Posobie_Obschaya_topologia

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

"ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ"

для студентов специальности 7.080202 – ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

УТВЕРЖДЕНО кафедрой прикладной математики.

Протокол № 8 от 15.03.2005

Харьков 2005

Конспект лекцій з дисципліни "Загальна топологія" для студентів спеціальності 7.080202 – Прикладна математика/ Упоряд.: Ю.Г. Стоян, Т.Є. Романова – Харків: ХНУРЕ, 2005. – 70 с.

Упорядники:

Ю.Г. Стоян Т.Є. Романова

2

	СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ..................................................................................................................		4
1 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА .............................................................		5
1.1	Понятие метрического пространства...............................................................	5
1.2	Определение топологического пространства..................................................	9
1.3	Сравнение топологий.......................................................................................	10
1.4	Замкнутые множества, окрестности и фундаментальная система
окрестностей ...........................................................................................................		11
1.5	Операция замыкания. Теорема Куратовского...............................................	13
1.6	База и предбаза топологии. Первая и вторая аксиомы счетности...............	19

1.7Сходимость последовательности точек в топологическом пространстве.. 25

1.8Понятие о внутренности и границе множеств в топологических

пространствах .........................................................................................................		28
1.9	Структура открытых и замкнутых множеств на числовой прямой.
Канторово совершенное множество.....................................................................		29
1.10 Канонически открытые и канонически замкнутые множества.................		32
2 НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И ГОМЕОМОРФИЗМЫ..........................		35
2.1	Непрерывные отображения топологических пространств ..........................	35
2.2	Понятие об открытых и замкнутых отображениях.......................................	40
2.3	Гомеоморфизмы и их простейшие свойства.................................................	42
2.4	Понятие об изотопии и изотопических инвариантах...................................	46
2.5	Построение непрерывных отображений по заданным частичным
отображениям .........................................................................................................		48
2.6	Понятие о ретракте и ретрагирующем отображении ...................................	50
3 СВЯЗНОСТЬ И ЛОКАЛЬНАЯ СВЯЗНОСТЬ.....................................................		52
3.1	Связность...........................................................................................................	52
3.2	Компоненты связности пространства ............................................................	56
3.3	Образы связных множеств при непрерывных отображениях .....................	58
Приложение А............................................................................................................		62
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ......................		62
А.1 Множества и простейшие операции над множествами...............................		62
Множество подмножеств....................................................................................		63
Задание множеств................................................................................................		64
Основные операции над множествами..............................................................		64
Свойства операций над множествами...............................................................		65
Принцип двойственности ...................................................................................		66
А.2 Отображение множеств ..................................................................................		66
Функциональные отношения; отображение множеств ...................................		67
Инъективные, надъективные и биективные отображения..............................		68
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА......................................................................		70

3

ВВЕДЕНИЕ

Топология – раздел математики, имеющий своим назначением выяснение и исследование в рамках математики идеи непрерывности. Интуитивно идея непрерывности выражает коренное свойство пространства и времени и имеет, следовательно, фундаментальное значение для познания. Соответственно, топология, в которой понятие непрерывности получает математическое воплощение, естественно вплетается почти во все разделы математики. В соединении с алгеброй топология составляет общую основу современной математики и содействует ее единству.

Предметом топологии является исследование свойств фигур и их взаимного расположения, сохраняющихся гомеоморфизмами. Следовательно, топологию можно квалифицировать как разновидность геометрии. Важной чертой этой геометрии является необычайная широта класса геометрических объектов, попадающих в сферу действия ее законов.

Вызвана эта широта тем, что центральное понятие топологии – понятие гомеоморфизма – не требует для своего определения никаких классических геометрических понятий типа расстояния, прямолинейности, гладкости и т. д. Понятие гомеоморфизма и лежащее в его основе понятие непрерывного отображения предполагают только, что точки и множества рассматриваемой фигуры могут находиться в некотором интуитивно ясном отношении близости, отличном, вообще говоря, от простого отношения принадлежности.

