Плоские и сферические волны

Рассматривая распространение волн, мы полагали, что в плос­ком слое среды, прилегающем к источнику волн, состояние дви­жения всех частиц в один момент времени одно и то же и что волна распространяется таким образом, что в любой плоскости, парал­лельной начальной, состояние движения частиц в любой момент времени также одно и то же. Это позволило нам рассматривать движение волны вдоль прямой линии, считая, что вдоль всех ли­ний, параллельных выбранной, движение происходит одинаково.

Поверхность, соединяющая в данный момент точки волны, колеблющиеся в одной, фазе, называется поверхностью равной фазы или волновой поверхностью. Для волн, которые мы рассмат­ривали, волновая поверхность представляет собой плоскость. Волны, у которых волновая поверхность плоская, называют плоски­ми волнами.

Геометрическое место точек, до которых в некоторый момент времени дошло колебание, называется фронтом волны. В плоской волне фронт ее также плоскость. Прямые, проведенные от источ­ника волн в направлении их распространения, называются лучами. Для плоской волны лучи представляют собой совокупность множества параллель­ных прямых, проведенных перпендикуляр­но фронту волны.

Если среда, в которой распространяют­ся волны, не ограничена, то волны от ис­точника могут распространяться во все сто­роны. Причем если упругие свойства среды во всех направлениях одинаковы (среда изотропна), то колебания распространяют­ся во все стороны с одной скоростью.

Положим, источником колебания в изо­тропной среде служит пульсирующий ша­рик малых размеров. В этом случае вол­новая поверхность — сфера, центр кото­рой расположен в точке возникновения колебаний.

Очевидно, радиус этой сферы равен отрезку, на который рас­пространяется колебание за время t, т.е. r=ct. Фронт сферической волны тоже сфера, а лучи (нормальные фронту волны) совпадают с ее радиусами. Если мы рассечем сферическую волну плоскостью, про­ходящей через ее центр, то в сечении получим ряд концентрических окружностей, которые представляют собой сечения волновых по­верхностей.

Поместим на краю ванны, заполненной водой, шарик на пружине и сообщим ему колебания. От шарика в жидкости распространяются сферические волны, так же как и в воздухе, но мы наблюдаем соб­ственно не их, а поверхностные волны. С известным приближением мы можем рассматривать наблюдаемые волны как след сферических волн на поверхности воды.

Распространяясь, волны приводят в колебательное движение все большее число частиц среды. Так как при этом энергия коле­бательного движения, сообщенная частицам среды источником волн, распределяется между все большим их числом, амплитуда сферических волн убывает обратно пропорционально расстоянию r от центра их возникновения. Зависимость смещения от координаты, отсчитанной вдоль луча, и от времени в сферической волне имеет вид:

(19)

Лекция № 25

Принципы гюйгенса и гюйгенса — френеля. Законы отражения и преломления волн. Дифракция

В 1690 г. Гюйгенс сформулировал принцип, позволив­ший объяснить распространение волны и известные из опыта законы отражения и преломления: каждая точка фронта волны является самостоятельным источником сферических вторичных волн, огибающая которых дает новое положение фронта волны.

Рис.1

На рисунке 1 показано построение фронта волны для бо­лее поздних моментов времени в случае плоской и сферической волн. При построении огибающая сферических волн берется с той стороны от франта волны, которая соответствует направ­лению распространения волны.

Принцип Гюйгенса не объясняет, почему нет волны в обрат­ном направлении (огибающая сферических волн на левой сто­роне рисунка 1 а). Это объяснил Френель, присоединив­ший к принципу Гюйгенса положения о том, что вторичные сфе­рические волны, будучи когерентными, интерферируют между собой. С добавлением Френеля принцип Гюйгенса именуют прин­ципом Гюйгенса — Френеля.

В результате интерференции вторичных сферических волн амплитуда результирующих колебаний всюду равна нулю, кроме точек, находящихся на огибающей, построенной с уче­том направления распространения волны.

Принцип Гюйгенса (и Гюйгенса — Френеля), основанный на опытах, представляет собой приближение, применение которого в некоторых частных случаях дает удовлетворительные резуль­таты. Конечно, более точные результаты и строгое их объясне­ние возможно лишь на основе более глубокой теории (решения волнового уравнения).

Применение принципа Гюйген­са к объяснению явлений отраже­ния и преломления волн. Рас­смотрим плоскую волну, па­дающую на границу раздела двух сред (рис. 2).

Рис.2

Обозначим скорости распространения волн в первой и второй средах соответ­ственно через υ₁ и υ₂. Когда фронт падающей волны достигает границы раздела, каждая точка этой границы становится источ­ником сферических волн, распространяющихся в средах с разными скоростями.

Волна, распространяющаяся от точки А, проходит за неко­торое время t расстояние АВ =υ₁ t. За то же самое время от­раженная волна, выходящая одновременно с первой, но из точки О, проходит такое же расстояние ОС = υ₁t. Так как АВ = OB sin α и ОС = OB sin α₁, то

, т. е. угол отражения равен углу падения.

Рассмотрим теперь вопрос о направлении преломленной волны при . За время пока волна придет из точкиА в В, преломленная волна распространится во второй среде из точ­ки О в точку D. Из рисунка видно, что OD = OB sin β, АВ = ОB sin α. Деля второе равенство на первое, получим:

Таким образом, отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равно отношению скорости волны в первой среде к скорости волны во второй среде.

Из рисунка 2 видно, что падающий, отраженный и пре­ломленный лучи, а также перпендикуляр к границе двух сред в точке падения находятся в одной плоскости—плоскости па­дения (в нашем случае совпадающей с плоскостью рисунка).

Применение принципа Гюйгенса — Френеля к объяснению яв­ления дифракции волн. Явление дифракции состоит в том, что волны огибают встречаемые на пути препятствия, если размеры последних соизмеримы с длиной волны. Отклонение от прямоли­нейности наблюдается и при про­хождении волн через малые от­верстия, размеры которых срав­нимы с длиной волны: волна за­ходит в область тени. Согласно принципу Гюйгенса каждая точка открытой части фронта волны (рис. 3), являясь самостоя­тельным источником, излучает волны по всем направлениям, в том числе и в область тени.

Рис.3

Та­ким образом, согласно принципу Гюйгенса дифракция на препят­ствии должна наблюдаться всег­да. Однако опыт показывает, что это не так. Огибание имеет место лишь в случае, когда препятствие соизмеримо с длиной волны. Этот факт можно объяснить на основе принципа Гюй­генса— Френеля. При больших размерах препятствий наложе­ние вторичных волн, распространяющихся в область тени, приводит к их полному взаимному «погашению». Но такого «пога­шения» не происходит, если размеры препятствия малы (по сравнению с длиной волны (здесь правильнее говорить о малых размерах препятствия по сравнению с расстоянием до точки на­блюдения).