Лекция 3

Лекция 3

ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТИЦ

3.1.Волны де-Бройля.

3.2.Экспериментальное подтверждение гипотезы де-Бройля.

3.3.Статистическая интерпретация волн де-Бройля.

3.4.Принцип неопределённости.

3.1 Волны де-Бройля [4, 5, 1, 11]

Недостаточность теории Бора указывала на необходимость критического пересмотра основ квантовой теории и представлений о природе элементарных частиц (электронов, протонов и др.) К тому времени в оптике сложилось представление о корпускулярно-волновом дуализме в природе света. В одних явлениях свет проявляет себя как волны (интерференция, дифракция и др.), в других (тепловое излучение, фотоэффект, рентгеновское излучение и др.) – как частицы.

В 1924 г. французский физик Луи де-Бройль выдвинул гипотезу, согласно которой такой же двойственной природой отличается не только свет, но и все виды материальных микрочастиц (электроны, атомы и т.п.). Если с такой частицей связана какая-то волна, то можно ожидать, что она распространяется в направлении скорости самой частицы. О природе этой волны ничего определённого де-Бройлем не было высказано. Как мы увидим далее, это - не электромагнитные волны и они имеют специфическую природу, для которой нет аналога в классической физике.

Допуская, что частицы вещества наряду с корпускулярными свойствами обладают также и волновыми, де-Бройль перенес на случай материальных частиц те же правила перехода от одной картины к другой, что справедливы в случае света.

Из формулы для импульса фотона ( p h/ ) для частиц можно определить длины тех плоских монохроматических волн, что сопоставляются этим частицам:

	h		h	,	где m		m0		.	(3.1)
			mv
	р					1 (v/c)2

Эта формула получила название формулы де-Бройля, а - дебройлевской длины волны частицы с импульсом р.

Вторым, независимым от (3.1) соотношением является связь энергии

частицы Е с частотой дебройлевской волны:
E .				(3.2)
В принципе энергия Е определена всегда с точностью до произвольной
константы (в отличие от E ), следовательно частота является принципиально
ненаблюдаемой величиной ( в отличие от ).				2
Если ввести волновой вектор k			ev		ev , то p k . Формула плоской
		v

волны, описывающей движение свободных материальных частиц, имеет тогда

следующий вид:

Aexpi kr t

Рассмотрим основные свойства волн де-Бройля. Вычислим их фазовую и групповую скорости.

1. Фазовая скорость

E

mc2

c2

vф

,

(3.3)

k

k

p

mv

v

c v, таким образом, фазовая скорость волн де-Бройля больше скорости света в вакууме, но она не определяет скорость переноса сигнала (энергии), поэтому на величину фазовой скорости не накладывается никаких ограничений. К тому же, так как фазовая скорость определяется энергией Е, она относится к числу принципиально ненаблюдаемых величин. Из формулы для vф следует, что их фазовая скорость зависит от частоты, а значит дебройлевские волны обладают дисперсией даже в вакууме.

2. Групповая скорость

vгр		d		d( )		dE	.	(3.4)
		dk		d( k)
						dp

Это соотношение найдем из таких соображений. Приращение энергии частицы, движущейся под действием силы F на перемещении dr

		dp
dE (F	,dr)			,dr	(v	,dp) v dp.
		dt

Таким образом, dE/dp v и vгр= v, т.е. групповая скорость волн де-Бройля равна скорости частицы. Эта величина не содержит никакой неопределённости, так как приращения dp и dE определены однозначно.

3.	Из формулы для фазовой скорости получим:
4.			vф·vгр= с2.
	В теории Бора условие для определения стационарных орбит имеет вид:
	mvr n		2 r n	2	, или 2 r n ,
				mv

где 2 - длина волны де-Бройля. mv

Из этого следует, что длина окружности стационарной орбиты электрона должна равняться целому числу длин волн де-Бройля. Это свойство де-Бройль использовал для наглядного толкования таинственного правила квантования Бора в случае водородоподобного атома. Он рассмотрел волну, бегущую вокруг ядра по круговой орбите электрона. Если на орбите укладывается целое число длин волн, то в исходную точку волна каждый раз будет возвращаться с той же фазой и амплитудой. В каждой точке установится неизменный колебательный режим и не возникнет излучения. В этом случае орбита окажется стационарной.

