ПРЗ-1_Уравнения и неравенства

«рецепт» решения без доказательства и без объяснений, для всех видов квадратных уравнений с действительными и даже отрицательными корнями. Более современное оформление учения о решении квадратных уравнений было у Бомбелли (1572) и у Стевина (1585); появилось доказательство и был рассмотрен случай мнимых корней.

Уравнение кубическое. Первые попытки решения кубических уравнений относятся к глубокой древности, к кубическим уравнениям сводятся делосская задача и задача о трисекции угла. Однако в математике древности кубические уравнения появлялись лишь эпизодически. Большой материал накопили математики стран ислама. Систематизировал этот материал Омар Хайям.

Строгое доказательство того, что знаменитые задачи древности не могут быть решены с помощью циркуля и линейки, было получено Ванцелем (1837).

Первое решение одного из видов кубического уравнения ( x3 ax b 0 ) удалось найти профессору Болонского университета дель Ферро. Тарталья вновь открыл метод решения таких уравнений и изобрел правило для решения уравнений другого вида (1535). Эти правила у Тартальи выпросил Кардано, поклявшись не публиковать их (1539). Через шесть лет Кардано обнародовал решения, правда, упомянув об авторстве

«Magna sive de regulis algebraicis» («Великое искусство или об алгебраических правилах», 1545).

Тригонометрическое решение кубического уравнения в неприводимом случае впервые дал Виет в Supplementum Geometriae (1593).

Название кубическое уравнение впервые употребили Декарт (1619) и Оутред (1631). Декарт и Ньютон рекомендовали каноническую запись уравнения: все члены перенести влево. Лагранж обозначил корни уравнения через х1, х2, х3.

Геометрическое истолкование уравнения первой степени. Со времен Рене Декарта общий вид уравнений первой степени с одним неизвестным записывается следующим образом: ax b 0, a 0 (1).

До Декарта записывали члены уравнений с положительными коэффициентами по обе стороны от знака равенства. Декарт впервые стал систематически представлять уравнения в канонической форме f (x) 0 ,

т. е. с правой частью, равной нулю. Это облегчило доказательство общих теорем алгебры.

Благодаря методу координат, основы которого были впервые опубликованы в «Геометрии» Декарта (1637), между алгеброй и геометрией была установлена тесная связь. Алгебраическое уравнение Декарт рассматривал как зависимость между х и у, определяющую положение точек на плоскости. Так, например, корень уравнения (1) можно геометрически изобразить точкой М пересечения прямой y = ax + b с осью Ох, т. е. с прямой у = 0 (рис. 5).

31

Вводя второе неизвестное (у), Декарт разбивал уравнение на два, каждое из которых представляло некоторое геометрическое место точек. Так, уравнение (1) можно представить и в виде ax = -b, тогда его корень можно найти как абсциссу точки М/ пересечения прямых y b и y ax

(рис. 6).

Рис. 5

Рис. 6

Независимо от Декарта и почти одновременно с ним метод координат открыл и другой французский математик — Пьер Ферма. Однако соответствующий труд Ферма — «Введение в плоские и пространственные геометрические места» — был опубликован спустя 14 лет после смерти автора, т. е. в 1679 г.

32

════════════════════════════════════════

Занятие 3. РЕШЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РАЗЛИЧНЫМИ МЕТОДАМИ

══════════════════════════

Актуализируем знания по теме

Выполняем задания устно

3.1.Определите вид уравнения и предложите метод его решения:

1) x4 10x3 24x2 5x 6 0;

2) x4 x3 6x2 3x 9 0;

3) 6x4 25x3 12x2 25x 6 0;

4) (x2 3x 1)(x2 4x 1) 2(x 2)2; 5) 2(x2 x 1)2 7(x 1)2 13(x3 1);

		x 3 2									x 3						2			x2 9
6)	3						168												46				0;
																				x	2	4
		x 2									x 2
			x		2				8x			12 0 ;
7)
	x 1								x		1
			x		2			x 1							2	3
8)																			;
																2
	x 1							x

