Практика Примеры решения типовых задач

Задание 1. Сколькими способами можно выбрать две книги по разным темам, если на полке находится 12 книг по математике, 14 книг по физике, 16 книг по информатике?

Решение. Если выбирать книгу по математике и книгу по физике, то существует 12 вариантов выбора книги по математике и 14 вариантов выбора книги по физике, поэтому существуетвозможностей. Если выбирать книгу по математике и книгу по информатике, то существует 12 вариантов выбора книги по математике и 16 вариантов выбора книги по информатике, поэтому существуетвозможностей. Если выбирать книгу по физике и книгу по информатике, то существует 14 вариантов выбора книги по физике и 16 вариантов выбора книги по информатике, поэтому существуетвозможностей. Следовательно, всего существуетспособа выбора двух книг по разным темам.

Задание 2. Сколькими способами 7 книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

Решение. В данном случае комбинация состоит изразличных элементов, отличающихся только порядком их расположения. Значит, имеем дело с перестановкой.. Существует 5040 способов осуществить расстановку книг.

Задание 3.Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различны?

Решение. Это пример задачи на размещение без повторений. Размещаются здесь десять цифр по 6. Значит, ответ на выше поставленную задачу будет:.

Ответ:151200 способов/

Задание 4. В группе КН–10-1 обучается 24 студента. Сколькими способами можно составить график дежурства по общежитию, если группа дежурных состоит из трех студентов?

Решение. Число способов равно числу размещений из 24 элементов по 3, т.е. равно. По формуле находим:

Ответ: 12144 способа.

Задание 5. Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр?

Решение.Так как кнопки нажимаются одновременно (порядок не важен), то выбор этих кнопок – сочетание. Отсюда находим:

.

Ответ: 120 вариантов.

Задание 6. Позывные радиостанции должны начинаться с буквы W. 1) Скольким радиостанциям можно присвоить различные позывные, если позывные состоят из трех букв, причем эти буквы могут повторяться? 2) Если позывные состоят из четырех букв, которые не повторяются?

Решение. В современном латинском алфавите 26 букв. На первом месте всегда должна стоять одна буква, следовательно, существует только один способ занять первое место.

1) На оставшиеся два места может претендовать любая из 26-ти букв, т.к. буквы в позывных могут повторяться. Используя принцип умножения, получаем произведение: .

2) На второе место можно поставить любую из 25 букв, т.к. в позывных буквы не должны повторяться. На третье место – 24 буквы, на четвертое место – 23 буквы. Используя принцип умножения, получаем произведение: .

Ответ: 1) 262; 2) 13800.

Задание 7. В автомашине 7 мест. Сколькими способами семь человек могут усесться в эту машину, если занять место водителя могут только трое из них?

Решение. Действие, которое должно быть выполнено особым способом, необходимо выполнять первым. Итак, на место водителя можно посадить только одного из трех человек (умеющего водить машину), т.е. существуют 3 способа занять первое место. Второе место может занять любой из 6 человек, оставшихся после того, как место водителя будет занято. И т.д. Используя принцип умножения, получаем произведение:.

Ответ: 2160.

Задание 8. Алфавит некоторого языка содержит 30 букв. Сколько существует шестибуквенных слов (цепочка букв от пробела до пробела), составленных из букв этого алфавита, если:

1. буквы в словах не повторяются?

2. буквы в словах могут повторяться?

Решение. Существует шесть мест, на которые нужно разместить 30 букв.

1. Буквы не должны повторяться. Используя принцип умножения, получаем произведение: . Такое произведение достаточно сложно использовать в дальнейшем, и информация задачи представлена в ней в скрытой форме. Нетрудно заметить, что это не что иное, как формула размещений.

2. Буквы повторяются. Используя принцип умножения, получаем: – формула для размещений с повторениями.

Ответ: 1) ; 2).

Задание 9.Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляются всевозможные числа, каждое из которых содержит не менее трех цифр. Сколько таких чисел можно составить, если повторения цифр в числах запрещены?

Решение. Так как цифр в числе не менее трех, необходимо посчитать, сколько существует трехзначных, четырехзначных и пятизначных чисел, составленных из этих пяти цифр. Трехзначных чисел –, четырехзначных –, пятизначных –. Используем принцип сложения:.

Ответ: 300.

Задание 10. Сколько существует различных автомобильных номеров, которые состоят из пяти цифр, а) если первая из них не равна нулю; б) если номер состоит из одной буквы латинского алфавита, за которой следуют четыре цифры, отличные от нуля?

Решение. а) Всего существует 10 цифр. На первом месте не может быть цифры 0, поэтому способов поставить цифру на первое место существует 9. На втором месте может стоять любая из 10-ти цифр (цифры могут повторяться), т.е. способов поставить цифру на второе место существует 10, и т.д. Используя принцип умножения, получаем:.