Под фигурой в топологии понимается любое множество точек, в котором задано отношение близости между точками и некоторыми подмножествами, удовлетворяющее определенным аксиомам. Такие фигуры называются топологическими пространствами.

Главной задачей топологии является выделение и изучение топологических свойств пространств, или топологических инвариантов.

Предлагаемый конспект лекций содержит весьма обстоятельное изложение некоторых наиболее важных понятий общей топологии. В основе пособия некоторые главы книги Р.А. Александряна и Э.А. Мирзаханяна "Общая топология" [1].

Благодаря подробности изложения содержащийся в пособии материал может быть доступен не только студентам и аспирантам, но и широкому кругу лиц, желающих ознакомиться с основными идеями и методами общей топологии.

Для понимания материала требуются знания элементов теории множеств, а также, имея в виду достаточную абстрактность самого предмета топологии, предварительное ознакомление с основными понятиями начальных разделов математического и функционального анализа.

Пособие содержит большое количество примеров, а также рисунки, иллюстрирующие сущность вводимых абстрактных понятий и способствующие усвоению материала.

Внутри каждого раздела нумерация отдельная для определений,

4

отдельная для утверждений (предложений, теорем) и, наконец, отдельная для замечаний и предостережений, причем нумерация всюду двойная, в которой первое число указывает номер раздела, а второе – номер определения (соответственно утверждения или замечания). При ссылке на другой раздел дополнительно указывается номер раздела.

При изложении материала используются следующие обозначения:

1.Импликация A B означает, что А влечет В.

2.Эквивалентность A B означает, что A B и B A.

3.Квантор общности x X читается: для любого x X .

4.Квантор существования x0 X читается: существует x0 X . Кроме

того, знаками ◄, ► всюду обозначается начало и окончание доказательств.

1 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

Этот раздел посвящен определению центрального понятия всей топологии, а именно понятия топологического пространства, а также описанию некоторых связанных с ним отправных понятий. Изложение этих общих и весьма абстрактных концепций целесообразно начать с исторически более раннего и несравненно более обозримого понятия метрического пространства (введенного французским математиком М. Фреше в 1906 г.), играющего исключительно важную роль во всей математике и ее приложениях.

1.1 Понятие метрического пространства
Пусть X – произвольное		непустое множество, а ρ : X × X → R + –
отображение декартова произведения X × X в множество R + неотрицательных
вещественных чисел.			ρ : X × X → R +
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1.		Отображение		называется
метрикой на X, если оно удовлетворяет нижеследующим трем условиям,
называемым аксиомами метрики:
М.1)	ρ(x1, x2 ) = 0 x1 = x2 (аксиома тождества);
М.2)	ρ(x2 , x1) = ρ(x1, x2 ) , x1, x2 X (аксиома симметрии);
М.З)	ρ(x1, x3 ) ≤ ρ(x1, x2 ) + ρ(x2 , x3 ) ,		x1, x2 , x3 X	(аксиома

треугольника).

Множество X, рассматриваемое вместе с заданной на нем метрикой ρ , называется метрическим пространством. При этом элементы множества X

называются точками этого пространства, а число ρ(x1, x2 ) расстоянием между точками x1, x2 .

Ясно, что в одном и том же множестве X могут быть заданы различные метрики, поэтому, чтобы различать получающиеся при этом различные

5

метрические пространства, иногда уместно обозначать метрическое пространство в виде пары ( X , ρ) .

Укажем несколько простейших примеров метрических пространств.

Пример 1.1. Числовая прямая R1. Пусть X – множество всех вещественных чисел. Полагая для любых x1, x2 X ρ(x1, x2 ) = x1 − x2 , легко

убеждаемся, что все три аксиомы метрики выполняются. Получаемое таким образом метрическое пространство называют числовой прямой и обозначают буквой R1.

