2. Основные этапы математического моделирования

1) Построение модели. На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект — явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т. д. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, то есть строится математическая модель. Это самая трудная стадия моделирования.

2) Решение математической задачи, к которой приводит модель. На этом этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и численных методов решения задачи на ЭВМ, при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью и за допустимое время.

3) Интерпретация полученных следствий из математической модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области.

4) Проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности.

5) Модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.

5

Математическая модель — это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики.

В рамках математического моделирования сложились два подхода:

- аналитический;

- имитационный.

Аналитический подход основывается на построении формульных зависимостей, связывающих параметры и элементы системы. Такой подход долгое время и был собственно математическим подходом. Однако при рассмотрении сложных систем строгие математические зависимости весьма сложны, требуется большое количество измерений для получения требуемых значений параметров.

Имитационный (статистический) подход в моделировании базируется на использовании предельной теоремы Чебышева при вероятностном представлении параметров системы. На основе предварительного изучения моделируемой системы достаточно просто определяются виды и значения законов распределения случайных величин параметров. В рамках имитационного подхода используются аналитические зависимости между параметрами элементов системы, однако, эти зависимости имеют более обобщенный, упрощенный характер. Теоретической основой метода статистического моделирования систем на ЭВМ являются предельные теоремы теории вероятностей. Множества случайных явлений (событий, величин) подчиняются определенным закономерностям, позволяющим не только прогнозировать их поведение, но и количественно оценить некоторые средние их характеристики, проявляющие определенную устойчивость. Принципиальное значение предельных теорем состоит в том, что они гарантируют высокое качество статистических оценок при весьма большом числе испытаний (реализаций) N.

6

Типы шкал

Шкалы измерений принято классифицировать по типам измеряемых данных, которые определяют допустимые для данной шкалы математические преобразования, а также типы отношений, отображаемых соответствующей шкалой ^[1], ^[4]. Современная классификация шкал была предложена в 1946 году Стэнли Смитом Стивенсом.

Шкала наименований (номинальная, классификационная)

Используется для измерения значений качественных признаков. Значением такого признака является наименование класса эквивалентности, к которому принадлежит рассматриваемый объект. Примерами значений качественных признаков являются названия государств, цвета, марки автомобилей и т.п. Такие признаки удовлетворяют аксиомам тождества:

• Либо А = В, либо А ≠ В;

• Если А = В, то В = А;

• Если А = В и В = С, то А = С.

При большом числе классов используют иерархические шкалы наименований. Наиболее известными примерами таких шкал являются^[5] шкалы, используемые для классификации животных и растений.

С величинами, измеряемыми в шкале наименований, можно выполнять только одну операцию - проверку их совпадения или несовпадения. По результатам такой проверки можно дополнительно вычислять частоты заполнения (вероятности) для различных классов, которые могут использоваться для применения различных методов статистического анализа^[5] - критерия согласия Хи-квадрат, критерия Крамера для проверки гипотезы о связи качественных признаков и др.

Порядковая шкала (или ранговая)

Строится на отношении тождества и порядка. Субъекты в данной шкале ранжированы. Но не все объекты можно подчинить отношению порядка. Например, нельзя сказать, что больше круг или треугольник, но можно выделить в этих объектах общее свойство-площадь, и таким образом становится легче установить порядковые отношения. Для данной шкалы допустимо монотонное преобразование. Такая шкала груба, потому что не учитывает разность между субъектами шкалы. Пример такой шкалы: балльные оценки успеваемости в УАБД НБУ г.Сумы (неудовлетворительно, удовлетворительно, хорошо, отлично), шкала Мооса.

Интервальная шкала (она же Шкала разностей)

Здесь происходит сравнение с эталоном. Построение такой шкалы позволяет большую часть свойств существующих числовых систем приписывать числам, полученным на основе субъективных оценок. Например, построение шкалы интервалов для реакций. Для данной шкалы допустимым является линейное преобразование. Это позволяет приводить результаты тестирования к общим шкалам и осуществлять, таким образом сравнение показателей. Пример: шкала Цельсия.