Вернёмся к гипотезе де-Бройля. Если волновые свойства микрочастиц действительно существуют, они должны проявиться независимо от физической природы этих волн в таких явлениях, как интерференция и дифракция. Непосредственно наблюдаемой величиной в них является длина волны, которая определяется формулой (3.1). Получим с её помощью практическую формулу для расчёта при нерелятивистском движении частиц:

		h			1,22			нм,
		2meK				K

где [К] – эВ. Для электронов, ускоренных разностью потенциалов до 102 – 104 В,0,1 10 нм. Эти длины волн соответствуют диапазону мягких рентгеновских лучей (0,1 – 50 нм). Расчёты, проведенные для атомов гелия и молекул водорода при комнатной температуре, а также для других «медленных» лёгких частиц, дают длины волн, также соответствующие мягкому рентгену. Поэтому дифракцию таких частиц следовало пытаться искать методами, аналогичными тем, которые применяются в случае рентгеновских лучей. Однако гипотеза де-Бройля представлялась настолько нереальной, что она сравнительно долго не подвергалась экспериментальной проверке.

3.2 Экспериментальное подтверждение гипотезы де-Бройля [1,5,11]

Интерференция электронов при отражении от кристаллов была обнаружена, но не понята ещё до появления гипотезы де-Бройля. Дэвиссон и Кэнсман, производя опыты по рассеянию электронов тонкими металлическими фольгами в 1921 – 1923 гг., наблюдали выраженную зависимость интенсивности рассеянного пучка от угла рассеяния. Положение и величина максимумов, получаемых на кривой рассеяния, существенно зависели от скорости электронов.

Случайное обстоятельство показало, что в этом явлении решающую роль играет кристаллическая структура. В одном из опытов, в котором электроны рассеивались никелевой пластинкой, стеклянный баллон лопнул и пластинка окислилась. После длительного прокаливания пластинки в вакууме и атмосфере водорода произошла перекристаллизация с образованием некоторого колличества крупных кристаллов. При повторении опыта по рассеянию электронов с этой пластинкой кривая рассеяния резко изменилась: количество максимумов сильно возрасло, а сами максимумы сделались более отчётливыми.

Происхождение максимумов и минимумов на кривых рассеяния долгое время оставалось непонятым, пока их не истолковали как результат интерференционоого отражения волн де-Бройля от соответствующих атомных плоскостей крупных кристаллов, образововшихся после перекристаллизации. Это истолкование в 1927 г. было подтверждено опытами Девиссона и Джермера.

В этих экспериментах параллельный пучок электронов одинаковой скорости, создаваемый «электронной пушкой» А (рис. 3.1), направлялся на монокристалл никеля. Рассеянные электроны улавливались коллектором С, соединенным с

Рис. 3.1

Рис. 3.2

гальванометром. Коллектор можно было устанавливать под любым углом к направлениюпадающего пучкаипоегопоказаниямможнобылосудитьобинтенсивности пучков электронов, рассеянных в различных направлениях. Типичная полярная диаграмма интенсивности рассеяния электроновпредставленана рис.3.2.Нанейимеется резко выраженный максимум, соответствующий зеркальному отражению электронов, когда угол падения равен углу отражения. Тот же опыт, повторенный с поликристаллической пластинкой никеля, состоящей из множества мельчайших беспорядочноориентированныхкристалликов,необнаружилникакогопреимущественного направления при отражении электронов.

Этот опыт представляет собой точную аналогию интерференционного отражения рентгеновских лучей от кристалла по методу Л. Брегга. От различных параллельных атомных плоскостей кристалла исходят волны, как бы испытавшие зеркальное отражение на каждой из этих плоскостей. (рис. 3.3). Если выполнено

условие Вульфа-Брегга

2dsin n ,

(3.5)

где d – расстояние между атомными

плоскостями, n = 1, 2, 3…, то эти волны

•

•

•

•

•

•

при

интерференции

усиливают друг

•

друга.

d

В одной

серии

опытов,

оставляя

•

•

•

•

•

•

•

угол падения

постоянным,

изменяли

Рис. 3.3

длину

волны

де-Бройля ( h/mеv),

(при исследовании рентгеновских лучей

– наоборот), так как проще изменять скорость частиц (изменяя ускоряющий потенциал), чем вращать кристалл в вакууме.

По теории максимумы интенсивности отражения должны появляться только при тех значениях , которые соответствуют целым значениям n в условии (3.5).

Для электронов, ускоренных разностью потенциалов U, импульс p 2meeU ,

таким образом

( h/2meeU) 1,226/U нм.

Подставляя это значение в формулу (3.5) получим для нерелятивистских электронов

U n 1,226 . 2dsin

Здесь U выражено в вольтах, а d – в нанометрах.