9)(x 2)(x 3)(x 1)(x 6) 96 ;

10)(x 2)(2x 5)(x 4)(x 5) 2x2 ;

11)	2x			3x			5	;
	x2 4x 2			x2 x 2			4
12) (x 3)4		(x 2)4 (2x 5)4						0;
			5x2
13) 0, 2x2					120;
		x2 10x 25

14)x(2x 1)(4x 5)(4x 3) 20;

15)(x2 2x)2 3(x2 2x)(x2 3x 10) 4(x2 3x 10)2 0.;

33

	16) х2	9х2	7	;
		(х 3)2

17) 6x4 35x3 62x2 35x 6 0 .

Практикуемся в решении задач

3.2. Исследуйте и решите уравнение ( p2 1)x 1 p3 0.

3.2.Найдите сумму квадратов корней уравнения x2 px q 0 , не решая самого уравнения.

3.3.Исследуйте уравнение ax2 2x a2 0 , где a — действительное

число.

3.4.Найдите все действительные значения a , при которых один из

корней уравнения x2 154 x а2 0 является квадратом другого.

3.5. Найдите все значения r , при которых уравнение rx2 2(r 2)x 3(r 2) 0

имеет два равных корня.

3.6.Решите уравнение x4 10x3 35x2 50x 24 0 .

3.7.Решите уравнение 6x3 x2 11x 6 0 .

3.8. Решите уравнение x4 8x3 11x2 20x 4 0 методом неопределенных коэффициентов.

	3.9. Решите уравнение		15		(x 1)2	x2 .
		x2	x 1

3.10.Решите уравнение x4 6x3 5x2 12x 3 0 .

3.11.Решите уравнение x4 4x3 3x2 2x 1 0 .

		1		2		1	2		13
3.12.	Решите уравнение									.
	x 1				x 2				36

3.13.Решите уравнение 2x4 21x3 74x2 105x 50 0 .

3.14.Решите уравнение 2x4 3x3 16x2 3x 2 0.

3.15. Решите уравнение		3x				2x		3	.
	x2	4x 1			x2
						x 1 8

3.16. Решите уравнение (x 3)4 (x 5)4 16.

34

Закрепляем материал самостоятельно

3.17. При каком значении b уравнение 4b 3 x 3b 9 0 не имеет корней? Ответ объясните.

3.18.При каком значении a уравнение 5ax 4 x 3 1) имеет положительные решения; 2) имеет отрицательные решения; 3) не имеет решения; 4) имеет нулевое решение?

3.19.Ребра a, b, c прямоугольного параллелепипеда являются

корнями кубического уравнения x3 10x2 23x 15 0. Найдите объем и полную поверхность параллелепипеда.

3.20. При каких значениях параметра a один из корней уравнения

x2 7x 2a 0 равняется удвоенному корню уравнения x2 5x a 0? 3.21. Решите в целых числах уравнение:

x2004 2004x2003 2003x2002 ... 2x 1 0.

Изучаем интересный материал

Эвристические приемы1, используемые при решении уравнений

	1. Выделение целой части дроби
	Пример 3.1.	Решите уравнение	x 2		x2 3	2 .
			x 1		x2 2

Решение. Выделив целую часть каждой дроби, получим,

1		1		1		5		2.
	x				x2		2
			1

Раскроем скобки, приведем подобные и перенесем второе слагаемое

15

вправую часть уравнения: x 1 x2 2 . Отсюда имеем квадратное

уравнение x2 5x 3 0 , корни которого	x	5		37	.
	1,2		2

1 Эвристические приемы — это особые приемы, которые сформировались при решении одних задач и более или менее сознательно переносятся на решение других задач.

35

Пример 3.2.

2. Выражение одной переменной через другую

Смысл приема заключается в том, что одно из неизвестных в заданном уравнении принимается в качестве параметра, а все последующие рассуждения проводятся относительно другого (других) неизвестного или параметра.

