ИДЗ Теория вероятностей
.docЗ а д а ч а 1. На рисунку наведено схему з'єднання елементів, які утворюють ланцюг. Елементи виходять з ладу за час Т незалежно один від одного. Відмова будь-якого з елементів призводить до переривання сигналу в тій галузі ланцюга, де знаходиться даний елемент. Надійність (ймовірність безвідмовної роботи за час Т) к-го елемента дорівнює Рк (відповідно ймовірність відмови дорівнює qк=1–Рк). Знайти надійність Р схеми.
Література: [2, гл.2, задачі 2.64–2.67].
З а д а ч а 2. Література: [9, гл.20, §1–6].
1. Для сигналізації про аварію встановлено три незалежно працюючих пристрої. Ймовірність того, що при аварії спрацює перший пристрій, дорівнює 0,9, другий – 0,8, третій – 0,7. Знайти ймовірність того, що при аварії: а) спрацює хоча б один пристрій; б) спрацює тільки один пристрій; в) спрацюють всі три пристрої; г) ні один пристрій не спрацює.
Вказівка. Застосувати формулу ймовірності появи хоча б однієі події, а також формули суми та добутку подій.
2. Ймовірність влучення однієї бомби в ціль дорівнює 0,6. Скільки слід скинути бомб, щоб ймовірність хоча б одного влучення була більше, ніж 0,8?
Вказівка. Застосувати формулу ймовірності появи хоча б однієі події.
3. Відомо, що лівші в середньому складають 1% населення. Знайти ймовірність того, що серед відібраних навмання 100 чоловік виявиться рівно три лівші.
Вказівка. Застосувати формулу Бернуллі.
4. Для сигналізації про аварію встановлено два незалежно функціонуючих сигналізатори. Ймовірність того, що при аварії сигналізатор почне функціонувати, дорівнює 0,95 для першого сигналізатора і 0,99 для другого. Знайти ймовірність того, що при аварії почне функціонувати тільки один сигналізатор.
Вказівка. Застосувати формулу ймовірності суми подій.
5. В читальній залі є п'ять підручників з математики, із яких три в оправі. Бібліотекар взяв навмання два підручники. Знайти ймовірність того, що обидва підручники будуть в оправі.
Вказівка. Застосувати формулу ймовірності добутку залежних подій або класичного означення ймовірності.
6. Прядильниця обслуговує 1000 веретен. Ймовірність обриву нитки на одному веретені протягом однієї хвилини дорінює 0,005. Знайти ймовірність того, що протягом однієї хвилини обрив нитки відбудеться на п'яти веретенах.
Вказівка. Застосувати формулу Пуассона.
7. Два стрільці, для яких ймовірності влучень в ціль дорівнюють відповідно 0,9 і 0,8, здійснюють по одному пострілу. Обчислити ймовірність хоча б одного влучення в ціль.
Вказівка. Застосувати формулу ймовірності появи хоча б однієї події.
8. Із партії, яка містить 20 виробів, серед яких 4 бракованих, навмання вилучають три вироби для перевірки. Знайти ймовірність таких подій: а) в одержаній вибірці тільки один виріб бракований; б) в одержаній вибірці немає жодного бракованого виробу.
Вказівка. Застосувати формулу класичного означення ймовірності.
9. Пристрій складається із трьох елементів, які працюють незалежно один від одного. Ймовірність безвідмовної роботи (за час t) першого, другого, третього елементів відповідно дорівнюють 0,6; 0,7; 0,8. Знайти ймовірність того, що за час t працюватимуть тільки два елементи.
Вказівка. Застосувати формулу Бернуллі.
10. Ймовірність того, що абонент подзвонить протягом години по телефону дорівнює 0,005. Станція обслуговує 2000 абонентів. Яка ймовірність того, що протягом години подзвонить більше п'яти абонентів?
Вказівка. Застосувати формулу Пуассона.
11. На складі є 20 кінескопів, із яких 8 виготовлені львівським заводом. Навмання беруть 3 кінескопи. Яка ймовірність того, що всі ці кінескопи будуть львівськими?
Вказівка. Застосувати формулу класичного означення ймовірності.
12. Для ввімкнення електронної системи треба набрати п'ятизначний код. Яка ймовірність того, що система буде ввімкнена, якщо п'ять цифр набрані довільним чином?
Вказівка. Застосувати формулу класичного означення ймовірності.
13. Є три партії комп'ютерів по 10, 30 і 60 штук відповідно. Ймовірності того, що комп'ютери функціонуватимуть без ремонту заданий час, дорівнює відповідно для цих партій 0,7, 0,8 і 0,9. Знайти ймовірність того, що обраний навмання комп'ютер функціонуватиме без ремонту заданий час.
Вказівка. Застосувати формулу повної ймовірності.
14. По каналу зв'язку передається 5 повідомлень. Кожне із них(незалежно від інших) з ймовірністю 0,2 спотворюється. Знайти ймовірність того, що всі повідомлення будуть спотворені.
Вказівка. Застосувати формулу ймовірності добутку незалежних подій.