Таким образом, если при заданных d и постепенно изменять ускоряющий потенциал и измерять силу тока коллектора (т.е. интенсивность отражения І), то откладывая потом по оси абцисс x U , а по оси ординат – І, получим кривую с рядом равноотстоящих резких максимумов, расстояние между которыми по формуле (3.5) должна равняться

x 1,226 . 2dsin

І		Сравнение		экспериментальной
		кривой с положением максимумов,
		вычисленных по формуле Вульфа-
		Брегга (на рис. 3.4 обозначено
		стрелками) показало, что для
		высоких значений n (n = 7, 8…)
		совпадение точное, а для низких
		значений	оно	уменьшается	с
		уменьшением n. Как было выяснено
	U
		Бете, расхождение связано с тем,
Рис. 3.4
		что не	был	учтён показатель
		преломления волн де-Бройля			(

считалась одинаковой и в кристалле и в вакууме), что допустимо для очень коротких волн, а для более длинных необходимо использовать исправленную формулу Вульфа-Брегга.

Дифракция рентгеновских лучей в кристаллах осуществлялась также другими методами. Начиная с 1928 г. Д. П. Томсоном и независимо от него П. С. Тартаковським проводилось исследование дифракции электронных волн по методу Дебая-Шерера-Хелла. Согласно этому методу пучок электронов, ускоренный разностью потенциалов (17,5 - 56,5 кВ) проходил через тонкую металлическую фольгу и попадал на фотопластинку. На фотопластинке (рис. 3.5) выявилось центральное пятно, окруженное дифракционными кольцами. Происхождение

колец следующее. Поликристаллическая фольга образована большим количеством наимельчайших (~ 10-6 см) произвольно ориентированных кристалликов. При фиксированном среди множества кристалликов

	обнаружатся такие, что расположены под углом ,
	удовлетворяющим	условию	Вульфа-Брегга.
	Отраженные от такого кристаллика лучи пойдут по
	поверхности конуса - на фотопластинке появится
	система интерференционных колец.
Рис. 3.5	Штерн и	его сотрудники	показали, что

дифракционные явления наблюдаются также у атомных и молекулярных пучков.

3.3 Статистическая интерпретация волн де-Бройля [1,5,11].

Каков же физический смысл волн де-Бройля и какова их связь с частицами вещества?

Одна из идей, которой некоторое время придерживался Шредингер, а потом быстро отказался от неё, заключается в том, что никакого дуализма волн и частиц не существует. Существуют только волны. Частицы же представляют собой суперпозицию волн – волновой пакет, т.е. такое волновое образование, что при наложении в определённый момент времени волны будут усиливать друг друга в какой-то малой области пространства, а вне этой области произойдёт их полное гашение. Казалось, что подтверждением такой точки зрения служит то, что цент волнового пакета, подобно центру группы волн, должен в вакууме

распространяться с групповой скоростью. А согласно формуле (3.4) групповая скорость волн де-Бройля равна скорости частицы.

Однако волновой пакет не может вести себя как частичка сколько угодно долго. Со скоростью d /dk vгр v перемещается только максимум пакета, сам

же пакет за счет дисперсии в среде постепенно расширяется. Монохроматические волны различных частот, из которых образован пакет будут расходиться с различными фазовыми скоростями. Таким образом, частица не может быть волновым пакетом, образованным из волн де-Бройля.

Существуют, кроме того, общие соображения, указывающие на то, что микрочастицы нельзя рассматривать как пакеты волн. Необходимым признаком элементарных частиц является их неделимость. Этим свойством волны не обладают. На границе двух сред волна разделяется на отражённую и преломленную, при прохождении через кристалл она разбивается на ряд дифракционных пучков и т.д. Если предположить, что пучок очень слаб, так, что электроны проходят через кристалл один за другим, каждый дифракционный пучок должен был бы нести только часть электрона, чего на самом деле нет.

Нельзя принять и противоположную точку зрения: первичными являются частицы, а волны представляют собой их образования, т.е. возникают в среде, состоящей из частиц, подобно звуку, распространяющемуся в воздухе. Такая среда должна быть достаточно плотной, так как о волнах в среде имеет смысл говорить лишь тогда, когда среднее расстояние между частицами очень мало по сравнению с длиной волны. А в типичных случаях, как мы видели, для волн де-Бройля это не выполняется.

