Posobie_Obschaya_topologia

Из сказанного следует, что введенное отношение τ1 ≤τ2 задает на

множестве всевозможных топологий, определенных в фиксированном множестве X , структуру частичного упорядочения, которая, однако, не является линейно-упорядоченной структурой, поскольку τ1 может быть не

слабее и не сильнее τ2 , т. е. не любые две топологии в одном и том же

множестве X сравнимы в смысле введенного выше отношения порядка. Приведем несколько примеров сравнения топологий.

Пример 1.9. В множестве вещественных чисел топология Зарисского слабее обычной топологии, т. е. топологии числовой прямой.

Пример 1.10. Тривиальная топология и дискретная топология.

Рассмотрим следующий крайний случай, когда в произвольном множестве X семейство τ состоит лишь из двух подмножеств: X и . Очевидно, что это семейство задает в X топологию, которая будет слабее любой другой задаваемой в X топологии. Эту, разумеется, мало интересную топологию принято называть тривиальной. Если же рассмотреть другой крайний случай,

когда каждый элемент			множества		X, рассматриваемый как его подмно-
жество, является		открытым в топологии τ , то топология τ				будет сильнейшей
из всех	возможных топологий,			задаваемых в множестве		X . В самом деле,
пусть М – произвольное подмножество из X, тогда оно, будучи объединением
отдельно	взятых	своих	точек,	являющихся открытыми подмножествами в
топологии τ , в силу аксиомы 0.2				само	является открытым в топологии τ .

Эту наиболее сильную топологию называют дискретной топологией, а пространства, наделенные такой топологией, – дискретными пространствами. В связи с этим тривиальную топологию, являющуюся противоположной крайностью по отношению к дискретной, часто называют антидискретной.

Таким образом, любая топология мажорирует тривиальную и мажорируется дискретной. Иными словами, тривиальная топология служит наименьшим элементом, а дискретная топология – наибольшим элементом в частично упорядоченном множестве всевозможных топологий в фиксированном множестве X .

1.4 Замкнутые множества, окрестности и фундаментальная система окрестностей

Понятие замкнутого множества двойственно по отношению к понятию открытого множества и наряду с ним играет основополагающую роль в общей топологии.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. 1.4. Подмножество М топологического пространства X называется замкнутым в X, если его дополнение CM = X \ M открыто в X.

Пример 1.11. Множество	{x R n : ρ(x0 , x) ≤ r}, где x0 – некоторая
фиксированная точка из R n , а r –	некоторое положительное число, замкнуто в

R n и называется замкнутым шаром с центром в x0 и радиусом r .

11

Пример 1.12. Множество Z всех целых чисел замкнуто в R1, однако множество Q всех рациональных чисел, так же, как множество R1 \ Q всех иррациональных чисел, не открыто и не замкнуто в R1 .

Пример 1.13. Любая кривая второго порядка на плоскости R 2 или любая

поверхность второго порядка в трехмерном пространстве R3 также служат простейшими примерами замкнутых множеств. Если же удалить из них какоелибо конечное или счетное подмножество, то получим примеры подмножеств, не являющихся ни открытыми, ни замкнутыми.

Легко проверить, что семейство всех замкнутых множеств любого пространства X обладают следующими свойствами:

F.1. Все множество X и пустое множество замкнуты в X. F.2. Пересечение любого семейства замкнутых множеств замкнуто. F.3. Объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто.

Свойство F.1 непосредственно следует из определения и из аксиомы 0.1, а свойства F.2 и F.3 – из известных в теории множеств формул для дополнений множеств и аксиом 0.2 и 0.3 топологических пространств.

Часто оказывается удобным задавать топологию в множестве X не при помощи семейства τ его открытых подмножеств, а путем выделения в нем семейства σ подмножеств, называемых замкнутыми, обладающего свойствами F.1–F.3. Если при этом рассмотреть семейство τ , состоящее из подмножеств, являющихся дополнениями подмножеств, входящих в состав семейства σ , то легко проверить, что τ будет удовлетворять аксиомам 0.1–0.3 и, стало быть, задаст в X некоторую топологию.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.5. Подмножество А топологического пространства X называется окрестностью точки x0 X , если оно содержит открытое в X

подмножество, содержащее точку x0 .