Пример 1.2.						Многомерное числовое пространство R n . Пусть X –
множество			всех		упорядоченных		наборов x = (x1, x2 , ..., xn ) , составленных	из
n вещественных						чисел.	Расстояние между x = (x1, x2 , ..., xn )	и
y = ( y , y	2	, ..., y		n	) зададим по формуле1
1

n

ρ(x, y) = ∑(xk − yk ) 2 .

k −1

Мы предоставляем читателю проверить, что при этом все аксиомы метрики выполняются и, стало быть, множество X вместе с так определенной метрикой ρ представляет собой метрическое пространство, которое называется

n-мерным числовым пространством и обозначается через R n .

Замечание 1.1. В этом же множестве X часто задают и другую метрику

ρ0 , по формуле ρ0

(x, y) = max

xk − yk

.

Пример 1.3.

(k)

Пространство l p .

Рассмотрим множество X, элементами

которого

служат

всевозможные

последовательности

x = (x1, x2 , ..., xn , ...)

∞

p < +∞, где p ≥1 – фиксированное число.

вещественных чисел таких, что ∑

xi

i=1

x = (x1, ..., xn , ...) и

Можно

доказать,

что для

произвольных элементов

∞

p сходится,

y = ( y1, ..., yn , ...) из X ряд

∑

xi

− yi

и если ввести расстояние

i=1

1 p

∞

x

− y

p

, то аксиомы

между этими элементами по формуле ρ(x, y) =

∑

i

i

i=1

метрики будут выполнены (см., например, [2]). Получаемое таким образом метрическое пространство ( X , ρ) обозначают через l p . Среди пространств

l p ( p ≥1) особую	роль играет	пространство l2 , которое называют
координатным гильбертовым пространством.
Пример 1.4.	Дискретное	метрическое пространство. Пусть X –

1 Под корнем понимается его арифметическое значение

6

произвольное непустое множество. Полагая ρ(x1, x2 ) = 0, если x1 = x2 и ρ(x1, x2 ) =1, если x1 ≠ x2 , мы, очевидно, получим метрику на X , называемую

дискретной метрикой, а пространство ( X , ρ) – дискретным метрическим

пространством.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Метрические пространства ( X , ρ) и ( X ', ρ ')

называются изометрическими, если существует взаимно-однозначное соответствие x ↔ x ' между элементами множеств X и X ', причем такое, что

ρ(x, y) = ρ '(x ', y ') для любой пары элементов x , y из X .

Сточки зрения теории метрических пространств изометричные пространства считаются неразличимыми, т. е. эквивалентными.

Пусть теперь ( X , ρ) – произвольное метрическое пространство, a X –

некоторая фиксированная точка. Шаром (открытым) с центром в точке a и

радиусом

r > 0

называется

подмножество

B(a, r) ={x X ; ρ(x, a) < r},

состоящее из всех точек из X , расстояние которых до точки a меньше r .

Под ε -окрестностью точки x0 X

будем понимать открытый шар с

центром в x0 и радиусом ε .

Точка x0 из подмножества

A метрического пространства X называется

внутренней точкой множества

A, если существует ε -окрестность B(x0 , ε) ,

целиком содержащаяся в A. Совокупность всех внутренних точек множества

A называется его внутренностью и обозначается через int A.

Подмножество A из X называется открытым, если int A = A.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.1. Семейство τ , состоящее из всех открытых

подмножеств метрического пространства ( X , ρ) , обладает следующими тремя

основными свойствами:

1) все множество X и

пустое подмножество принадлежат τ ;

2) объединение

любого

семейства

множеств из

τ

входит

в

состав

семейства τ ;

3) пересечение

конечного

числа

множеств из

τ

входит

в

состав

семейства τ .

◄ Выполнение свойства 1 очевидно.

Пусть теперь

A = Ai , где Ai τ

для всех i из множества индексов I

i I

x0

A , тогда

произвольной мощности. Пусть,

далее,

– произвольная точка из

ясно, что

найдется

такое

Ai0 , что

x0 Ai0 ,

но поскольку Ai0 τ , то

существует ε -окрестность x0 , содержащаяся в Ai0 , а следовательно, и в A .