15. Комп'ютер складається із n блоків. Ймовірність безвідмовної роботи за час t 1-го блоку дорівнює p1, другого дорівнює p2 і т. д. При відмові будь-якого блоку відмовляє комп'ютер. Знайти ймовірність того, що комп'ютер відмовить за час t.
Вказівка. Застосувати формулу Бернуллі.
16. Два стрільці стріляють в ціль один раз. Ймовірність влучення першим стрільцем при одному пострілі дорівнює 0,9, другим стрільцем – 0,6. Знайти ймовірність того, що ціль буде влучена: а) тільки одним стрільцем; б) хоча б одним стрільцем.
Вказівка. Застосувати формулу ймовірності суми подій, а також появи хоча б однієі події.
17. В першій коробці міститься 16 радіоламп, із них десять стандартних; в другій – 14 ламп, із них дев'ять стандартних. Із другої коробки навмання взяли лампу і переклали в першу. Знайти ймовірність того, що лампа, яку навмання витягнули із першої коробки, буде стандартною.
Вказівка. Застосувати формулу повної ймовірності.
18. В цеху десять станків. Ймовірність бути ввімкненим для кожного станка дорівнює 0,8. Яка ймовірність одночасної роботи 3 станків.
Вказівка. Застосувати формулу Бернуллі.
19. Три студенти складають іспит. Ймовірність того, що перший студент складе іспит, дорівнює 0,9, другий – 0,75, третій – 0,6. Визначити ймовірність того, що: а) два студента складуть іспит; б) всі три студента складуть іспит.
Вказівка. Застосувати формулу для суми та добутку ймовірностей незалежних подій.
20. Пристрій складається із 6 елементів, із яких два зношені. При вмиканні пристрою вмикаються випадковим чином 2 елементи. Знайти ймовірність того, що ввімкненими виявляться зношені елементи.
Вказівка. Застосувати формулу ймовірності добутку залежних подій.
З а д а ч а 3. Закон розподілу дискретної випадкової величини Х заданий у вигляді таблиці. Потрібно: 1) обчислити математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення; 2) знайти функцію розподілу випадкової величини Х.
Література: [6, гл.4, §1–3. 9, гл.20, §7–10].
З а д а ч а 4.
Задана щільність розподілу випадкової
величини Х.
Знайти: 1)
коефіцієнт а;
2) функцію розподілу; 3) ймовірність
попадання випадкової величини Х в
інтервал (
;
);
4) математичне сподівання і дисперсію
випадкової величини Х.
Література: [6, гл.6, §1–3. 9, гл.20, §12–17].
1.
(
;
)=
(3; 3,5)
2.
(0;1,5)
3.
(1; 2,5)
4.
(0;0,25)
5.
(0; 1,5)
6.
(0; 1,5)
7.
(0; 1,5)
8.
9.
10.
(0; 0,5)
11.
(0; 0,5)
12.
13.
(1,5; 2)
14.
(1; 2)
15.
16.
(1; 3)
17.
18.
(0; 0,8)
19.
(0,6; 1)
20.
(0,4; 2)
З а д а ч а 5.
Система випадкових величин
задана щільністю ймовірності
.
Знайти: 1) коефіцієнт а;
2) щільність ймовірності
випадкової величини Х;
3) кореляційний момент
;
4) ймовірність потрап-ляння випадкової
точки
в задану область D. Зобразити на рисунку
області S і D.
Література:[6, гл.8, §1–4. 9, гл.20, §23].
1.
,(R
> 0) ,
.
2.
S:
,
.
3.
S:
,
.
4.
S
– трикутник
ABC, де
,
.
5.
S:
,
.
6.
S
– трапеція
ABCD, де
,
.
7.
,
.
8.
S:
,
.
9.
S
– трикутник
ABC, де
,
.
10.
S:
,
.
11.
S:
,
.
12.
S – трикутник, обмежений прямими x+y=2, x=0, y=0,
.
13.
S – трикутник, обмежений прямими x+y=0, x=0, y=1,
.
14.
(a
>
0) ,
.
15.
S
– трапеція
ABCD, де
,
.
16.
,
.
17.
S:
,
D – трикутник, обмеженний прямими x+y=1,
x=0,
y=0.
18.
S:
,
.
19.
S:
,
.
ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ
1. Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. – М.: Наука, 1968. – 416с.
2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории вероятностей. – М.: Радио и связь, 1983. – 416с.
3. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей (избранные главы высшей математики для инженеров и студентов
втузов). – М.: Наука, 1973. – 368с.
4. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. – М.: Наука, 1988. – 480с.
5. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. – М.: Наука, 1991. – 384с.
6. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.:Высшая школа, 1979. – 400с.
7. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2: Учеб. пособие для студентов втузов. – М.: Высш. шк., 1980.–365с.
8. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление.Теория устойчивости. – М.:Наука, 1981. – 304с.
9. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: В 2-х т. – М.: Наука, 1985. Т. 2.–560с.
10. Свешников А.Г.,Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. – М.: , 1967. – 304с.