Непосредственно из определения следует, что любое надмножество окрестности само является окрестностью, и что открытое множество служит окрестностью для каждой своей точки. В частности, все пространство X и только оно служит окрестностью любой точки из X, тогда как пустое множество является единственным открытым множеством, которое не служит окрестностью.

Однако одноточечное подмножество { x0 } уже может служить

окрестностью, если оно открыто в рассматриваемой топологии; в этом случае точка x0 называется изолированной точкой соответствующего пространства.

Ясно, что в пространстве с дискретной топологией все точки являются изолированными и, наоборот, если все точки изолированные, то это пространство является дискретным.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.6. Точка x0 подмножества М пространства X

называется изолированной точкой множества М, если существует окрестность U этой точки такая, что ее пересечение с М состоит из самой этой

12

точки, т. е. U ∩ M ={x0}.
Пример 1.14. В топологии числовой прямой R1 каждая						точка т из
подмножества Z целых чисел,				очевидно, является для него изолированной
точкой. Ясно		также, что	как	множество Q рациональных чисел, так и
множество	R1 \ Q иррациональных чисел лишены				изолированных точек в
рассматриваемой топологии.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.2. Подмножество G пространства						X открыто
тогда и только тогда, когда оно служит окрестностью каждой своей точки.
◄ Как уже упоминалось, необходимость очевидна.
Достаточность. Пусть			для	каждого x из G существует ее открытая
окрестность	U x	такая, что	U x	содержится в G. Рассмотрим подмножество
G = U x ,	представляющее			собой объединение	всех этих	открытых
x G

окрестностей и потому являющееся открытым множеством. Поскольку при всех x G U x G , то, очевидно, G G ; с другой стороны, каждая точка x из G содержится в соответствующей окрестности U x и, стало быть, в G , поэтому

справедливо и обратное включение		G G .	Итак, G совпадает с открытым
множеством G .►
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.7. Система		βx0 окрестностей		точки x0 про-
странства X называется	фундаментальной		системой	окрестностей этой
точки, если для каждой	окрестности	U этой	точки существует окрестность V

из βx0 такая, что V U .

Из этого определения и определения окрестности непосредственно следует, что система всех открытых окрестностей точки служит примером фундаментальной системы окрестностей этой точки.

Пример 1.15. В любом метрическом пространстве и, в частности, в R n

совокупность открытых шаров с центром в точке x0 и радиусами 1n

( n =1, 2, ...), очевидно, образует фундаментальную систему окрестностей точки

x0 .

Пример 1.16. Во всяком дискретном пространстве для каждой его точки x0 сама эта точка уже служит фундаментальной системой окрестностей.

1.5 Операция замыкания. Теорема Куратовского

Одна из важнейших операций общей топологии – операция замыкания.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.8. Точка		x0 пространства X называется точкой
прикосновения	множестваM X ,	если любая окрестность U точки x0
содержит хотя	бы одну точку из М, т.е. M ∩U ≠ . Совокупность всех точек

13

прикосновения множества М обозначается через М и называется замыканием множества М, а операция перехода от множества М к множеству clM

называется операцией замыкания, а более подробно – операцией топологического замыкания.

Ясно, что если в этом определении под окрестностью точки понимать лишь ее открытую окрестность, то получится эквивалентное определение, так как каждая окрестность точки содержит в себе открытую окрестность этой же точки; более того, здесь можно ограничиться любой фундаментальной системой окрестностей.

Пример 1.17. В евклидовом пространстве R n замыканием открытого шара является замкнутый шар с тем же центром и радиусом, а замыкание множества всех точек с рациональными координатами совпадает с

пространством R n .

Пример 1.18. Теорема Вейерштрасса. В метрическом пространстве C[a, b] непрерывных вещественных функций, заданных на конечном отрезке [a, b] , замыкание множества всех полиномов совпадает с пространством

C[a, b] .

Непосредственно из определения замыкания следует, что замыкание пустого множества пусто, замыкание всего множества X совпадает с X, любое множество М содержится в своем замыкании М и что из M N следует clM clN . Это последнее свойство принято называть монотонностью замыкания.

