мат_модели_logistics
.pdfНа основании этих данных построим зависимость Об=f(K) (рис. 2.2).
Об
1300 |
|
|
|
1200 |
|
|
|
1100 |
|
|
|
1000 |
|
|
|
900 |
|
|
|
0 |
600 700 800 |
900 1000 |
K |
|
Р и с. 2.2. График зависимости объема
от качества
С помощью графика (рис. 2.2) можно решать два вида задач.
1.По заданному качеству продукции К выявить возможный объ- ём её выпуска Об.
2.По заданному объёму определить возможное качество К. Та- ким образом, за качество продукции надо платить уменьшением объ- ёмов её выпуска. В связи с этим задача максимизации объема Об при максимизации качества К не может быть выполнена. Возможно най- ти лишь компромиссное решение.
Эта задача в общем виде записывается следующим образом:
ì |
n |
|||||
ïОб = åcj xj ® max, |
||||||
ï |
j=1 |
|||||
ï |
n |
|||||
ïK |
= åsj xj ³ Kзад , |
|||||
í |
j=1 |
|||||
ï n |
|
|
|
|
|
|
ïåaij xj £ bi , |
||||||
ï j=1 |
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
£ xj £ Dj , i =1,m, j =1,n; |
||||||
ïd j |
||||||
î |
|
|
|
|
|
30
ì |
n |
|
|
|
|||
ïK = åsj xj ® max, |
|
|
|
||||
ï |
j=1 |
|
|
|
|||
ï |
n |
|
|
|
|||
ïОб = åsj xj ³ Обзад , |
|
|
|
||||
í |
j=1 |
|
|
|
|||
ï n |
|
|
|
|
|
|
|
ïåaij xj £ bi , |
|
|
|
||||
ï j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
£ xj £ Dj , i =1,m, j =1,n. |
|||||||
ïd j |
|||||||
î |
|
|
|
|
|
|
|
В результате решения должны быть |
получены зависимости: |
||||||
в первом случае Об = f (Kзад ) , во втором – |
K = f (Об). |
Таким образом, применяя метод последовательных уступок, сложно установить зависимость объёма выпуска продукции от каче-
ства и на основании этой зависимости выбирать связанные между собой оптимальные значения параметров Об и К. Следовательно, реализовать оптимальное решение можно лишь при строгом соблю- дении зависимости между этими параметрами. А такой зависимо- стью является получаемая в результате применения метода последо- вательных уступок графическая зависимость, представленная на рис. 2.2. Не вызывает сомнения, что этот метод можно обобщить на случай большого числа параметров. Если стоит задача максимизации по к параметрам, то один из них следует принять в качестве целевой функции, а в остальные ввести ограничения.
ЛЕКЦИЯ 4
2.3. Метод экспертных оценок.
Непосредственное назначение коэффициентов веса
Этот метод основан на построении единого (интегрального) по-
казателя эффективности посредством суммирования произведения имеющихся показателей на соответствующие весовые коэффициенты (коэффициенты важности показателей).
Одним из распространенных методов определения степени от- носительной важности является назначение коэффициентов веса, ко- торые, как правило, находят с помощью методов экспертных оценок. Назначение коэффициентов веса с помощью экспертизы представля- ет собой, по существу, обычное обсуждение, с той лишь разницей, что свое мнение эксперты выражают не словами, а цифрами. Методы
31
экспертных оценок достаточно широко распространены в спорте, например, в фигурном катании, гимнастике. Нет основания считать
неприемлемым коллективное мнение специалистов при принятии оптимальных решений. Методов определения экспертных оценок достаточно много. Рассмотрим метод непосредственного назначение коэффициентов веса. Согласно этого метода каждый i-тый эксперт для каждого к-того параметра должен назначать коэффициент αik
таким образом, чтобы сумма всех коэффициентов веса, назначенных одним экспертом для различных параметров, равнялась единице:
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
åαik =1, |
i = |
|
, |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1,n |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где n – число экспертов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Результаты экспертизы сводятся в табл.2.6. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 2.6 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Эксперт |
|
|
|
|
Параметры |
|
|
|
å |
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
… |
|
|
k |
… |
K |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
a11 |
|
|
|
|
|
|
a1k |
|
a1K |
|
1 |
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
ai1 |
|
|
|
|
|
|
aik |
|
aiK |
|
1 |
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
an1 |
|
|
|
|
|
|
ank |
|
anK |
|
1 |
|
|
|
αk |
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
ak |
|
aK |
|
|
|
|
В качестве коэффициента веса к-го параметра принимают сред- |
||||||||||||||||
нее значение по результатам экспертизы всех экспертов: |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
αk |
= |
åαik =1. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
n i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Например, |
нас интересует сравнительная важность двух пара- |
метров: объёма выпуска продукции и её качества. Пусть для экспер- тизы пригласили 8 человек. Результат экспертизы приведён в табл. 2.7.
