ПРЗ-1_Уравнения и неравенства

Министерство образования и науки, молодежи и спорта Украины Донецкий национальный университет

Факультет математики и информационных технологий Кафедра высшей математики и методики преподавания математики

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Учебно-методическое пособие

Утверждено на заседании ученого совета факультета математики и информационных технологий. Протокол № 119 от 20.09.2012 г.

Донецк Издательство ДонНУ

2012

Составители:

З. А. Брусило,

УДК 37.02:51:072 ББК В192.161.я73

ст. препод. кафедры высшей математики и методики преподавания математики Донецкого национального университета;

И. В. Гончарова, канд. пед. наук, доц. кафедры высшей математики и методики преподавания математики Донецкого национального университета

Рецензенты:

Н. Н. Лосева, д-р пед. наук, проф. кафедры высшей математики и методики преподавания математики Донецкого национального университета;

В. А. Цапов, канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры высшей математики и методики преподавания математики Донецкого национального университета

Алгебраические уравнения и неравенства: учебно-методическое пособие для студентов первого курса специальности «Математика» / сост.: З. А. Брусило, И. В. Гончарова. — Донецк: Изд-во ДонНУ, 2012. — 80 с.

Учебно-методическое пособие содержит материалы для организации практических занятий и самостоятельной работы студентов первого курса факультета математики и информационных технологий Донецкого национального университета специальности «Математика» при изучении темы «Алгебраические уравнения и неравенства» курса «Практикум по решению задач».

УДК 37.02:51:072 ББК В192.161.я73

©Брусило З. А., Гончарова И. В., 2012

©Издательство ДонНУ, 2012

2

ПРЕДИСЛОВИЕ

Уважаемый студент!

В данном пособии рассматривается тема «Алгебраические уравнения и неравенства» курса «Практикум по решению задач». Пособие даст Вам возможность выяснить прочность и глубину усвоения школьного курса математики, позволит систематизировать знания по данной теме, овладеть новыми умениями и навыками.

Учебно-методическое пособие призвано стать надежным помощником на занятиях в аудитории, а также при самостоятельной работе дома, подготовке к контрольной работе и выполнении индивидуального задания.

Первый блок «Инструктивный» поможет Вам организовать свою работу и мобилизовать себя на достижение поставленных задач. В него входит инструкция к выполнению самостоятельной работы студента (СРС) и список рекомендованной литературы. Предоставленный материал подскажет, как спланировать самостоятельную работу.

Работа с первым блоком выполняется самостоятельно дома.

Второй блок «Теоретико-практический» является надежным помощником при усвоении теоретического материала, его закреплении и систематизации, отработке навыков решения задач по теме, а также при подготовке к контрольной работе и модульному контролю. Весь материал блока распределен по занятиям. Каждое занятие содержит такие элементы: актуализация знаний по теме (теоретический материал, образцы решения основных типов задач, вопросы для самопроверки), упражнения для отработки необходимых навыков и умений, задание для самостоятельной работы, дополнительный материал.

Вначале и в конце каждого занятия Вам будет предложено оценить уровень своих знаний и умений по теме по пятибалльной шкале, что способствует развитию критического мышления и самопознания.

Для каждого занятия подобраны дифференцированные упражнения, что позволяет каждому студенту выбрать свой уровень сложности. Разнообразие предложенных заданий способствует поддержанию познавательного интереса студентов, пробуждению творческой мысли и активности в самостоятельной работе.

Вразделе «Рефлексия» Вам будет предложено осознать результаты собственной деятельности. Рефлексивные таблицы могут быть использованы как студентом (например, при подготовке к контрольной работе), так и преподавателем. Они дают возможность вовремя скорректировать пробелы в знаниях по теме.

3

Третий блок «Контролирующий» поможет Вам качественно подготовиться к проверке знаний и умений по теме «Алгебраические уравнения и неравенства». В этом блоке представлено индивидуальное задание, включающее контрольные вопросы, упражнения для самостоятельного решения, образец контрольной работы.

Учебная работа с третьим блоком выполняется самостоятельно дома.

Итак, добросовестная работа с данным учебно-методическим пособием поможет Вам достичь высоких результатов при изучении темы «Алгебраические уравнения и неравенства».

Желаем успехов!