Важно иметь в виду также, что операция замыкания					идемпоентна, т. е.
clclM = M для произвольного подмножества				М из X.
Поскольку	clM M , то	надо	проверить включение clclM clM .
Пусть x0 clclM	и U 0 – произвольная		открытая окрестность точки x0 . Так
как U 0 ∩clM ≠ , то, существует y0 U 0 ∩clM , поэтому,					рассматривая U 0
как некоторую	окрестность	точки	y0 ,	из y0 clM	заключаем, что

U 0 ∩ M ≠ ; следовательно, x0 clM .

Переходя к другим свойствам замыкания, докажем сначала справедливость следующего предложения.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.3. Подмножество М пространства X замкнуто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своим замыканием clM .

◄ Необходимость. Пусть М замкнуто, т.е. его дополнение G = X \ M открыто. Докажем, что clM M , т. е. каждая точка прикосновения множества clM принадлежит М. В самом деле, поскольку множество G открыто, то в силу предложения 1.2 оно служит окрестностью каждой своей точки и так как G ∩ M = , то совершенно ясно, что никакая точка x ; из G не может служить точкой прикосновения для М и, стало быть, clM M .

С другой стороны, как уже отмечалось, очевидно, M clM , следовательно, clM = M . Необходимость установлена.

Достаточность. Пусть теперь clM = M . Докажем, что G = X \ M будет

14

открытым и поэтому М будет замкнутым. В самом деле, пусть x0 G

и,

следовательно,

x0 clM .

Тогда,

по

определению

точки

прикосновения,

найдется открытая окрестность U 0

точки x0 такая, что

U 0 ∩ M = и, стало

быть, U 0 X \ M = G . Таким образом,

G служит окрестностью для любой

своей точки и поэтому открыто в силу предложения 1.2. ►

M

СЛЕДСТВИЕ

1.1.

Замыкание

clM

любого

множества

из

пространства X замкнуто в пространстве X .

M представляет собой

Оказывается, что замыкание clM

множества

наименьшее замкнутое множество, содержащее исходное множество

M , а

именно имеет место следующее предложение.

M пространства

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.4. Замыкание любого множества

X совпадает с

пересечением всех замкнутых множеств,

содержащих

это

множество M .

M –

из X

N = ∩F ,

◄ Пусть

произвольное множество

и пусть

где

пересечение распространено на все замкнутые множества

F ,

содержащие

множество M .

По самому построению множества

N

оно является частью

всякого замкнутого множества, содержащего M , и, в частности, частью clM , поскольку clM замкнуто и содержит M .

Итак, N clM . Докажем обратное включение. Для этого рассмотрим произвольное замкнутое множество F , содержащее M , т. е. такое, что clF = F и M F , тогда в силу монотонности замыкания будем иметь clM clF = F . Таким образом, замыкание clM содержится в каждом замкнутом множестве F , содержащем M и, стало быть, clM содержится и в пересечении всех таких F , т. е. clM N . Итак, clM совпадает с N .►

Докажем, наконец, что для любых двух множеств M и N пространства

X cl(M N) = clM clN .	В	самом	деле, из очевидных включений
M M N , N M N	в	силу	монотонности замыкания имеем

clM cl(M N ) , clN cl(M N ) , откуда clM clN cl(M N) . С другой

стороны, M N clM clN , откуда в силу той же монотонности замыкания cl(M N ) cl(clM clN ) = clM clN , т. е. верно и обратное включение,

поэтому cl(M N) = clM clN .

Прежде чем перейти к абстрактному заданию операции замыкания, дадим ещё несколько важных определений.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.9. Точка x0 пространства X называется предельной точкой множества M X , если любая окрестность U точки x0 содержит хотя бы одну из M , отличную от x0 .

Ясно, что всякая предельная точка множества является для него точкой прикосновения, между тем как точка прикосновения множества далеко не всегда бывает его предельной точкой, как, например, любая изолированная точка.

Очевидно также, что каждая точка из clM \ M уже обязана быть предельной для M . Таким образом, замыкание clM любого множества

15

распадается на точки трех типов: изолированные точки, предельные точки, принадлежащие самому множеству M , и предельные точки, не принадлежащие

M .

