Всё для материаловедения / серебряков 2009

Из уравнений (4-1) и (4-2) определим параметры параллельной схемы замещения

CP =

Pa

,

(4-3)

U 2ω tgδ

R =

1

=

U 2ω tgδ

=

U

2

.

(4-4)

ωC

tgδ

ω P tgδ

P

P

a

a

Для последовательной схемы замещения из векторной диа-

граммы на рис. 4.1, б имеем:

tgδ =

U r

=

I r

= ωC

r.

(4-5)

U c

I

1

S

ωCS

P

=U

I

= I r

U

=

U

r

U

=

U 2

r

=

U 2r

=

а

r

z

z

z

z 2

2

1

2

r

+

ωCS

=

U 2r

=

U 2

=

U 2 tg2δ

=

U 2ωCS tgδ

.

1

2

1

r(1+ tg2δ)

1+ tg2δ

r 2 1

+

r

1+

2

ωC

r

tg

δ

S

Или окончательно Pа =

U 2ωC

S

tgδ

.

(4-6)

1+ tg2δ

Из уравнений (4-6) и (4-5) определим параметры последо-

вательной схемы замещения

=

P (1+ tg2δ)

C

a

(4-7)

S

U 2ω tgδ

r =

tgδ

=

U 2 tg2δ

.

(4-8)

ωC

S

P (1+ tg2

δ)

a

Разделим друг на друга выражения (4-3) и (4-7)

51

	CP		=	1	,	(4-9)
				1+ tg2δ
	C	S

а затем выражения (4-4) и (4-8):

R	=	1+ tg2δ		.	(4-10)
r			tg2δ

Из выражений (4-9) и (4-10) найдем соотношения между параметрами параллельной и последовательной схемами замещения:

СР =		СS
	1	+ tg2		δ
			1
R = r 1		+
			2
			tg	δ

СS =CP (1+ tg2δ)

r =		R
					.
	1+		1
			tg2δ

(4-11)

(4-12)

(4-13)

(4-14)

Следует иметь в виду, параметры эквивалентной схемы (CP, R и CS, r) в общем случае относятся только к какой-то одной частоте и их нельзя считать постоянными для всех частот. Для диэлектриков с малыми потерями в формулах (4-11) и (4-13) можно пренебречь значением tg2δ по сравнению с единицей и считать, что CP ≈ CS = C. Выражение для мощности, рассеиваемой в диэлектрике, в этом случае будут одинаковы для обеих схем:

P =U 2	ωCtgδ.	(4-15)
a

Сопротивление R в параллельной схеме, как следует из выражения (4-12) во много раз больше сопротивления r.

Выражение для удельных диэлектрических потерь, т.е. мощности, рассеиваемой в единице объема диэлектрика, имеет вид:

∆P =	P	=	U 2ωCtgδ		.	(4-16)

VV

52

Для диэлектрика прямоугольной формы, имеющего площадь электродов S и толщину d между электродами, на которые подается напряжение U, объем выражается формулой V = Sd,

а емкость C = ε0εr

S . Тогда выражение для удельных потерь

можно записать:

d

∆P =

P

=

U 2ω ε0 εr S tgδ

=

U 2ω ε0εr

tgδ

=

V

d S d

d 2

(4-17)

= ω ε

ε

r

tgδ E 2

= γ

E 2 .

0

a

Здесь γa — удельная объемная активная проводимость данного диэлектрика при переменном напряжении. Уравнение (4-17) представляет собой закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме. При постоянном напряжении этот закон для

удельных потерь запишется: ∆P = E 2 = γE 2 .

Обычно γa > γ.

ρ

Как следует из формулы (4-17), потери мощности в диэлектрике пропорциональны частоте, tgδ и квадрату напряженности электрического поля. Повышенное значение tgδ приводит к повышенным потерям в диэлектрике. Отсюда следует, что tgδ является очень важной характеристикой диэлектрика и

на практике его необходимо постоянно измерять для контроля состояния изоляции. Если tgδ становится выше нормы, то даль-

нейшая эксплуатация изоляции недопустима.

Пример 4.1. К диэлектрику прямоугольной формы размерами a·b и высотой h приложено переменное напряжение с действующим значением U = 1000В и частотой f = 100 Гц. Напряжение подводится к противоположным граням ab, покрытым слоями металла. Известны размеры диэлектрика: a = 200 мм, b = 100 мм, h = 2 мм, относительная диэлектрическая проницаемость εr = 2,4, тангенс угла диэлектрических потерь tgδ0 = 2·10–4 при 20°С. Коэффициент, характеризующий температурную зависимость тангенса угла диэлектрических потерь α = 18·10–3К–1. Требуется определить мощность потерь и удельные диэлектрические потери при температуре 20°С и при 100°С.

53

Решение. Определим емкость плоского конденсатора, образованного металлическими гранями, между которыми находится диэлектрик, полагая, что εr не зависит от температуры:

C =

ε

0

ε

r

S

=

ε

0

ε

r

a b

=

8,85 10−12 2,4 0,2 0,1

=

h

h

2 10−3

= 2,12 10−10Ф = 212 10−12 = 212 пФ.