Решите уравнение

a2 2 x2 5x 1 a x4 10x2 22x2 12x 0 .

Решение. Считая х параметром, решим данное уравнение как

квадратное относительно а. Получим a x2 6x или a x2 4x 2 . Это дает возможность заменить условие другим, равносильным данному: «При каких значениях х верно хотя бы одно из равенств: a x2 6x и a x2 4x 2 ?». В такой формулировке задача решается просто.

3. Инверсия

Под инверсией понимается перестановка или расположение членов выражения в особом порядке, нарушающем заданный так называемый прямой порядок, с целью получения нового выражения, тождественно равного данному и более удобного для выполнения последующих преобразований. Этот прием лежит в основе различного рода группировок, используемых для разложения многочленов на множители и т. д.

4. Использование симметрии

Пример 3.3. Решите уравнение									x(x 1)(x 2)(x 3) 24 ,									используя
симметрию.
Решение.	Числа					x, x 1, x 2, x 3						симметрично				расположены
относительно числа x			3			. Сделав замену переменной x									3	y ,		уравнение
			2											2
	3		1				1		3				2	9)(4y			2	1) 384 .
примет вид y		y				y		y		24	,	или (4y
	2		2				2		2

Дальнейшее очевидно.

5. Разбиение «целого на части»

Разбиение «целого на части» — это достаточно универсальный эвристический прием, смысл которого заключается в том, чтобы найти такие «составляющие» данного объекта (выражения), рассмотрение которых облегчает решение.

Пример 3.4. Решите уравнение x3 3x2 7x 5 0 методом разложения левой части уравнения на множители, применив данный эвристический прием.

Решение. Если в многочлене, стоящем в левой части уравнения, слагаемые 3x2 и 7x заменить соответственно на их суммы x2 2x2 и 5x 2x , то тогда легко усматривается возможность представления его в

виде произведения (x 1)(x2 2x 5) . Дальнейшее очевидно.

36

6. Реконструкция «целого по части»

Прием используется для восстановления того или иного выражения по какой-либо его части, если это выражение совпадает с требуемым или ранее изученным. В алгебраических задачах этот прием чаще всего принимает вид «дополнения до полного квадрата (куба)», однако существуют и другие формы его применения.

Пример 3.5. Решите уравнение 9x4 4 12x2 0 .

Решение. Если данное биквадратное уравнение свести методом замены переменной к соответствующему квадратному уравнению, то это будет очень нерациональный способ решения. Намного проще применить эвристический прием реконструкции «целого по части», для этого достаточно заметить в левой части уравнения формулу «квадрат

разности». Получим (3x2 2)2

0 , отсюда 3x2 2

0 ,

x

2

.

3

7. Сведение уравнения к системе

Пример 3.6. Решите уравнение x4 (1

x)4

17 .

Решение.

Для решения

уравнения

положим

1 x

y , получим

систему

x2

y4

17,

Это стандартная симметрическая система.

x

y

1.

════════════════════════════════════════

Занятие 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА. РАВНОСИЛЬНОСТЬ И СЛЕДОВАНИЕ НЕРАВЕНСТВ

══════════════════════════

Актуализируем знания по теме

ОСНОВНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Решение рациональных неравенств путем равносильных преобразований.

2.Обобщенный метод интервалов для решения неравенств.

Повторяем теоретический материал

Равносильные преобразования неравенств

Def. Неравенства называют равносильными на некотором множестве,

если на этом множестве они имеют одни и те же решения.

37

Def. Если множество решений первого неравенства является подмножеством решений второго неравенства, то второе неравенство называют следствием первого неравенства.

Например, неравенство x 2 является следствием неравенства x 5 . Поскольку пустое множество является подмножеством любого множества, то любое неравенство с одной переменной является следствием неравенства, не имеющего решений.

Все равносильные преобразования неравенств выполняются на ОДЗ заданного неравенства.

К простейшим теоремам о равносильности неравенств относятся:

Th.4.1 Если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части неравенства в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному (на любом множестве).