Совокупность всех предельных точек множества M обозначается через M ′ и называется производным множеством.

Из соответствующих определений легко следует, что всегда M ′ clM и что множество M замкнуто тогда и только тогда, когда M ′ M .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.10. Множество M пространства X называется совершенным, если оно совпадает со своим производным множеством, т. е. Если M = M ′.

Ясно, что множество совершенно в том и только том случае, если оно, вопервых, замкнуто и, во-вторых, лишено изолированных точек. Другой крайностью служит так называемое дискретное множество, состоящее исключительно из изолированных точек.

Простейшими примерами совершенных множеств служат замкнутый

отрезок или замкнутый шар в пространстве R n . Простейшим примером замкнутого, но несовершенного и даже дискретного множества на числовой

прямой R1 может служить множество Z целых чисел. Замечательным примером совершенного множества служит канторов дисконтинуум, обладающий многими интересными свойствами, о котором будет подробно рассказано в п. 1.9.

Относительно аддитивности операции замыкания имеют место следующие предложения.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.5. Операция замыкания конечно аддитивна, т. е. для любого конечного семейства {A1, A2 , ..., An } множеств пространства

выполняется соотношение

cl( A1 A2 ... An ) = clA1 clA2 ... clAn .

Это соотношение при n = 2 установлено выше, справедливость при любом n доказывается индукцией.

Предостережение 1.5. Следует иметь в виду, что для бесконечного семейства подмножеств аддитивности операции замыкания может и не быть.

Так, например, если в			несчетном множестве			X , наделенном	топологией
Зарисского, рассмотреть счетное семейство {Ak }						непустых конечных множеств
Ak , то, очевидно,		Ak ,	будучи замыканием бесконечного множества, будет
совпадать с	X ,	k			clAk = Ak , будучи счётным
		тогда	как объединение
множеством, не может совпадать с X .					k	k
Тем не менее для так называемых локально конечных семейств
аддитивность операции замыкания сохраняется.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ			1.11.	(П. С. АЛЕКСАНДРОВ).			Семейство
S ={Ai ; i I}	подмножеств из X			называется локально конечным, если всякая
точка x0 из	X обладает окрестностью U 0 ,				пересекающейся с не более чем

16

конечным числом элементов этого семейства,

т. е. U 0 ∩ Ai

= для всех i I ,

кроме, быть может, конечного числа индексов.

Совершенно ясно, что каждое конечное семейство локально конечно,

тогда как локально конечное семейство может иметь любую мощность.

R1,

Пример 1.19.

Пусть S ={A ; m Z}–

семейство

подмножеств

из

m

состоящее из сегментов

[m, m +1] ( m –

целое),

тогда легко понять,

что это

семейство хотя и бесконечно, но локально конечно.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.6.

Для

любого

локально

конечного

семейства

S ={Ai ; i I}

подмножеств

пространства

X

имеет

место

соотношение

cl A

= clA .

i I

i

i I

i

A

A

◄ Из

очевидного

включения

и монотонности

операции

i0

i I

i

замыкания имеем clA

cl A , откуда легко заключаем,

что

clA тоже

i0

i I

i

i I

i

содержится в

cl A . Для доказательства обратного включения допустим с

i I

i

целью получения противоречия, что нашлась такая точка x

0

,

что x

0

cl A ,

но x

clA .

i I

i

0

i I

i

В

силу

локальной конечности семейства S найдётся

окрестность

U 0

точки x0 такая, что U 0 ∩ Ai

= для всех i I ,

кроме, быть может,

конечного

n

числа индексов i1, i2 , ..., in . Положим V0 =U 0 \ clAi , которое открыто как

k=1 k

разность открытого и замкнутого множества и, кроме того, содержит точку x0 , ибо x0 U 0 , но по сделанному допущению, очевидно, не принадлежит

n

.

множеству clA

k =1

ik

что V0 ∩ Ai V0 ∩ Ai , откуда легко заключить,

С другой стороны, ясно,

что

V0 ∩ Ai = для

всех

i I .