І. ИНСТРУКТИВНЫЙ БЛОК

Для эффективного изучения данной темы Вам необходимо выполнять инструкции, представленные ниже для каждого занятия.

ПЕРЕД ЗАНЯТИЕМ

Для продуктивной работы на занятии необходимо владеть определенными знаниями (табл. 1) и умениями (табл. 2). При необходимости, ликвидировать пробелы в знаниях теоретического материала можно, изучив рекомендованную литературу.

НА ЗАНЯТИИ

1.Выполнять самостоятельно упражнения, представленные во втором блоке. В случае затруднения, следует обратиться с вопросом к преподавателю.

2.Если Вы успели до конца пары решить все упражнения, то можете перейти к выполнению индивидуального задания.

ПОСЛЕ ЗАНЯТИЯ

1.Выполнить упражнения, предложенные для самостоятельной работы.

2.Решить упражнения из индивидуального задания, по формулировке схожие с упражнениями, которые решались в аудитории.

4

Список рекомендованной литературы

1.Афанасьева О. Н. Неравенства / О. Н. Афанасьева, А. А. Амиршадян.

—Донецк: ДонНУ, 2003. — 24 с.

2.Афанасьева О. Н. Уравнения / О. Н. Афанасьева, М. В. Каменская.

—Донецк: ДонНУ, 2002. — 32 с.

3. Афанасьева О. Н. Уравнения и системы уравнений / О. Н. Афанасьева, А. А. Амиршадян. — Донецк: ДонНУ, 2003. — 36 с.

4.Башмаков М. И. Уравнения и неравенства / М. И. Башмаков. — Изд. 2-е, перераб. — М.: Наука, 1976. — 96 с.

5.Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Справочное

пособие	//	В. В. Вавилов,	И. И. Мельников,	С. Н. Олехник,
П. И. Пасиченко. — М.: Наука, 1987. — 240 с.

6.Задачи с параметром: учебное пособие / сост.: Е. И. Величко, В. А. Цапов, А. А. Ярцева; под общ. ред. В. А. Цапова. — Донецк: ДонНУ,

2008. —118 с.

7.Зайцев В. В. Элементарная математика. Повторительный курс / В. В. Зайцев, В. В. Рыжков, М. И. Сканави. — М., 1974. — 592 с.

8.Математика для тих, хто вступає до вузів: навч. посібник /

упоряд.: М. Ф. Бондаренко, В. А. Дікарєв, О. Ф. Мельников, В. В. Семенець, Л. Й. Шкляров. — Харків: ХТУРЕ, 1999. — 1120 с.

9.Мерзляк А. Г. Алгебраический тренажер : пособие для школьников и абитуриентов / под ред. А. Г. Мерзляка, В. Б. Полонского, М. С. Якира. — М.:

Илекса, 2007. — 320 с.

10.Начала теории уравнений : методические рекомендации к

проведению факультативных занятий (пособие для учителя) / И. В. Гончарова, Н. В. Коваленко, Е. И. Скафа / под общ. ред. Е. И. Скафы.

—Изд. 2-е, доп. — Донецк: ДонНУ, 2007. — 88 с.

11.Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Справочник // С. Н. Олехник, М. К. Потапов, П. И. Пасиченко. — М.: Изд-

во МГУ, 1991. — 144 с.

12.Рогов А. Т. Алгебра. Программированное учебное пособие для техникумов / А. Т. Рогов. — М.: Высш. школа, 1972. — 432 с.

13.Скафа Е. Неравенства : эвристико-дидактические конструкции : учебно-методическое пособие / Е. Скафа. — Донецк: Фирма ТЕАН, 2003.

—126 с.

14.Талочкин П. Б. Неравенства и уравнения. Упражнения и методические указания. Из опыта работы учителя / П. Б. Талочкин. — М.: Просвещение, 1970.

—160 с.

5

ІІ. ТЕОРЕТИКО-ПРАКТИЧЕСКИЙ БЛОК

════════════════════════════════════════

Занятие 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ УРАВНЕНИЯХ. РАВНОСИЛЬНОСТЬ И СЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ

══════════════════════════

Актуализируем знания по теме

ОСНОВНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Общие сведения об уравнениях.

2.Тождественные преобразования уравнений.