Таким образом, всякая точка множества A является его внутренней точкой, т. е. A – открытое множество.

	N
Для доказательства свойства 3) предположим, что	A = ∩Ai , где Ai τ
	i=1
при i =1, 2, ..., N . Тогда для каждого x0 A и для	каждого i найдется

7

окрестность B(x0	, εi ) ,	содержащаяся	в Ai , поэтому, положив ε = min εi ,
				(i)
непосредственно	убеждаемся, что B(x0 , ε) содержится в A,			т. е. x0 –
внутренняя точка дляA. ►
Замечание	1.2.	Во многих	вопросах оказывается	достаточным

выполнение первой аксиомы метрики в ее ослабленной форме (имеется в виду, что аксиомы М.2 и М.З выполняются в том же виде). Заменив ее аксиомой М.1:

ρ(x, x) = 0	x X , мы приходим	к более широкому классу	пространств,
называемых	псевдометрическими;	при этом правило ρ	называется

псевдометрикой. Разумеется, всякое метрическое пространство является псевдометрическим, но не наоборот. Тривиальный пример псевдометрического, но не метрического пространства можно получить, положив в произвольном множестве, содержащем не менее двух элементов, ρ(x1, x2 ) = 0 для всех пар

x1, x2 X .

Перечислим еще несколько примеров метрических пространств, играющих весьма важную роль в самых различных разделах математики и ее приложений.

Замечание 1.3. В отличие от указанных выше примеров, элементами нижеследующего пространства являются не числа или числовые последовательности, а функции, заданные на том или ином множестве, поэтому это пространство называется функциональным.

Пример 1.5. Пространство непрерывных функций C [a, b]. Пусть X –

совокупность вещественных функций, определенных и непрерывных на отрезке [a, b] числовой прямой. Введем в X метрику ρ , полагая для любых функций

f (t) , g(t) из X , что ρ( f , g) = max			f (t) − g(t)		. Легко проверить, что при
t [a,b	]

этом аксиомы метрики выполняются. Получаемое таким образом метрическое пространство ( X , ρ) называется пространством непрерывных функций и

обозначается через C [a, b].

Замечание 1.4. Пусть A – произвольное непустое подмножество метрического (псевдометрического) пространства ( X , ρ) . Полагая

ρA (x1, x2 ) = ρ(x1, x2 ) для любой пары				x1, x2 элементов из A , мы, очевидно,
получим метрику (псевдометрику),				называемую индуцированной						на	A
метрикой (псевдометрикой) ρ из				X .	При	этом	( A, ρA )		называют
подпространством пространства ( X , ρ) .
Пусть теперь A, B – два непустых подмножества из ( X , ρ) ; расстоянием
между этими	множествами		называют число			ρ( A, B) =		inf	ρ(x, y) .		В
							x A, y B
частности, расстоянием		от	точки x0	до	множества		B	называют		число
ρ(x0 , B) = inf	ρ(x0 , y) .	Наконец, диаметром				множества		M	из	( X , ρ)
y B

8

называют число diamM = sup ρ(x, y) ; при этом M называется x, y M

ограниченным, если diamM < ∞.

1.2 Определение топологического пространства

Глубокий анализ таких фундаментальных понятий теории метрических пространств, как, например, понятия точки прикосновения, предельной точки, сходимости последовательности точек, непрерывности отображения, а также целого ряда других понятий, показывает, что хотя все они в конечном счете исходят из понятия метрики, но тем не менее могут быть описаны исключительно в терминах открытых множеств (или, что эквивалентно, в терминах окрестностей точек). Это обстоятельство послужило основой для чрезвычайно плодотворной идеи, заключающейся в том, чтобы исходным считать не метрику, а само семейство открытых множеств, причем описывать его, не опираясь на какую-либо метрику или другую концепцию, использующую понятие числа, а посредством определенных аксиом, отражающих лишь наиболее основные свойства семейства открытых множеств метрического пространства, однако все же достаточных для построения содержательной теории сходимости, непрерывности и т. д. Именно таким путем возникло столь фундаментальное для всей математики понятие, каким является общее понятие топологического пространства, к определению которого мы приступаем.