Мощность диэлектрических потерь при температуре 20°С будет равна:

Pa20 =U 2ωCtgδ0 =U 2 2π f C tgδ0 =

=100022 3,14 100 2,12 10−10 2 10−4 = 26,7 10−6 Вт = 26,7 мкВт.

Удельные диэлектрические потери при температуре 20°С:

		P		P		26,7 10−6
∆P	=	a20	=	a20	=		= 0,667 Вт/м3 .
20		V		a b h		0,2 0,1 0,002

Учтем, что тангенс дельта изменяется с температурой по экспоненциальному закону: tgδ = tgδ0eα(T −T0 ). Тогда мощность диэлектрических потерь при температуре 100°С будет равна:

P	=U 2ωCtgδ	e	α(T −T0 ) =U 2 2π f C tgδ	eα(T −T0 )	=
a100	0		0

=100022 3,14 100 2,12 10−10 2 10−4 exp(18 10−3 80) =

=112,7 10−6 Вт =112,7 мкВт.

Удельные диэлектрические потери при температуре 100°С:

		P		P		112,7 10−6
∆P	=	a100	=	a100	=		= 2,815 Вт/м3 .
100		V		a b h		0,2 0,1 0,002

В высокочастотной технике вместо параметра пользуются понятием добротности диэлектрика, которую обозначают Q. Поясним сказанное. Пусть конденсатор с диэлектриком является частью резонансного контура (рис. 4.2). Конденсатор с диэлектриком представим последовательной схемой замещения. Условием резонанса в данном контуре является равенство

54

Рис. 4.2. Резонансный контур, включающий в себя конденсатор с потерями

реактивных сопротивлений катушки индуктивности и конденсатора: XL = XC. В момент резонанса полное сопротивление равно активному сопротивлению r и входное напряжение равно напряжению на сопротивлении r. Отношение напряжения на конденсаторе к входному напряжению в момент резонанса называется добротностью контура Q.

I

1

Q =

UC

=

UC

=

ωCS

=

1

=

1

.

(4-18)

U U r

I r

ωCS r tgδ

Следовательно, добротность Q является величиной,

обратной

tgδ. Например,

если tgδ

=

0,02, то

добротность

Q =

1

=

1

= 50. И наоборот, если добротность Q = 100, то

0,02

tgδ

tgδ =

1

=

1

= 0,01 =1%. На этом принципе основан метод из-

Q100

мерения tgδ на высоких частотах с помощью приборов, называемых куметрами.

4.2. ВИДЫ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОТЕРЬ В ЭЛЕКТРОИЗОЛЯЦИОННЫХ

МАТЕРИАЛАХ

Диэлектрические потери по их особенностям и физической природе можно подразделить на четыре основ ных вида:

1. Диэлектрические потери, обусловленные поляризацией.

55

2.Диэлектрические потери, обусловленные сквозной проводимостью.

3.Диэлектрические потери, обусловленные неоднородностью структуры.

4.Ионизационные диэлектрические потери.

Диэлектрические потери, обусловленные поляризацией, осо-

бенно отчетливо наблюдаются в диэлектриках дипольной структуры, обладающих релаксационной поляризацией. В температурной зависимости мощности потерь и tgδ релаксационных диэлектрических потерь наблюдается максимум при некоторой температуре, характерной для данного вещества (рис. 4.3, а). При этой температуре время релаксации частиц диэлектрика примерно совпадает с периодом изменения приложенного переменного электрического поля. При меньшей температуре время релаксации частиц значительно больше полупериода изменения приложенного переменного напряжения. Движение частиц будет менее интенсивным, и потери уменьшатся. При высокой температуре время релаксации частиц будет значительно меньше полупериода изменения приложенного переменного напряжения. В результате чего потери также снизятся. Дальнейшее возрастание tgδ с повышением температуры объясняется ростом электропроводности.

Характер зависимости рассеиваемой мощности и tgδ от частоты при дипольно-релаксационной поляризации представлен на рис. 4.3, б. Потери возрастают с частотой до тех пор, пока

Рис. 4.3. Зависимость рассеиваемой мощности и tgδ от температуры (а) и частоты (б) для дипольного диэлектрика

56

поляризация успевает следовать за изменением поля. Когда же частота становится настолько велика, что дипольные молекулы уже не успевают полностью ориентироваться в направлении поля, то потери становятся постоянными и tgδ уменьшается по гиперболической зависимости. При малых частотах tgδ возрастает в соответствии с формулой:

	I	a			P 2			1
tgδ =			=		a		=			.
	I							ωC
		C		U 2ωC					R
						P		P

При частоте, стремящейся к нулю, tgδ стремится к бесконечности. Физический смысл этого следующий. Емкостная составляющая тока стремится к нулю, а активная составляющая, обусловленная потерями от электропроводности не равна нулю. Деление конечной величины на бесконечно малую величину дает величину бесконечно большую.

К диэлектрическим потерям, обусловленным поляризацией, относятся также резонансные потери, проявляющиеся в диэлектриках с особой четкостью при строго определенной частоте. Это явление наблюдается в диапазоне световых частот и выражается в интенсивном поглощении энергии электрического поля.