Th.4.2 Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же положительное число (на одну и ту же функцию, которая определена и положительна на ОДЗ заданного неравенства), не меняя знак неравенства, то получим неравенство, равносильное данному (на ОДЗ заданного).

Th.4.3 Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же отрицательное число (на одну и ту же функцию, которая определена и отрицательна на ОДЗ заданного неравенства), и изменить знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному (на ОДЗ заданного).

Обобщенный метод интервалов

Решение неравенств методом интервалов основано на свойствах функций, которые связаны со сменой знаков функций. Рассматривая графики известных функций, можно заметить, что функция может изменять свой знак только в двух случаях:

1)если график функции разрывается (например, функция y 1x );

2)если график без разрыва переходит из нижней полуплоскости в верхнюю (или наоборот), но тогда график пересекает ось Ох. На оси Ох значение функции равно нулю.

Таким образом, любая функция может поменять свой знак только в нулях или в точках, где разрывается график функции.

38

	План решения неравенств методом интервалов
1.	Привести неравенство к виду f x 0 ,	f x 0 .
2.	Найти ОДЗ неравенства.
3.	Найти нули функции f x f x 0 .

4.Нанести нули функции на ОДЗ и определить знак функции на каждом из промежутков.

5.Записать ответ, учитывая знак неравенства.

Пример 4.1. Решите неравенство 2x 4 0 . x 1

Решение. f x 2x 4 . ОДЗ: x 1 0 , x 1. x 1

fx 0 , если 2x 4 0 , x 2 .

x1

Рис. 4.1

Решением неравенства является x ; 2 1; .

Ответ: ; 2 1; .

Выполняем задания устно

4.1.Какое из двух неравенств является следствием другого?

1) x 4 и x 1;

2) x 5 и x 5;

3) x2 0 и x 0;

4)

1 и

x

0;

x

5)

x

x и x2 x 2 0.

4.2. Решите неравенства:

4) x 1 (x 2)2 0 ;

1)

x2 0 ;

2) x2 0 ;

3) x(x2 1) 0 ;

5)

x 1

0 ;

6)

x 1

0

;

7)

x 1

1

;

8)

x 1

1;

x 1

x 1

x 1

x 1

3

9)

x

1

1

1;

10)

(x 1)(x 4)

0 .

x

x

x 4

39

Практикуемся в решении задач

4.3. Укажите пары равносильных неравенств:

	1)	xcos2 cos2 и x 1;	2)	1				1 и
					х
	3)	x2 x и x 1;	4)			х 1
				х 2 2

х1;

0 и x 1 0;

5)

х 1

0 и

x 1 0;

6)

2x

1

1

4 и x 2 ;

х2 2

х 1 х

1

7)

х

0 и x(x 1) 0 ;

8)

х

0 и x(x 1) 0 ;

х 1

х 1

9)

х 1 и x 1;

10)

х 1 и x 1.

4.4. Решите неравенства:

1) x 1 3 x x 2 2 0;

2) (x2 4) x2 x 2 0;

3)

x 1 3 x 2 4 x 5

0;

4) x 4 x 3 3x 7 x2

0;

2x 1 x 4 2

x2 x 2

1

5

1;

5)

2 x

x

6)

x2

3x

1

x2

3x 3

5.

2

4.5*. Решите неравенства, содержащие параметр а:

1) x 2 x a 0 ;

2) x 3 x a 2 0;

3) x 3 x a 2 0 ;

4) x a x 2 2 0 ;

5) x a x 2 2 0 ;

6) x 5 x a

0 .

x 5

Закрепляем материал самостоятельно

4.6. Равносильны ли неравенства?

1) x 3 6 и 4x 12;

2)

(x 2)2 (x 1) 0

и (x 1) 0 ;

3) (x 2)2 (x 1) 0 и (x 1) 0 ;

4)

1

1 и x 1;

x

5) x2 x и x 1;

6) (x 4)2 0 и

x 2

0;

7) (x 1)2 0 и

x 1

0;

8)

x

0 и x2 0.

40