Пусть	X	–	произвольное	множество,	а τ ={U i ; i I} – некоторое
семейство	его		подмножеств,	причем допускается, чтобы множество
индексов I	имело произвольную мощность.				определяет) в множестве X
Говорят,		что	семейство τ	задает (или

топологическую структуру или, короче, топологию, если это семейство удовлетворяет следующим трем условиям:

0.1) все множество X и пустое множество принадлежат семействуτ ; 0.2) объединение любого семейства множеств из τ также принадлежит

семействуτ ; 0.3) пересечение конечного числа множеств из τ принадлежит τ .

Эти условия называются аксиомами топологии.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Множество X , рассматриваемое вместе с заданной в X топологией τ , называется топологическим пространством; при этом элементы множества X называются точками, а подмножества U i ,

принадлежащие семейству τ , – открытыми множествами этого

топологического пространства. Иногда само множество X называют носителем топологии τ .

Поскольку одно и то же множество X , состоящее из более чем одного элемента, может быть превращено в различные топологические пространства посредством задания в X различных топологических структур, то для того,

9

чтобы указать, что в X задана именно топология τ , соответствующее топологическое пространство иногда обозначают в виде пары ( X ,τ) .

Приведем несколько примеров топологических пространств.

Пример 1.6. Метрические пространства. Прежде всего заметим, что в силу предложения 1.1 семейство τ всех открытых множеств метрического пространства ( X , ρ) удовлетворяет аксиомам топологических структур и, стало

быть, задает в X некоторую топологию, которую принято называть метрической топологией. Ясно, что, в частности, любое евклидово

пространство R n также является топологическим, топология которого называется обычной или евклидовой.

Таким образом, метрические пространства образуют обширный и весьма

важный подкласс топологических пространств.
Пример 1.7. Топология Зарисского.				Рассмотрим произвольное
бесконечное	множество	X	и семейство	τ ,	состоящее из пустого
подмножества и из всевозможных подмножеств					U из X , дополнения
которых CU = X \ U являются конечными подмножествами2. Легко проверить,
что семейство τ	задает в X топологию, которая носит название топологии
Зарисского.
Пример 1.8. Связное двоеточие. Пусть X					–	множество, состоящее
только из двух элементов a и b , а семейство					τ	состоит из пустого
подмножества , всего X и		одноэлементного подмножества {a} . Очевидно,

τ удовлетворяет аксиомам топологии. Возникающее таким образом топологическое пространство (X ,τ ), хотя и имеет весьма простое строение,

все же представляет определенный интерес и поэтому имеет специальное название – связное двоеточие.

1.3 Сравнение топологий

Пусть X – множество, содержащее более чем один элемент, а τ1 и τ2 , заданные в X , – две различные топологии. Если τ1 τ2 , т.е. каждое подмножество, входящее в семейство τ2 , входит также в состав семейства τ2 , то говорят, что топология τ2 мажорирует топологию τ1 или, что топология τ1 мажорируется топологией τ2 . Другими словами, топология τ2 мажорирует топологию τ1, если всякое подмножество, открытое в топологии τ1, является

открытым и в топологии τ2 ,	при этом пишут τ1 ≤τ2 . Если τ1 ≤τ2 ,	но τ1 ≠τ2 ,
то говорят, что τ1 слабее τ2	или что τ2 сильнее τ1. Ясно, что из	τ1 ≤τ2 и

τ2 ≤τ3 следует τ1 ≤τ3 . Кроме того, если топологии τ1 и τ2 таковы, что τ1 ≤τ2 и τ2 ≤τ1, то τ1 =τ2 , т. е. эти топологии совпадают.

2 Пустое подмножество также рассматривается как конечное подмножество.

10