Диэлектрические потери, обусловленные поляризацией и наблюдаемые в сегнетоэлектриках, связаны с явлением спонтанной поляризации.

Диэлектрические потери, обусловленные сквозной электропроводностью, обнаруживаются в диэлектриках, имеющих заметную объемную или поверхностную электропроводность. Если учитывать только объемную электропроводность, то тангенс дельта может быть в этом случае вычислен для параллельной схемы замещения по формуле:

tgδ =

Ia

=

1

=

1

=

ωCR

S

d

IC

2πf ε0

εr d

ρ S

(4-19)

1

1,8 1010

=

=

,

2π 8,85

10−12 ε

r

f ρ

ε

r

f ρ

где f — частота в Гц; ρ — удельное объемное сопротивление в Ом·м.

57

Диэлектрические потери, обусловленные электропроводностью диэлектрика, возрастают с температурой (рис. 4.4, а) по экспоненциальному закону:

Pt = P0 exp(α t ),

где Pi — потери при температуре t°С; P0 — потери при температуре 0°С; α — постоянная материала. Тангенс дельта изменяется

взависимости от температуры по тому же закону, что и потери

вдиэлектрике.

Диэлектрические потери, обусловленные сквозной электропроводностью, не зависят от частоты поля, поэтому уменьшается с частотой (рис. 4.4, б) по гиперболическому закону в соответствии с выражением (4-19).

Диэлектрические потери, обусловленные неоднородностью структуры, наблюдаются в слоистых диэлектриках из пропитанной бумаги и ткани, а также в пластмассах с наполнителем, в пористой керамике, в производных слюды – микаленте, микалексе и т.п. Ввиду разнообразия структуры неоднородных диэлектриков и особенностей содержащихся в них компонентов общей формулы расчета диэлектрических потерь в этом случае не существует.

В электроизоляционной технике применяется большое количество композиционных материалов, обладающих неодно-

Рис. 4.4. Зависимость рассеиваемой мощности и tgδ от температуры (а) и частоты (б) для диэлектрика, потери в котором обусловлены сквозной электропроводностью

58

родной структурой. В одних случаях это определяется требованиями механической прочности (волокнистая основа), в других — удешевлением стоимости и приданием необходимых свойств (наполнители в пластмассах и резинах), в третьих — использованием ценных отходов (слюдяные материалы). Потери и в таких материалах имеют сложные зависимости.

В качестве примера на рис. 4.5 приведена зависимость tgδ от температуры для конденсаторной бумаги, пропитанной компаундом (80% канифоли и 20% трансформаторного масла) [1]. Такая пропитанная бумага относится к диэлектрикам с неоднородной структурой и диэлектрические потери определяются электрическими свойствами обоих компонентов. Как видно из рис. 4.5, зависимость tgδ от температуры имеет два максимума: первый (при низких температурах) характеризует дипольно-ре- лаксационные потери самой бумаги (целлюлозы), второй (при более высокой температуре) обусловлен дипольно-релакса- ционными потерями пропитывающего компаунда.

Рис. 4.5. Зависимость tgδ от температуры для пропитанной компаундом конденсаторной бумаги

Ионизационные диэлектрические потери свойственны диэлектрикам в газообразном состоянии или твердым диэлектрикам, имеющим газовые включения. Ионизационные потери

59

проявляются в неоднородных электрических полях при напряженностях, превышающих значение, соответствующее началу ионизации данного газа (см. рис. 4.6). Ионизационные потери могут быть вычислены по формуле:

P	= Af (U −U	И	)3	,	(4-20)
И

где А – постоянный коэффициент; f — частота приложенного напряжения; UИ — напряжение, соответствующее началу ионизации. Формула справедлива при U > UИ и линейной зависимости tgδ от Е. Ионизационное напряжение UИ зависит от давления, при котором находится газ. С увеличением давления газа величина напряжения начала ионизации возрастает, так как увеличивается плотность газа и уменьшается длина свободного пробега носителей зарядов, вызывающих ударную ионизацию молекул газа.

4.3. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПОТЕРИ В ГАЗООБРАЗНЫХ, ЖИДКИХ

ИТВЕРДЫХ ДИЭЛЕКТРИКАХ

Диэлектрические потери в газах при напряженностях поля E, лежащих ниже значения, необходимого для развития ударной ионизации молекул газа, очень малы.

Источником диэлектрических потерь газа в этом случае может быть в основном только электропроводность, так как ориентация дипольных молекул газа при их поляризации не сопровождается диэлектрическими потерями. Как известно, все газы отличаются весьма малой электропроводностью, и в связи с этим угол диэлектрических потерь будет ничтожно мал, особенно при высоких частотах. Величина tgδ может быть вычислена по формуле (4-19).

Удельное объемное сопротивление газов составляет примерно 1016 Ом·мм, ε ≈ 1. Следовательно, tgδ при частоте f = 50 Гц при отсутствии ионизации составит менее чем 4·10–8. При напряжениях, когда в неоднородном электрическом поле напряженность поля в отдельных местах превзойдет некоторое критическое значение, молекулы газа ионизируются, вследствие

60