Здесь значения экспертных оценок α1 = 0,75, α2 = 0,25 .
Если k ³ 3 , то, как показывает опыт, удовлетворение требования
n
åαk =1 затруднено. Для того чтобы избежать выполнения этого
k =1
требования, можно определить коэффициенты другими методами.
32
Т а б л и ц а 2.7
|
|
|
n |
Эксперт |
Об |
К |
åαk |
|
|
|
k =1 |
1 |
0,8 |
0,2 |
1 |
2 |
0,9 |
0,1 |
1 |
3 |
0,7 |
0,3 |
1 |
4 |
0,7 |
0,3 |
1 |
5 |
0,6 |
0,4 |
1 |
6 |
0,8 |
0,2 |
1 |
7 |
0,7 |
0,3 |
1 |
8 |
0,8 |
0,2 |
1 |
ak |
0,75 |
0,25 |
1 |
2.4. Оценки точности параметров в баллах
В этом случае каждый i-тый эксперт назначает каждому к-му параметру оценку по десятибалльной системе. Наиболее важный па- раметр оценивают более высоким баллом, при этом различным па- раметрам может быть назначен одинаковый балл. В результате экс- пертизы заполняется табл. 2.8.
Т а б л и ц а 2.8
Эксперт |
|
Параметры |
|
å |
||
1 |
… |
k |
… |
K |
||
1 |
β11 |
|
β1k |
|
β1K |
β1 |
… |
|
|
|
|
|
|
i |
βi1 |
|
βik |
|
βiK |
βi |
… |
|
|
|
|
|
|
n |
βn1 |
|
βnk |
|
βnK |
βn |
Для каждого эксперта определяется сумма:
n
åβik = βi
k=1
инаходятся значения коэффициентов веса:
αik = ββik .
i
Эти данные представляют строку для i-того эксперта; аналогично определяются значения весовых коэффициентов для остальных экс-
33
пертов.
Здесь данные экспертизы оформляются в виде табл. 2.9 и 2.10.
|
|
|
Т а б л и ц а 2.9 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Параметр |
|
n |
||||
Эксперт |
|
|
|
|
|
|
åβk |
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
||
|
|
|
k =1 |
||||
1 |
6 |
5 |
|
9 |
|
7 |
27 |
2 |
10 |
8 |
|
4 |
|
9 |
31 |
3 |
5 |
8 |
|
9 |
|
3 |
25 |
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 2.10 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Параметр |
|
n |
||||
Эксперт |
|
|
|
åαk |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
2 |
|
|
3 |
4 |
|||
|
|
|
|
k =1 |
|||||
1 |
0,22 |
|
0,19 |
|
0,33 |
0,26 |
1 |
||
2 |
0,32 |
|
0,25 |
|
0,13 |
0,3 |
1 |
||
3 |
0,2 |
|
0,32 |
|
0,36 |
0,12 |
1 |
||
аk |
0,25 |
|
0,25 |
|
0,27 |
0,23 |
1 |
||
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
αk |
= |
|
åαik . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
n k =1 |
|
|
2.5. Статистический метод экспертных оценок
В результате опроса экспертов принимают среднее значение экспертных оценок. Такой подход не учитывает разброса оценок, да- ваемых каждым экспертом в отдельности, а разброс является показа- телем того, что-либо вопрос поставлен недостаточно однозначно, либо признаком некомпетентности экспертов, либо следствием и то- го и другого. Вместе с тем, неучёт разброса экспертных оценок мо- жет привести к неправильным выводам.
