§2. Тригонометрическая форма комплексного числа.

Пусть теперь на плоскости задана ещё полярная система координат, у которой полярная ось сонаправлена сOx. Пусть (r, )  полярные координаты точки z. Тогда r называется модулем комплексного числа z, а  – его аргументом. Обозначаем r=|z|, =argz.

В соответствии с формулами перехода от полярных координат к декартовым

Значит

z=r(cos+isin).

Эта запись называется тригонометрической формой комплексного числа, а запись z=a+bi называется алгебраической формой. Очевидно (например, из чертежа), что z=r(cosisin)=r(cos()isin()).

Пусть два комплексных числа заданы своими уравнениями в тригонометрической форме:

z₁=r₁(cos₁+isin₁), z₂=r₂(cos₂+isin₂).

Тогда

z₁·z₂=r₁r₂(cos₁+isin₁)·(cos₂+isin₂)=

=r₁r₂(cos₁cos₂sin₁sin₂)+i(cos₁sin₂+sin₁cos₂)=

=r₁r₂(cos(₁+₂)+i(sin(₁+₂)).

Таким образом, при умножении двух комплексных чисел в тригонометрической форме их модули умножаются, а аргументы складываются. Поскольку деление есть операция обратная умножению, то

= (cos(₁₂)+i(sin(₁₂)).

Пусть z=r(cos+isin). Ещё одним следствием из правила умножения является формула:

zⁿ=rⁿ(cosn+isinn).

Определение. Число  называется корнем n-ой степени из комплексного числа z, если =zⁿ.

Пусть

z=r(cos+isin), =(cos+isin).

Тогда

ⁿ(cosn+isinn)=r(cos+isin)

Отсюда

ⁿ=r, n=+2k, kZ  =, = , kZ.

Итак,

=(cos +isin ), kZ.

При k=0, 1, …, n1 мы получаем n различных комплексных чисел _o,…, _n1. Если возьмём k=n, то получим, что

cos = cos(+2)=cos, sin = sin(+2)=sin.

То есть _n=_o. Аналогично, _n+1=₁ … и т.д. Таким образом, после k=n1 корни начинают повторяться.

Итак, каждое комплексное число (в том числе и действительное), кроме нуля, имеет ровно n различных корней n-ой степени. Все они расположены на окружности радиуса и делят эту окружность на n равных частей.

Пример. Найти все значения .

Решение. Приведём число к тригонометрической форме:

i=1·(cos + i sin).

Тогда общая формула для всех корней третьей степени:

_k=1·(cos +isin )=

=cos ( + k) +isin ( + k), k=0, 1, 2.

Получаем три различных корня:

_o=cos +isin = + i ,

₁=cos +isin =  + i ,

₂=cos +isin =i.

§3. Многочлены.

Определение. Многочленом степени n называется формальное алгебраическое выражение вида

p(x)=a_nxⁿ+a_n1x^n1 + … + a₁x+a_o, (2.1)

где a_n0. Выражение a_nxⁿ называется старшим членом, a_o – свободным членом. Коэффициенты a_n, a_n1, … , a_o могут быть комплексными.

Определение. Говорим, что многочлен h(x) является частным от деления многочлена p(x) на многочлен q(x), а r(x) является остатком, если выполнено равенство

p(x)=q(x)h(x)+r(x), (2.2)

и при этом степень остатка r(x) меньше делителя q(x). Если остаток равен нулю, то говорим, что p(x) делится на q(x) (или делится без остатка). Тогда пишем: p(x)q(x).

Пример. Разделить с остатком многочлен x³2x²12x7 на x²+3x+2.

x³2x²12x7 x²+3x+2

 x³+3x²+2x x5

5x²14x7

 5x²15x10

x+3

Значит, x5  это частное, а x+3  остаток.

Определение. Число c называется корнем многочлена p(x), если p(c)=0.

Теорема. Остаток от деления многочлена p(x) на xc равен значению p(c).

Доказательство. Остаток от деления на многочлен 1 степени может быть только числом. Пусть

p(x)=(xc)h(x)+r.

Подставим сюдаx=c. Получим p(c)=r.

Следствие. Число c является корнем многочлена p(x) тогда и только тогда, когда p(x)(xc).

Определение. Если p(x) делится на (xc)^k, но не делится на (xc)^k+1, то число c называется корнем многочлена p(x) кратности k. Тогда можем записать, что p(x)=(xc)^k h(x). Если k=1, то корень c называется простым.

Определение. Определим производную от многочлена (2.1) по формуле

p(x)=na_nx^n1 + (n1)a_n1x^n2 + … + 2a₂x+a₁.

Теорема 2.1. Если c является корнем многочлена p(x) кратности k, то c является корнем многочлена p(x) кратности k1.

Основная теорема алгебры комплексных чисел. Всякий многочлен с действительными или комплексными коэффициентами (степень которого больше нуля) имеет хотя бы один корень во множестве С.

Следствие. Всякий многочлен p(x) степени n с действительными или комплексными коэффициентами имеет в точности n корней во множестве С (если каждый корень считать столько раз, какова его кратность).

Доказательство следствия. Пусть c₁  корень многочлена p(x). Разделим p(x) на xc₁:

p(x)=(xc₁) h(x).

Тогда h(x) имеет степень n1. Пусть n10 и c₂  корень многочлена h(x). Тогда

h(x)=(xc₂) g(x)  p(x)=(xc₁)(xc₂) g(x).

Тогда g(x) имеет степень n2. Пусть n20 и c₃  корень многочлена g(x). Тогда

g(x)=(xc₃) f(x).  p(x)=(xc₁)(xc₂)(xc₃) f(x).

И т.д. В конечном итоге получим

p(x)=(xc₁) (xc₂) … (xc_n)a_n. (2.3)

Примем без доказательства, что разложение (2.3) единственно. Если многочлен имеет кратные корни, то среди множителей в (2.3) есть одинаковые. Множитель xc_i встречается столько раз, какова кратность корня c_i. Обозначим эту кратность k_i. Если объединить одинаковые множители, то получим разложение

p(x)=a_n(xc₁)^k1(xc₂)^k2 … (xc_l)^kl.

Например, многочлен 2x³5x²4x+12 имеет корни 2 и 1,5; причём кратность корня 2 равна 2. Поэтому имеет место разложение

2x³5x²4x+12=2(x2)²(x+1,5).

Теорема 2.2. Пусть p(x)  многочлен с действительными коэффициентами и c – его комплексный корень. Тогда c тоже является корнем.

Например, многочлен x²2x+6 имеет корни 1+i и 1i.

Из теоремы следует, что если в разложении многочлена присутствует множитель xc, то там присутствует и множитель xс;¯. Перемножим их:

(xc)(xс;¯)=x²(c+с;¯)x+cс;¯= x²2ax+(a²+b²).

Получился многочлен с действительными коэффициентами. Отсюда вытекает следующая теорема.

Теорема 2.3. Любой многочлен с действительными коэффициентами разлагается в произведение

a_n(xc₁)^k1(xc₂)^k2 … (xc_l)^kl q₁q₂ … q_m

где c₁, c₂,…, c_l  действительные корни, k₁, k₂,…, k_l  их кратности, а q₁, q₂,…, q_m – квадратные трёхчлены с отрицательным дискриминантом.