Но даже если можно было бы преодолеть это затруднение, то всё равно эта точка зрения должна быть отвергнута, так как она означает, что волновые свойства присущи системам многих частиц, а не отдельным частицам. Между тем волновые, интерференционные свойства частиц не исчезают и при малых интенсивностях падающих пучков. Это было доказано прямыми опытами Бимермана, Сушкина и Фабриканта с электронами.

Приведенные неудачные попытки физического толкования волн де-Бройля вынудили Борна предложить статистическую интерпретацию волн де-Бройля. Согласно ей волны де-Бройля следует рассматривать как волны вероятности. Более

		r1		определёно: интенсивность волны де-Бройля в
				каком-либо месте пространства пропорциональная
S1				вероятности обнаружить частицу в этом месте.
		r2		Для объяснения этого толкования обратимся
S2				к мысленному эксперименту, аналогичному опыту
				Юнга по изучению интерференции от двух щелей
Рис. 3.5				(рис. 3.5): Направим на преграду с двумя щелями:
				S1 и S2 плоский пучок электронов. После
				прохождения пучка сквозь щели на экране

возникнет интерференционная картина, состоящая из последовательности светлых и темных полос, положение которых можно рассчитать по формулам волновой оптики.

Как можно объяснить возникновение этих полос, рассматривая электроны как неделимые частицы? Предположим, что пучок электронов довольно слаб, такой, что фотопластинка может регистрировать попадание отдельных электронов. Тогда при прохождении через экран на фотопластинке появились бы сначала

хаотически разбросанные отдельные темные пятнышки - следы попадания электронов, а потом спустя некоторое время отдельные следы должны образовать интерференционные полосы.

Если применить эти соображения к отдельным электронам, то можно сказать, что вероятность нахождения электрона максимальна там, где амплитуда волнового поля максимальна, и равняется нулю там, где амплитуда равняется нулю. Так как амплитуда может быть и положительной и отрицательной, а вероятность - всегда положительная величина, то необходимо характеризовать её квадратом амплитуды - интенсивностью.

3.4. Принцип неопределенности [5,1,2,11]

Статистическое толкование волн де-Бройля позволяет связать результаты, полученные теоретическим путем, с экспериментальными фактами. Но оно оставляет в стороне вопрос о природе микрочастиц: электронов, протонов и др. Поскольку свойства частиц и волн не только различны, а во многих отношениях взаимоисключающие, то приходится заключить, что электроны на самом деле не является ни тем, ни другим. Однако, поскольку мы вынуждены для описания одних и тех же объектов пользоваться и волновой и корпускулярной картинами, мы уже не можем приписать этим объектам все свойства частиц и все свойства волн. Необходимо внести ограничения в применении к электронам этих картин.

В классической механике состояние материальной частицы в каждый момент времени характеризуется её расположением и импульсом. Наличие у электронов волновых свойств вносит существенные ограничения в возможность такого описания состояния системы микрочастиц.

Предположим, что нам известно расположение микрочастицы на оси х с

некоторой неточностью х, так, что можно утверждать, что частица находится на интервале от х до х+ х. Этот факт в волновой картине описывается, очевидно,

тем, что амплитуда волновой функции отлична от нуля лишь на участке х. Такая функция представляет собой волновой пакет – суперпозицию синусоидальных волн со значениями волнового вектора в диапазоне от kx до kx+ kx .

Рассмотрим волновой пакет, образованный синусоидами с одинаковой амплитудой, волновые числа которых возрастают на одну и ту же величину. В

точке х фазы волн изменяются от от kxх до (kx+ kx )х, т.е. на величину х kx . Если

х kx = 2 , то в этой точке все синусоиды взаимно гасят друг друга. Найдем ближайшую точку х+ х, в которой будет также происходить гашение. В этой точке разность фаз между крайними синусоидами будет равна

(kx kx)(x x) kx (x x) x kx x kx 2 x kx .

Ближайшее гашение произойдёт, когда х kx 2 . Таким образом волновое возмущение разобьется на отрезки длиной х, на концах которых волновое поле

обращается в нуль. Если воспользоваться синусоидами всевозможных амплитуд,

то можно усилить возмущение в пределах только одного отрезка х, а всюду в других погасить. Это следует из теоремы Фурье, причем необходимым условием являются выполнения соотношения:

х kx 2 .

Таким образом, минимальная ширина интервала kx в волновом пакете должна удовлетворять приведенному условию. Домножая обе части этого

неравенства на и учитывая то, что		kx	px , получим (для других координат
аналогично):
х px 2
	2		Неравенства Гейзенберга, 1927 . (3.4)
y py
	2
z pz

Из этих соотношений следует, что координата х и импульс рх не могут одновременно иметь определенные значения, т.е. если х = 0, то рх .