Для исключения этого недостатка необходимо исходить из того, что оценка, данная отдельным экспертом, представляет собой реали- зацию случайной величины и поэтому обработка результатов экспер-
тизы должна производиться по правилам действий со случайными величинами. Проведение экспертизы рассматривается на примере определения коэффициентов веса αi параметров xi . Определение
34
экспертных оценок ведётся следующим образом:
1) каждый эксперт должен независимо от других выразить коли- чественно важность параметров x1, x2 ,..., xk , придав коэффициентам
веса α1,α2 ,...,αk соответствующие положительные значения таким
n
образом, чтобы åαik =1, i – число экспертов, к – число параметров;
k=1
2)приведенные результаты эксперимента свести в таблицу;
3)по результатам произведённой экспертизы для каждого коэф- фициента веса найти оценку математического ожидания:
|
1 |
n |
M [dk ] = |
|
åαik , |
|
||
|
n i=1 |
затем определить отклонение в оценке каждого эксперта от оценки математического ожидания:
|
|
|
ik |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
= αik − M [αik ] |
|
|
|
|||||
и составить новую табл. 2.11; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 2.11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эксперт |
|
|
|
|
Параметры |
|
|
|
||
|
αi1 |
i1 |
|
αi2 |
|
i2 |
|
… |
αik |
ik |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
α11 |
11 |
|
α12 |
|
12 |
|
|
α1k |
1k |
|
2 |
α21 |
21 |
|
α22 |
|
22 |
|
|
α2k |
2k |
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
αi1 |
i1 |
|
αi2 |
|
i2 |
|
… |
αik |
ik |
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
αn1 |
n1 |
|
αn2 |
|
n2 |
|
… |
αnk |
nk |
4)обсудить результаты проведенной экспертизы, предоставить слово для обоснования своей оценки в первую очередь тем экспер- там, у которых отклонения наибольшие; с помощью вопросов и об- щей дискуссии добиться устранения возможного недопонимания то- го, что имеется в виду под оцениваемыми параметрами;
5)провести повторную экспертизу, результаты которой свести в
таблицу экспертных оценок, но без столбцов со значением ik; затем по данным таблицы определяются оценки математического ожида- ния и оценки дисперсий:
35
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
D[αk ] = |
n -1 |
|
åi=1 (αik - M [αik ]) |
|
, |
||||
которые сводятся в табл. 2.12: |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 2.12 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
α1 |
… |
|
αk |
… |
|
αK |
|||
|
M[α1] |
… |
|
M[αk] |
… |
M[αK] |
||||
|
D[α1] |
… |
|
D[αk] |
… |
D[αK] |
При обработке окончательных результатов экспертизы для ха-
рактеристики степени согласия мнения исследователей о ранжировке коэффициентов веса вычисляют коэффициент конкордации:
|
|
k |
æ |
n |
æ |
1 |
|
öö2 |
|
|
|
12åç |
åçαik - |
2 |
k (k +1)÷÷ |
|
|
||||
W = |
|
j=1 |
è |
j=1 |
è |
|
øø |
, 0 |
≤ W ≤1 , |
|
|
|
|
|
n2 (k3 |
- k ) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
k – число рассматриваемых параметров, |
n – число экспертов. |
2.6. Метод бинарных (парных) соотношений
Если совместная оценка всех параметров вызывает затруднения, их можно сравнивать попарно, т.е. методом попарных соотношений. Например, пусть задано 5 параметров x1 , x2 , x3 , x4 , x5 . Каждый i-
тый эксперт назначает парные соотношения:
ì1, если k - тый параметр важнее j - того,
γkj = íî0, в противном случае
идля i- того эксперта составляется табл. 2.13, причем
5 5
ååγ kj =10 .
j=1 k =1
Определяем экспертную оценку
5
åγ kj
αk = 5k =15
ååγ kj
k =1 j=1
для i-того эксперта. В результате получим α1 = 0,3 ; α2 = 0,2 ; α3 = 0 ;
36
α4 = 0,3 ; α5 = 0,3 .
Т а б л и ц а 2.13
Сравни- |
|
|
|
|
|
5 |
ваемые |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
årkj |
параметры |
|
|
|
|
|
j=1 |
x1 |
— |
0 |
1 |
1 |
1 |
3 |
x2 |
1 |
— |
1 |
0 |
0 |
2 |
x3 |
0 |
0 |
— |
0 |
0 |
0 |
x4 |
0 |
1 |
0 |
— |
1 |
3 |
x5 |
0 |
1 |
1 |
0 |
— |
2 |
Из последней строки нижней таблицы видно, что, несмотря на отсутствие, казалось бы, какой-либо закономерности в оценках, дан- ных экспертами, все параметры имеют примерно одинаковую отно- сительную важность.