3.Теоремы о равносильных переходах в уравнениях.

4.Равносильные преобразования неравенств.

 Повторяем теоретический материал

Def.		Равенство вида A(x) B(x) , где	A(x)			и			B(x) — выражения,
		содержащие переменную x , называют уравнением с одним неиз-
		вестным x .
Def.		Если выражения A(x) и B(x) рациональны (т. е. получаются из x и
		чисел с помощью операций сложения, умножения и деления), то
		уравнение A(x) B(x) называют рациональным.
		Примеры рациональных уравнений:
		x2 6x 5 0 , x 4 1 0	,	3 x2					2 x	1.
				4	x2				3 x
Def.		Целым алгебраическим уравнением			называется уравнение, обе
		части которого являются целыми рациональными алгебраическими
		выражениями или многочленами относительно неизвестных. Это
		уравнения вида P(x) 0 , где P(x) a xn a xn 1 ... a , a 0 есть
			0				1			n 0
		многочлен степени n .

6

Def. Рациональное алгебраическое уравнение, содержащее хотя бы одно дробное рациональное выражение относительно неизвестных,

называется дробным алгебраическим уравнением, т. е. уравнения,

содержащие многочлены и алгебраические дроби (дроби вида P(x) ,

Q(x)

где P(x) и Q(x) — многочлены). Для дробных алгебраических уравнений понятие степени не вводится.

Def. Решением уравнения называется совокупность значений неизвестных уравнения, обращающая это уравнение в тождество. В случае уравнения с одним неизвестным используется название корень уравнения.

Def. Число называют корнем уравнения A(x) B(x) , если при замене буквы x этим числом получается верное числовое равенство, т. е. если выполняется равенство A( ) B( ) .

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что оно не имеет корней.

Если корнями уравнения являются числа 1, 2 , ..., n , то ответ

записывают либо в виде 1, 2 , ..., n , либо в виде x1 1,..., xn n . В случае отсутствия корней пишут: «Уравнение не имеет корней».

Def. Областью определения уравнения f (x) g(x) называют

множество значений переменной x , при которых имеют смысл обе части уравнения.

Областью допустимых значений уравнения (ОДЗ) называется множество значений неизвестного, при которых определены выражения, составляющие уравнение.

Def. Два уравнения f (x) 0 и g(x) 0	называются равносильными или
эквивалентными (обозначается	так: f (x) 0 g(x) 0), если

совпадают множества их корней или оба уравнения не имеют корней.

Def. Равносильным переходом называется замена уравнения равносильным ему уравнением.

Из определения равносильности следует, что вместо того, чтобы решать данное уравнение, можно решать равносильное ему уравнение.

Def. Два уравнения называются равносильными на множестве М, если

7

	на этом множестве они имеют одни и те же корни или не имеют
	корней.	Равносильность уравнений f (x) 0	и g(x) 0	на
		M
	множестве М обозначается так: f (x) 0 g(x)		0 .
	Уравнения могут не быть равносильными, но быть равносильными
на некотором		множестве. Например, уравнения	x2 1 и x3	1

равносильны на множестве положительных чисел, но не являются равносильными (первое уравнение имеет два корня: x 1, второе — один корень x 1).

Def.	Уравнение	g(x) 0	называется следствием уравнения	f (x) 0
	(обозначается так:		f (x) 0 g(x) 0 ), если каждое	решение
	уравнения	f (x) 0 является решением уравнения g(x) 0 .
	На рис. 1 определение уравнения-следствия проиллюстрировано с
	помощью диаграммы Эйлера.

Рис. 1 Замечание. Когда два уравнения равносильны, то каждое из них

можно считать следствием другого.

Уравнение, получаемое из данного путем приведения подобных членов, раскрытия скобок, сокращения дробей, является следствием данного уравнения.

Например, уравнение x2 2x 8 0 является следствием уравнения

	3x2 2x2	4		4		(2x 8)(x 4)	0 .
		x 2		x 2		x 4

Как можно потерять корни уравнения и приобрести

«посторонние». Процесс решения уравнения, как правило, состоит в последовательной замене сложного уравнения более простым. В результате выполнения таких действий получаются новые уравнения и их корни могут не совпадать с корнями исходного уравнения. Может случиться, что новые уравнения кроме корней первоначального уравнения имеют и другие корни, которые называют «посторонними». Отсеивать эти корни обычно помогает специальная проверка. Намного опаснее, если в результате решения уравнения случается потеря его корней (что потеряно

— трудно найти!).

