на кожній із цих площин (мал. 3.3). Якщо виконується умова Вульфа-

Брегга:

							2dsin n ,			(3.2)
							де d – відстань між атомними площинами,
	•		•	•	•	•	• n = 1, 2, 3…, то ці хвилі при інтерференції
		•
	d	•	•	•	•	•	всилюють одна одну.
	•						•	кут	падіння
			Мал. 3.3				Залишаючи
							постійним, змінювали довжину хвилі де-
	Бройля	( h/mеv),			(при	дослідженні рентгенівських		променів – навпаки),

тому що простіше змінювати швидкість частинок (змінюючи прискорювальний потенціал), ніж обертати кристал у вакуумі.

За теорією максимуми інтенсивності відбиття повинні з’являтись тільки при тих значеннях , які відповідають цілим значенням n в умові (3.2).

27

	Для електронів, прискорених різницею					потенціалів U, імпульс
p		, отже
	2meeU
		( h/		) 1,226/		нм.
			2meeU		U

Підставляючи це значення в формулу (3.2) отримаємо для нерелятивістських електронів

U n 1,226 . 2dsin

Тут U виражене у вольтах, а d – у нанометрах.

Таким чином, якщо при заданих d і поступово змінювати прискорювальний потенціал і вимірювати силу струму колектора (тобто інтенсивність відбиття І), то відкладаючи потім по осі абцис x U , а по осі ординат – І, отримаємо криву з рядом рівновіддалених різких максимумів, відстань між якими за формулою (3.2) повинна дорівнювати

x	1,226	.	(3.3)
	2dsin

Порівняння експериментальної кривої із положенням максимумів,

обчислених за формулою Вульфа-Брегга (на мал. 3.4 позначено стрілками) показало, що для високих значень n (n = 7, 8…) збіг точний, а для низьких значень він зменшується із зменшенням n. Як було з’ясовано Бете, розходження

І		пов’язане з тим,		що не був
		врахований показник заломлення
		хвиль де-Бройля ( вважалася
		однаковою і в кристалі і в
		вакуумі), що припустиме для
		дуже коротких хвиль, а для більш
		довгих	необхідно	використову-
	U
Мал. 3.4		вати	виправлену	формулу

Вульфа-Брегга.

Дифракція рентгенівських променів в кристалах здійснювалась також за іншими методами. Починаючи із 1928 р. Д.П. Томсоном і незалежно від нього П.С. Тартаковським проводилось дослідження дифракції електронних хвиль за методом Дебая-Шерера-Хелла. За цим методом пучок електронів, прискорений різницею потенціалів (17,5 – 56,5 кВ) проходив через полікристалічну фольгу і потрапляв на фотопластинку. На фотопластинці (мал. 3.5) виявилася центральна пляма, оточена дифракційними кільцями. Походження кілець наступне. Полікристалічна фольга утворена великою кількістю найдрібніших (~

28

	10-6 см) довільно орієнтованих кристаликів. При
	фіксованому серед множини кристаликів знайдуть-
	ся такі, що розташовані під кутом , який задоволь-
	няє умові Вульфа-Брегга. Відбиті від такого кристалу
	промені підуть по поверхні конусу – на фотоплас-
	тинці з’явиться система інтерференційних кілець.
	Штерн і його співробітники показали, що
Мал. 3.5	дифракційні явища виявляються також у атомних і
	молекулярних пучків.

3.3. Статистична інтерпретація хвиль де-Бройля

Який же фізичний зміст хвиль де-Бройля і який їх зв’язок із частинками речовини?

Одна із ідей, якої притримувався деякий час Шредінгер полягає в тому, що ніякого дуалізму хвиль і частинок не існує. Існують тільки хвилі. Частинки становлять собою суперпозицію хвиль – хвильовий пакет, тобто таке хвильове утворення, що при накладенні в певний момент часу хвилі будуть підсилювати одна одну в якійсь малій області простору, а поза цією областю відбудеться їхнє повне гасіння. Однак хвильовий пакет не може поводитись як частинка скільки завгодно довго (зі швидкістю d /dk vгр v переміщується тільки

максимум пакета, сам же пакет за рахунок дисперсії в середовищі поступово розширюється). Отже частинка не може бути хвильовим пакетом, що утворюється із хвиль де-Бройля.

Існують, крім того, загальні міркування, які вказують на те, що мікрочастинки не можна розглядати як пакети хвиль. Необхідною ознакою елементарних частинок є їхня неподільність. Цією властивістю хвилі не володіють. На границі двох середовищ хвиля розділяється на відбиту й заломлену, при проходженні через кристал вона розбивається на ряд дифракційних пучків та ін. Якщо припустити, що пучок дуже слабкий, такий, що електрони проходять через кристал один за одним, то кожен дифракційний пучок повинен був би нести тільки частину електрона, чого насправді немає.

Не можна прийняти й протилежну точку зору: первинними є частинки, а

хвилі становлять собою їх утворення, тобто виникають у середовищі подібно звуку, що поширюється в повітрі. Таке середовище повинне бути достатньо щільним – середня відстань між частинками повинна бути . А в типових випадках, як ми бачили, для хвиль де-Бройля це не виконується.

29

Але навіть якщо можна було б перебороти це утруднення, то однаково ця точка зору повинна бути відкинута, тому як вона означає, що хвильові властивості притаманні системам багатьох частинок, а не окремим частинкам.

Тим часом хвильові, інтерференційні властивості частинок не зникають і при малих інтенсивностях падаючих пучків. Це було доведено прямими досвідами Бімермана, Сушкіна й Фабриканта з електронами.

Наведені невдалі спроби фізичного тлумачення хвиль де-Бройля змусили Борна запропонувати їх статистичну інтерпретацію хвиль. Згідно ній хвилі деБройля слід розглядати як хвилі ймовірності. Більш визначено: інтенсивність

хвилі де-Бройля в будь-якому місці простору пропорційна ймовірності виявити частинку в цьому місці.

		r1		Для	пояснення	цього	тлумачення
				звернемося до інтерференційного досліду (мал.
S1
		r2		3.6): пласка хвиля падає на непрозорий екран з
S2				двома отворами: S1 і S2. В такому випадку
				виникне інтерференційна картина, що складає-
		Мал. 3.6		ться із послідовності світлих і темних смуг.
				Як можна пояснити виникнення цих смуг,

розглядаючи електрони як неділимі частинки? Припустимо, що пучок електронів досить слабкий, такий, що фотопластинка може реєструвати потрапляння окремих електронів. Тоді при проходженні крізь екран на фотопластинці з’явились би спочатку хаотично розкидані окремі темні плямки

–сліди потрапляння електронів, а потім через деякий час окремі сліди повинні утворити інтерференційні смуги.

Якщо застосувати ці міркування до окремих електронів, то можна сказати, що ймовірність знаходження електрона максимальна там, де амплітуда хвильового поля максимальна, і дорівнює нулю там, де амплітуда дорівнює нулю. Так як амплітуда може бути і додатною і від’ємною, а ймовірність – завжди додатна величина, то необхідно характеризувати її квадратом амплітуди

–інтенсивністю.

3.4. Принцип невизначеності

Статистичне тлумачення хвиль де-Бройля дозволяє пов’язати результати,

отримані теоретичним шляхом, з експериментальними фактами. Але воно залишає осторонь питання про природу мікрочастинок: електронів, протонів та ін. Оскільки властивості частинок і хвиль не тільки різні, а у багатьох

30