Начало отсчёта произвольно, единица измерения задана. Допустимые преобразования — сдвиги. Пример: измерение времени.

Абсолютная шкала (она же Шкала отношений)

это интервальная шкала, в которой присутствует дополнительное свойство — естественное и однозначное присутствие нулевой точки. Пример: число людей в аудитории. В шкале отношений действует отношение "во столько-то раз больше". Это единственная из четырёх шкал имеющая абсолютный ноль. Нулевая точка характеризует отсутствие измеряемого качества. Данная шкала допускает преобразование подобия (умножение на константу). Определение нулевой точки — сложная задача для психологических исследований, накладывающая ограничение на использование данной шкалы. С помощью таких шкал могут быть измерены масса, длина, сила, стоимость (цена). Пример: шкала Кельвина (температур, отсчитанных от абсолютного нуля, с выбранной по соглашению специалистов единицей измерения — Кельвин).

Из рассмотренных шкал первые две являются неметрическими, а остальные - метрическими.

С вопросом о типе шкалы непосредственно связана проблема адекватности методов математической обработки результатов измерения. В общем случае адекватными являются те статистики, которые инвариантны относительно допустимых преобразований используемой шкалы измерений.

7

Метод системного анализа - это путь, способ решения проблемы. Другими словами, это некоторая формализация, позволяющая получить такое решение.   Классификация методов системного анализа тесно связана с понятием уровней научного познания. Различают два таких уровня: эмпирический(дословно – воспринимаемый посредством органов чувств) и теоретический.  Эмпирический уровень научного познания характеризуется непосредственным исследованием научного реально существующих, чувственно воспринимаемых объектов. Соответствующие методы можно разделить на две погруппы:    – методы вычленения и исследования эмпирического объекта;   – методы обработки и систематизации полученного эмпирического знания;  Теоретический уровень научного познания характеризуется опосредствованным исследованием действительности с помощью систем абстракций «высшего порядка» - таких как понятия, умозаключения, законы, категории, принципы и другие формы «мыслительных операций». Системный анализ как прикладная дисциплина, имеет отношение лишь к подгруппе теоретических методов нижнего уровня – методов построения и исследования идеализированного объекта.

8

Метод коллективной генерации идей (по американской терминологии, метод «мозговой атаки») относится к третьему типу групповых экспертных оценок и направлен на получение большого количества идей, в том числе и от лиц, которые, обладая достаточно высокой степенью эрудиции, обычно воздерживаются от высказываний.

При проведении экспертного опроса с помощью метода коллективной генерации идей проблема должна быть сформулирована в основных терминах с выделением центрального вопроса. Кроме того, предусматриваются отсутствие любого вида критики, препятствующей формулировке идей, свободная интерпретация идей в рамках данного вопроса, стремление к получению максимального количества идей, учитывая принцип повышения вероятности полезных предложений с увеличением общего их количества и, наконец, поощрение различных комбинаций идей и путей их усовершенствования.

9

Дерево целей - это структурированная, построенная по иерархическому принципу совокупность целей социально-экономической системы, программы, плана, в которой выделены генеральная цель; подчиненные ей подцели первого, второго и последующего уровней. Термин «дерево» подразумевает использование иерархической структуры, полученной путем разделения обшей цели на подцели, а их, в свою очередь, на более детальные составляющие, которые можно называть подцелями нижележащих уровней или, начиная с некоторого уровня — функциями.

 Алгоритм построения «дерева целей» следующий:

  1. Определение генеральной (общей) цели;

  2. Разделение общей цели на подцели (подцели 1-го уровня);

  3. Разделение подцелей 1-го уровня на подцели 2-го уровня;

  4. Разделение подцелей 2-го уровня на более детальные составляющие (подцели 3-го уровня); 

  Существует четыре вида взаимосвязей между целями:

  1. Взаимодополнение целей: первая цель достигается только в случае достижения второй и наоборот.