б) На первом месте может стоять любая из 26 букв. На остальных местах – любые из девяти цифр, причем они могут повторяться. Используя принцип умножения, получаем: .

Ответ: ,.

Задание 11. Сколькими способами можно расставить на полке семь книг, если (а) две определенные книги должны всегда стоять рядом, (б) эти две книги не должны стоять рядом?

Решение. (а) Книги, которые должны стоять рядом, считаем за одну книгу. Тогда нужно расставить 6 книг по шести местам. Применяя формулу перестановок, получаем:. Мы учли перестановки шести книг, не учитывая порядок внутри тех книг, которые мы посчитали за одну. А так как две книги по двум местам можно разместить только двумя способами (), то получаем окончательно следующее произведение:.

(б) Способов переставить 7 книг существует . Из них ‑способов поставить определенные книги вместе. Следовательно, способов поставить книги так, чтобы 2 заданные книги не стояли вместе существует:

Ответ: (а) 1440; (б)

Задание 12. Сколькими способами из восьми человек можно избрать комиссию, состоящую из пяти членов?

Решение. Для решения этой задачи необходимо использовать формулу для сочетания элементов, т.к. здесь не имеет значения порядок элементов в выборке. Запишем формулу для сочетаний и произведем вычисления:

.

Ответ: 56.

Задание 13. Сколькими способами можно отобрать несколько фруктов из семи яблок, четырех лимонов и девяти апельсинов? (Мы считаем, что фрукты одного вида неразличимы.)

Решение. Т.к. фрукты одного вида неразличимы, то существует один способ взять одно яблоко, один способ взять 2 яблока, один способ взять три яблока и т.д., т.е. всего семь способов выбрать несколько яблок (несколько – это не менее одного). Необходимо также прибавить один способ не взять ни одного яблока. Следовательно, существует 8 способов взять яблоки. Аналогично существует 5 способов выбрать лимоны и 10 способов выбрать апельсины. Следуя принципу умножения, получим все способы отбора фруктов:. Но среди этих способов существует один способ, когда не выбирается ни один фрукт. Следовательно, решением данной задачи будет следующее выражение:.

Ответ: 349.

Задание 14. Сколько четырехбуквенных слов можно образовать из букв словасапфир?2) Сколько среди них таких, которые не содержат буквыр? 3) Сколько таких, которые начинаются с буквыси оканчиваются буквойр?

Решение. 1. Из шести букв составляются четырехбуквенные слова, причем порядок букв важен для образования новых слов. Поэтому используется формула для размещений:.

2. Необходимо исключить букву риз рассмотрения. Количество слов, не содержащих эту букву:А.

3. На первое место поставить букву сможно только одним способом. На последнее место поставить буквурможно тоже только одним способом. Остаются 4 буквы, которые необходимо разместить по двум местам:А.

Ответ: 360, 120, 12.

Задание 15. Сколько различных перестановок можно образовать изо всех букв словаперестановка?Сколько из них начинается с буквып и оканчивается буквойа?

Решение. В словеперестановка12 букв, из них повторяются 2 буквыеи две буквыа. Число перестановок из 12 элементов вычисляется с помощью формулы. Но среди этих перестановок будут повторяющиеся, в которых буквыеилиаменяются местами. Чтобы не считать такие перестановки, используется формула для перестановок с повторениями:

Чтобы посчитать количество перестановок, начинающихся на букву пи оканчивающихся на буквуа, необходимо исключить эти элементы и места, на которых они стоят из рассмотрения. Остается 10 букв и десять мест, причем остается только одна повторяющаяся буквае. Применяем формулу для перестановок с повторениями:

Ответ: ;

Задание 16. Сколько членов было в клубе, если известно, что при нумерации членских билетов использованы все трехзначные номера, не содержащие ни одной восьмерки?

Решение. Имеем дело с 3-перестановками с повторениями из 9 элементов (0,1,2,3,4,5,6,7,9). Число трехзначных номеров, не содержащих восьмерки, равно.

Ответ: 729 членов в клубе.

Задание 17. Группа студентов проходила практику в Германии и Франции. Половина студентов проходила практику во Франции. В обеих странах учились 12 студентов, 39 студентов в Германии. Сколько студентов в группе, если все прошли практику?

Решение. Задача на использование формулы включений-исключений. Т.к. в нашем случае имеется 2 свойства, формула будет выглядеть так:

Интерпретация: – общее количество студентов;– количество студентов, проходящих практику во Франции;– количество студентов, проходящих практику в Германии;– количество студентов, проходящих практику в обеих странах;– количество студентов, не прошедших практику.

Составим уравнение: . Решив его, получаем общее количество студентов, равное 54.

Ответ: 54 студента в группе.