Приведенные методы определения коэффициентов веса дают возможность получить достаточно достоверные исходные данные, позволяющие оценить важность каждого оптимизируемого парамет- ра.
2.7. Пример решения задачи методом экспертных оценок
Вернёмся к задаче многопараметрической оптимизации, которая
представляет собой попытку найти некоторый компромисс между теми параметрами (целевые функции), по которым требуется опти- мизировать решение. Возможной реализацией такого компромиссно- го подхода является формирование специальной функции. При этом
компромиссная целевая функция должна удовлетворять следующим требованиям: оптимизируемые параметры (целевые функции), имеющие, как правило, различную размерность, должны быть при- ведены к безразмерной форме, максимизируемые параметры входят со знаком плюс, минимизируемые – минус:
F = åK αk xk → max .
k =1 xkn
В этой целевой функции оптимизацию производят по K пара- метрам. Безразмерность параметров обеспечиваем введением норми- рующей величины xkn , а степень компромисса назначается с помо-
щью коэффициентов αk .
37
Нормирующая величина может задаваться различными спосо- бами. В одном случае значение нормирующей величины xkn прини-
мается из какого-нибудь утверждающего документа, например, тех- нического задания. Если такой утвержденной величины нет, то мож- но решить задачу оптимизации при максимизации этой величины,
т.е. F = Fmax , и полученное в результате оптимизации значение Fk* принять за нормирующее: Fk* = Fкн . Коэффициенты веса назначаются
n
при условии åαk =1 с помощью экспертных оценок.
k =1
Для рассмотренного выше примера целевая функция записыва- ется следующим образом:
F = α1 Об + α2 K ® max .
Обн Kн
В качестве нормирующих значений Обн и Kн принимаем их максимальные значения, полученные в результате оптимизации от- дельно по каждому параметру: Обн =1340 , Kн =1028 . Математиче- ская модель задачи имеет вид:
F = α |
|
Об |
|
+α |
|
|
K |
|
® max ; |
||
1 1340 |
2 1028 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
ìОб = 7x1 +12x2 +13x3 ; |
|||||||||||
ïK = 9x + 7x +10x ; |
|
||||||||||
ï |
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|||||
ï0,2x + 0,3x |
+ 0,4x |
|
£ 35; |
||||||||
ï |
1 |
|
2 |
3 |
|
||||||
í0,5x + 0,4x |
+ 0,3x |
|
£ 42; |
||||||||
ï |
1 |
|
2 |
3 |
|
||||||
ï0,6x + 0,8x |
+1,2x |
|
£100; |
||||||||
ï |
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|||
ïx ³ 0, j |
=1,3. |
|
|
|
|
||||||
î 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Результаты решения этой задачи при различных значениях ко- эффициентов веса α1 и α2 приведены в табл. 2.14.
Анализ табличных данных даёт основание сделать нижесле- дующие выводы.
1. С точки зрения объёма выпускаемой продукции наиболее вы- годным является 1 вариант. По мере снижения коэффициента веса α1 её выпуск уменьшается. Самой невыгодной является продукция П1, которая при α1 вообще не производится.
38
2.Наиболее выгодной с позиции качества является продукция ПЗ. Наиболее невыгодной – П2, которая при α2 =1 не выпускается.
3.Для обеспечения дальнейшего роста объёма выпуска продук- ции необходимо увеличить трудовые и материальные ресурсы, а для повышения качества продукции – материальные и финансовые.
Та б л и ц а 2.14
Характеристики |
Варианты |
|||
1 |
2 |
3 |
||
|
||||
α1 |
1 |
0,5 |
0 |
|
α2 |
0 |
0,5 |
1 |
|
F |
100 |
94,4 |
100 |
|
Об(F1) |
1340 |
1260 |
1108 |
|
К(F2) |
830 |
930 |
1028 |
|
П1(X1) |
0 |
20 |
49 |
|
П2(X2) |
90 |
50 |
0 |
|
П3(X3) |
20 |
40 |
59 |
|
Резерв ресурсов: |
|
|
|
|
трудовых |
0 |
0 |
1,7 |
|
материальных |
0 |
0 |
0 |
|
финансовых |
4 |
0 |
0 |
Данные расчёты показывают, как влияют назначенные коэффи- циенты веса на результат. Таким образом, зная желаемый компро- мисс, следует принять коэффициенты веса, которые определяют по- лученное решение.
39