  2. Индиферентность целей: первая цель достигается независимо от достижения второй.

  3. Антогонизм целей: достигается либо первая, либо вторая цель.

  4. Конкуренция целей: ограниченное количество ресурсов может быть направлено на достижение либо первой, либо второй цели.

10

Метод сценариев -- эффективное средство для организации прогнозирования, объединяющего качественный и количественный подходы.

Сценарий -- это модель будущего, в которой описывается возможный ход событий с указанием вероятностей их реализации. В сценарии определяются основные факторы, которые должны быть приняты во внимание, и указывается, каким образом эти факторы могут повлиять на предполагаемые события.

Как правило, составляется несколько альтернативных вариантов сценариев. Сценарий, таким образом, -- это характеристика будущего в изыскательском прогнозе, а не определение одного возможного или желательного состояния будущего.

Обычно наиболее вероятный вариант сценария рассматривается в качестве базового, на основе которого принимаются решения. Другие варианты сценария, рассматриваемые в качестве альтернативных, планируются в том случае, если реальность в большей мере начинает приближаться к их содержанию, а не к базовому варианту сценария.

11

Экспертное оценивание — процедура получения оценки проблемы на основе мнения специалистов (экспертов) с целью последующего принятия решения (выбора).

Известны следующие методы экспертных оценок:

• Метод ассоциаций. Основан на изучении схожего по свойствам объекта с другим объектом.

• Метод парных (бинарных) сравнений. Основан на сопоставлении экспертом альтернативных вариантов, из которых надо выбрать наиболее предпочтительные.

• Метод векторов предпочтений. Эксперт анализирует весь набор альтернативных вариантов и выбирает наиболее предпочтительные.

• Метод фокальных объектов. Основан на перенесении признаков случайно отобранных аналогов на исследуемый объект.

• Индивидуальный экспертный опрос. Опрос в форме интервью или в виде анализа экспертных оценок. Означает беседу заказчика с экспертом, в ходе которой заказчик ставит перед экспертом вопросы, ответы на которые значимы для достижения программных целей. Анализ экспертных оценок предполагает индивидуальное заполнение экспертом разработанного заказчиком формуляра, по результатам которого производится всесторонний анализ проблемной ситуации и выявляются возможные пути ее решения. Свои соображения эксперт выносит в виде отдельного документа.

• Метод средней точки. Формулируются два альтернативных варианта решения, один из которых менее предпочтителен. После этого эксперту необходимо подобрать третий альтернативный вариант, оценка которого расположена между значений первой и второй альтернативы.

Ранжирование - определение значимости объектов (англ. rank — ранг, категория, класс, разряд, звание)

Что "весомее"?

1.Ранжирование – это расположение объектов в порядке возрастания или убывания какого-либо присущего им свойства. Ранжирование позволяет выбрать из исследуемой совокупности факторов наиболее существенный.

Результатом проведения ранжирования является ранжировка.

Если имеется n объектов, то в результате их ранжирования j-ым экспертом каждый объект получает оценку x_ij – ранг, приписываемый i-му объекту j-ым экспертом.

Значения x_ij находятся в интервале от 1 до n. Ранг самого важного фактора равен единице, наименее значимого – числу n.

12

. Метод Черчмена-Акоффа.

1). Одно из основных предположений, на которых основан метод Черчмена-Акоффа: каждой альтернативе  ставится в соответствие вещественное число , которое неограниченно по знаку.

2). Если  и  оценки альтернатив  и , то  не соответствует совместному осуществлению альтернатив  и .

3). Согласно методу Черчмена-Акоффа альтернативы  не ранжируются по предпочтительности, так как эксперт осуществляет сравнение оценки каждой из альтернатив с суммой оценок остальных.

4). Метод Черчмена-Акоффа применяется при оценке альтернатив. В нем предполагается последовательная корректировка оценок, указанных экспертами.

5). Несмотря на трудоемкость метода Черчмена-Акоффа с ростом , групповое сравнение альтернатив здесь не допускается.