В

самом деле, для

i ≠ ik это следует из

U 0 ∩ Ai

= , а

для

i = ik

по

самому определению

V0 . Итак, нашлась

окрестность V0

точки x0 такая, что V0 ∩( Ai ) = , а это противоречит тому,

что

x

0

cl A . Таким

образом,

установлено и

обратное включение:

i I

i

cl A

clA .►

i I

i

i I

i

СЛЕДСТВИЕ 1.2. Объединение локально конечного семейства

замкнутых множеств замкнуто.

◄ Пусть

S ={Fi ; i I}

–

локально конечное

семейство замкнутых

множеств Fi пространства X . Тогда, согласно предыдущему предложению, будем иметь cl Fi = clFi = Fi .►

17

Перейдём теперь к абстрактному заданию операции замыкания с

помощью	аксиом Куратовского.	Из указанных выше	свойств операции
(топологического) замыкания особо выделяют следующие четыре свойства:
K.1) clM N = clM clN;		K.3) clM clM ;
K.2) M clM ;		K.4) cl ,
которые, как будет показано ниже, характеризуют операцию замыкания в
любом топологическом пространстве.			X и допустим,	что
В самом деле, рассмотрим произвольное множество
каждому	подмножеству M и X	по какому-либо правилу, обозначаемому
символом cl , сопоставлено вполне определенное подмножество из				X ,
обозначаемое через cl (M ) так, что выполняются нижеследующие условия:

K.1) cl (M N ) = cl (M ) cl (N ); K.2) M clM ;

K.3) cl (cl (M ))= cl (M );

K.2) cl ( )= .

Эти условия называются аксиомами Куратовского, а всякое такое правило cl принято называть оператором замыкания Куратовского. Иначе

говоря, всякое отображение cl : 2 X → 2 X множества 2 X	всех подмножеств
множества X в себя, удовлетворяющее указанным	аксиомам, является

оператором Куратовского на X .

Из сказанного ясно, что если в некотором множестве X уже была задана

определённая	топология,	то правило cl ,	определённое	по	формуле
cl (M ) = clM ,	т.е. сопоставляющее каждому		подмножеству	M	из X	его
(топологическое) замыкание		clM , является оператором Куратовского на				X .

Итак, с любой топологией ассоциируется некоторый оператор Куратовского. Замечательно то, что верно и обратное, а именно: справедливо следующее

важное утверждение, принадлежащее польскому математику К. Куратовскому. ТЕОРЕМА 1.7 (О ЗАДАНИИ ТОПОЛОГИИ ОПЕРАТОРОМ ЗАМЫКАНИЯ КУРАТОВСКОГО). Каждый оператор Куратовского cl на

произвольном множестве X задает в X определенную топологию τ ,	а именно
семейство τ ={U }, состоящее из всех таких подмножеств U из	X , для

которых cl (X \ U ) = X \ U , причём замыкание clM любого подмножества M из X в этой топологии τ совпадает с cl (M ).

◄ Ясно, что вместо проверки аксиом топологии для семейств τ ={U } можно проверить аксиомы F.1 − F.3 для семейства σ ={M }, состоящего из

всевозможных дополнений M = X \ U , где U τ , т. е. таких множеств M , для которых cl (M ) = M . Справедливость аксиомы F.1 непосредственно следует

из аксиом K.2 и K.4 . Чтобы проверить выполнение аксиомы F.2 , обозначим

18

через N = ∩ M i	пересечение произвольного семейства подмножеств M i			из σ
i I	cl (N ) = N , т. е.		N тоже принадлежит σ . Прежде	всего
и докажем, что
заметим, что из аксиомы K.1 непосредственно следует монотонность операции
cl , поэтому из N M i		при всех i I следует cl (N ) cl (M i ) и, стало быть,
cl (N ) ∩ cl (M i ), но		поскольку	cl (M i )= M i , то cl (N ) ∩ M i = N .		С
i I			i I
другой стороны, в силу аксиомы K.2			N clN , следовательно, cl (N ) = N . Что
же касается свойства F.3, то оно			немедленно проверяется по индукции с
помощью аксиомы K.1.
Докажем, наконец, что в этом построенном с помощью оператора cl
топологическом пространстве (X ,τ ) замыкание clM любого множества					M
или, что то же самое (см. предложение 1.4), наименьшее содержащее					M
замкнутое множество совпадает с cl (M ).