Другими словами, чем точнее локализовано расположение частицы (чем меньшех), тем больше неопределённость соответствующей компоненты импульса, и

наоборот. Таким образом, принцип неопределенности Гейзенберга отражает тот факт, что в природе объективно не существуют состояния микрочастиц с точно определёнными значениями обеих переменных: х и рх.

Соотношение Гейзенберга проявляется при любой попытке измерения

точного расположения или импульса частицы.

Пример 1. Рассмотрим эксперимент, позволяющий прямым путем определить скорость электрона (рис. 3.7). Пусть на экран со щелью ширины d (диафрагму) падает электрон, двигающийся параллельно оси устройства. Если

A

электрон прошёл через щель,

то

его

координата

х будет

p

зафиксирована

с точностью

d

y

х

~

d.

Суживая

ширину

щели

можно

определить

Рис. 3.7

расположение

электрона

с

необходимой

точностью.

Казалось

бы,

импульс

электрона

также является полностью

определённым.

Поскольку

импульс

р

параллелен оси y, то рх = 0, а рy = р. Однако при прохождении щели плоская волна де-Бройля, представляющая собой движение свободного электрона, испытать дифракцию. А это означает следующее: вообразим вместо одного электрона их параллельный поток, который проходит через диафрагму параллельно оси у. Тогда на фотопластинке мы получим дифракционную картину, из вида которой можно заключить, что некоторые электроны изменяют свое направление.

Дополнительный импульс электрона, попадающего в точку А

px	psin	2	sin .	(3.5)
Если учитывать попадание	электрона в пределах			только главного

дифракционного максимума, то угол будет углом между осью y и направлением

на первый дифракционный	минимум. Из условия минимума xsin и
соотношения (3.5) получим:	х px 2 .	Если	учесть также дополнительные
максимумы, то имеем: х px	n2 , т.е.	х px	2 . Это и есть соотношения
неопределённости.

Проведем количественную оценку. Масса электрона me = 9∙10-31 кг. Пусть необходимо установить принадлежность электрона определённому атому. Размер атома ~ 10-10 м, таким образом, целесообразная точность х ~ 10-11 м. Тогда

	v			1,054 10 34	1,17 107 м/с.
		m x		9,11 10 31 10 11

В опытах Франка и Герца при энергиях порядка 10 эВ скорость электрона v ≈ 1,87∙106 м/с. Тогда, в этом случае неопределённость скорости на порядок больше самой скорости.

Пример 2. Наблюдение поведения микрочастиц в камере Вильсона показывает, что при достаточно большой энергии частиц наблюдаются строго прямолинейные траектории и никаких признаков неопределённости импульса, связанных с волновыми свойствами, не обнаруживается. Для объяснения этого вспомним, что прямолинейные траектории представляют собой гирлянду маленьких капелек тумана. Размеры капелек ~ 10-6 м, поэтому в этом случае х = 10-6 м и р ~ 10-28 кг∙м/с в случае электронов.

Так как, с другой стороны, прямолинейные траектории наблюдаются только при очень больших энергиях, то р<< p, и в указанных пределах точности микрочастица будет вести себя как вполне классическая частица. Вообще при очень больших энергиях волны де-Бройля будет очень мала, и так же, как в оптике, при очень малых можно применять геометрическое приближение, т.е. световые лучи, в случае микрочастиц можно говорить об определённых траекториях.

Анализ приведенных и многих других ситуаций, связанных с измерениями,

показывает, что измерения в квантовой области принципиально отличаются от классических измерений. В квантовой физике существует естественный предел точности измерений. Он в самой природе квантовых объектов и не может быть преодолён никаким совершенствованием приборов и методов измерений.

Соотношения Гейзенберга устанавливают один из таких пределов.

Соотношение неопределённостей является одним из фундаментальных

положений квантовой механики. Одного этого соотношения достаточно, чтобы получить ряд важных результатов, в частности:

1.Невозможно состояние, в котором частица находилась бы в состоянии

покоя.

2.При рассмотрении движения квантового объекта необходимо во многих случаях отказаться от самого понятия классической траектории.

3.Часто теряет смысл деление полной энергии Е квантовой частицы на потенциальную U и кинетическую К, так как потенциальная зависит от координат,

акинетическая – от импульса. Эти же переменные не могут иметь одновременно определённые значения.