8

Выясним, что служит причиной потери корней уравнения и появления «посторонних» корней. Для этого рассмотрим преобразования уравнений, которые наиболее часто используются при их решении.

1. Простейшие преобразования уравнений

К простейшим преобразованиям уравнений относятся:

1)перенос членов уравнения из одной части в другую ( f (x) g(x)

f (x) g(x) 0 );

2)умножение (или деление) обеих частей уравнения на число, отличное от нуля ( f (x) g(x) f (x) g(x) , если 0).

Эти преобразования сохраняют равносильность уравнений.

2. Применение тождеств при решении уравнений

Def. Выражения f (x) и g(x) называются тождественными на

некотором множестве М, если их значения совпадают в каждой точке этого множества.

Выполнить тождественные преобразования — это значит заменить одно из тождественных выражений другим.

Например,

выражения

f (x)

х2

1

и

g(x) x 1

тождественны на

х

1

(x)

2

множестве (– ;

–1) (–1;

+ ), а выражения

и (x) x

х

тождественны на множестве [0; + ).

При решении уравнений почти всегда приходится выполнять тождественные преобразования выражений: раскрывать скобки и приводить подобные члены, производить различные действия с дробями и корнями, использовать тригонометрические формулы и т. п. В результате получаются новые уравнения, ОДЗ которых могут не совпадать с ОДЗ исходного уравнения. В таких случаях обычно говорят, что преобразования изменили ОДЗ исходного уравнения (расширили ее или сузили).

					x2		2 2 0
Например,	если в			уравнении		х		выполнить
преобразование			2 x ,					x2 x 2 0 ,
		х		то получится	новое уравнение

ОДЗ которого шире ОДЗ исходного уравнения. Корнями последнего уравнения являются числа x1 1, x2 2 . Заметим, что число x2 2 не

является корнем исходного уравнения, т. к. не принадлежит его ОДЗ. Этот «посторонний» корень появился благодаря тождественному

преобразованию х 2 x (x 0) .

9

1.Если тождественные преобразования выражений, входящих в уравнение, не изменяют ОДЗ уравнения, то новое уравнение равносильно исходному.

2.Если тождественные преобразования расширяют ОДЗ уравнения, то могут появиться «посторонние» корни, причем все они не принадлежат ОДЗ исходного уравнения.

3.Сужение ОДЗ уравнения может привести к потере корней. Расширить ОДЗ уравнения и, следовательно, привести к

«посторонним» корням могут следующие преобразования: 1) приведение подобных членов ( f (x) (x) (x)

f (x)

2) освобождение уравнения от знаменателя 0

(x)

f (x) 0);

f (x) 0 ;

f (x) (x)

f (x)

3) сокращение дроби

(x)

(x) .

g(x)

g(x) (x)

При решении уравнений довольно часто используются следующие

преобразования выражений:

1) 2n f (x) 2n

f (x)

;

2) 2n 1 f (x) 2n 1 f (x) ;

3) 2n 1 f (x) g(x) 2n 1 f (x) 2n 1 g(x) ;

4) 2n 1

f (x)

2n 1 f (x)

;

g(x)

2n 1 g(x)

5)2n 1 f (x) 2n 1 f (x) ;

6)2n f (x) 2n f (x) , если f(x) 0;

7)2n f (x) g(x) 2n f (x) 2n g(x) , если f(x) 0, g(x) 0;

8)	2n	f (x)		2n f (x)			, если f(x) 0, g(x) > 0.
		g(x)		2n g(x)

Формальное применение этих формул, без учета условий их применимости, может привести как к появлению «посторонних» корней, так и к потере корней. Формулы 1)—5) всегда приводят к равносильным уравнениям, а формулы 6)—8), примененные справа налево, приводят к уравнениям-следствиям, т. к. области определения выражений

f (x)

2n f (x) g(x) и

2n

либо совпадают, либо

шире соответственно

g(x)

2n f (x)

областей определения выражений 2n f (x) 2n g(x)

и

. Поэтому в

2n g(x)

10