В самом деле, поскольку по самому определению топологии τ , замкнутыми являются только те множества M , для которых cl (M ) = M , то из

аксиом K.2 и K.3 ясно, что cl (M ) замкнуто и содержит M .

Пусть теперь F – произвольное замкнутое в ( X ,τ) множество, содержащее

М, т.е. M F и clF = F . Тогда в силу монотонности оператора cl будем иметь clM clF = F .►

Приведем простой пример, иллюстрирующий способ задания топологии посредством операции замыкания.

Пример 1.20. Пусть X – произвольное несчетное множество. Зададим в X операцию замыкания cl следующим образом: для всякого не более чем счетного множества М из X положим clM = M . Если же множество М несчетно, то положим clM = X , тогда легко проверить: все четыре аксиомы Куратовского выполняются. Поэтому, объявив замкнутыми в X те и только те множества из X, для которых clM = M , мы зададим в X определенную топологию.

1.6 База и предбаза топологии. Первая и вторая аксиомы счетности

Для задания в множестве X определенной топологии τ нет необходимости непосредственно указывать все открытые подмножества этой топологии. Оказывается, что достаточно указать лишь некоторую совокупность открытых множеств, обладающую определенным свойством и называемую базой этой топологии.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.12. Совокупность β открытых множеств пространства (X ,τ ) называется базой топологии τ или базой пространства X ,

если всякое непустое открытое множество является объединением некоторой совокупности множеств, принадлежащих β . Совершенно ясно, что всякое

пространство (X ,τ ) обладает базой, поскольку система всех открытых

19

подмножеств, очевидно, образует базу топологии τ . Ясно также, что все изолированные точки пространства X (если таковые существуют) непременно должны входить в состав любой базы этого пространства.

Замечание 1.5. Более широким понятием, чем база пространства X , является понятие сети, введенное советским топологом А. В. Архангельским, а именно: система γ произвольных подмножеств из X называется сетью (в смысле Архангельского) пространства X , если всякое открытое в X множество представимо в виде объединения некоторых множеств из системы γ . Таким образом, каждая база является сетью, тогда как сеть является базой

лишь в том случае, когда она состоит исключительно из открытых в X множеств.

Простым примером сети в R n , не являющейся базой, может служить совокупность всех его замкнутых подмножеств.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.8. Для того чтобы совокупность β открытых множеств топологии τ была базой этой топологии, необходимо и достаточно, чтобы для каждой точки x X и любого содержащего x открытого множества

Uсуществовало множество V β такое, что x V U .

◄Необходимость. Пусть β – база пространства (X ,τ ), x0 X , a U 0 –

открытое в X	множество,	содержащее точку x0		, тогда U 0 = U Vi ,	где Vi β ,
				(i )
поэтому, очевидно, x0 Vi0		U 0 .
Достаточность. Пусть теперь совокупность β открытых					множеств
удовлетворяет	условию предложения,		a U –	произвольное множество из
семейства τ .	Тогда для каждой точки		x U найдется открытое множество

Vx β такое, что x Vx U . Легко проверить, что объединение всех таких Vx

совпадает с U , т. е. U = U Vx .

x U

Итак, любое открытое в X множество U оказалось представимым в виде объединения множеств из β .►

Пример 1.21. Так как для каждой точки x0 числовой прямой и содержащей эту точку открытого множества U существует содержащий эту точку интервал (a, b ), целиком лежащий в U , то из доказанного предложения

следует, что совокупность всевозможных интервалов образует базу топологии числовой прямой. Еще более существенно, что лишь совокупность интервалов

(r1, r2 ) с рациональными концами тоже образует базу числовой прямой R1.

Пример 1.22. Совокупность всех открытых шаров произвольного метрического пространства (X , ρ ) образуют базу топологии этого пространства.

Здесь тоже можно ограничиться лишь шарами с рациональными радиусами. Из предложения 1.8 легко вытекают следующие два свойства базы β

топологического пространства (X ,τ ).

СВОЙСТВО 10. Объединение всех множеств, входящих в β , дает все

20