решения_ ЛТ2014
.docxОлимпиада Университета ИТМО
по лазерной технике и лазерным технологиям
20 ноября 2014
Задача 1 (3 балла)
Определите, какая доля мощности лазерного излучения находится внутри круговой области r=2r0, где r0 - характерный размер гауссова распределения плотности мощности излучения в пучке:
Решение:
Обозначим за P(r) мощность излучения, находящуюся в круговой области радиусом r. Проинтегрируем выражение плотности мощности в полярных координатах (r,φ):
Доля мощности излучения k в круговой области радиусом r равна:
При r=2r0
Ответ: 0.982 или 98,2%.
Критерии оценки:
-
правильно составлен интеграл плотности мощности: +1 балл;
-
правильно найдено выражение P(r): +1 балл;
-
получен правильный ответ: +1 балл.
Задача 2 (3 балла)
Резонатор образован выпуклым сферическим зеркалом с радиусом кривизны R1=-1 м и вогнутым сферическим зеркалом радиусом R2=1.5 м. Каким должно быть максимальное расстояние между зеркалами, чтобы резонатор оставался устойчивым?
Решение:
Обозначим расстояние между зеркалами резонатора как L. Далее запишем g-параметры двухзеркального резонатора:
Критерий устойчивости: 0<g1g2<1
Решаем два квадратных неравенства:
Для выполнения критерия устойчивости необходимо соблюдение обоих неравенств, откуда максимальная длина резонатора равна 1.5 м.
Ответ: 1.5 м.
Критерии оценки:
-
записана формула g-параметра: +0.5 балла;
-
записан критерий устойчивости: +0.5 балла;
-
составлены и решены квадратные неравенства: +2 балла.
Задание 3 (4 балла)
Найдите параметры механического прерывателя, представляющего собой вращающийся диск с прорезью (размер угловой прорези φ и угловую скорость вращения диска ω), если из импульсов длительностью τ0=100 мкс необходимо получить импульсы излучения длительностью τ1=40 мкс при частоте следования импульсов f=250 Гц.
Решение:
Для синхронизации вращения диска и следования импульсов лазера необходимо:
Угол φ должен соответствовать времени τ1 при вращении диска со скоростью ω:
Ответ: ω=1570 рад/с; φ=62.8 мрад.
Критерии оценки:
-
верно записано выражение для ω: +1.5 балла;
-
верно записано выражение для φ: +1.5 балла;
-
рассчитано верное значение ω: +0.5 балла;
-
рассчитано верное значение φ: +0.5 балла.
Задание 4 (4 балла)
Найдите давление паров отдачи при лазерном испарении железа, если глубина отверстия растет со скоростью Vотв=15 см/с, а скорость пара у поверхности равна Vп=1 км/с (плотность железа – 7874 кг/м3).
Решение:
Обозначим следующие величины: p – импульс отдачи, F – сила отдачи, P – давление отдачи, m – масса испаренного железа, ρ – плотность железа, h – глубина отверстия, S – площадь отверстия, V – объем испаренного железа, t – время. Напишем выражение для импульса отдачи:
Выведем выражение для давления отдачи через силу отдачи:
Ответ: 1.18 МПа.
Критерии оценки:
-
правильно записано выражение для импульса отдачи: +1 балл;
-
правильно применено выражение для силы отдачи: +1 балл;
-
правильно получено выражение для давления отдачи через известные величины: +1.5 балла;
-
получен верный ответ: +0.5 балла.
Задание 5 (5 баллов)
Пучок, излучаемый Nd:YAG-лазером, имеет диаметр d=6 мм, равномерное распределение интенсивности в поперечном сечении и угол расходимости θ=3 мрад. Является ли этот пучок дифракционно-ограниченным? Оцените размер пятна ω0 для моды ТЕМ00 резонатора.
Решение:
Обозначим следующие величины: θd – расходимость дифракционно-ограниченного пучка, r – радиус апертуры резонатора, λ – длина волны. Формула дифракционной расходимости:
θ<θd, следовательно, пучок не является дифракционно ограниченным.
Оценим поперечный размер основной моды:
Ответ: пучок не является дифракционно ограниченным, ω0≈0.45 мм.
Критерии оценки:
-
правильно написано выражение для дифракционной расходимости: +2 балла;
-
правильно написано выражение расходимости через размер пятна основной моды: +2 балла;
-
сделан и обоснован верный вывод относительно дифракционной ограниченности пучка: +0.5 балла;
-
получено правильное значение размера пятна основной моды: +0.5 балла.
Задание 6 (7 баллов)
Гауссов пучок, излучаемый гелий-неоновым лазером видимого диапазона, имеющий размер пятна в перетяжке ω01=0,5 мм, нужно сфокусировать таким образом, чтобы перетяжка пучка с размером пятна ω02=50 мкм образовалась на расстоянии 1 м от перетяжки исходного пучка. Какое фокусное расстояние должна иметь линза и где она должна быть расположена?
Решение:
Обозначим следующие величины: L=1 м – расстояние между перетяжками, L1 – расстояние от перетяжки исходного пучка до линзы, L2=L-L1 – расстояние от линзы до перетяжки полученного пучка, f – фокусное расстояние линзы, λ – длина волны. Для расчета применим метод ABCD-матриц.
Матрица воздушного промежутка длиной L1:
Матрица тонкой линзы с фокусным расстоянием f:
Разобьем нашу систему последовательно на воздушный промежуток длиной L1, тонкую линзу с фокусным расстоянием f и воздушный промежуток длиной L2. По правилам матричной оптики, для того, чтобы получить матрицу системы элементов, необходимо перемножить матрицы элементов в обратном порядке. Отсюда найдем матрицу искомой системы:
(1)
Комплексные параметры пучков q1 и q2 в плоскостях перетяжек связаны соотношением:
(2)
Общая формула комплексного параметра гауссова пучка:
где R – радиус кривизны волнового фронта. Волновой фронт в перетяжке является плоским, значит, R=∞, 1/R=0. Отсюда выразим комплексные параметры:
Подставим (1) и (3) в (2), получим:
Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему уравнений:
Заменим L2=L-L1=1-L1 и решим полученную систему уравнений для двух неизвестных – L1 и f.
Ответ: f≈14.3 см; L1=85 см.
Критерии оценки:
-
записаны матрицы элементов: +1 балл;
-
получена матрица системы: +1 балл;
-
записана формула комплексного параметра: +1 балл;
-
записано выражение связи комплексных параметров: +1 балл
-
получена система уравнений: +1.5 балла;
-
получен верный ответ: +1.5 балла.