WЭП (s,q) =					Kдв (1	+ q1)
								(Tдв (1+ q2 )s +1)s
			при				варьируемых		параметрах		q1 = q10 +∆q1; q2 = q20 +∆q2; q10 = q20 =0;
	∆q1		=		∆q2		≤ 0.3. В		выражениях		для передаточных функций
Kдв		= 20 рад с−1 В−1,Тдв = 0.1 с. Для составления векторно–матричного

описания ОУ (13.10), (13.16), МТЧ (13.15) и агрегированных систем (13.17), (13.18) запишем передаточную матрицу ЭП в форме

Kдв

1+ q1

1

200

1

1+ q1

1

Wэп(s,q) =

Т

дв

1+ q

s

=

s

1+ q

s

.

2

2

1+

1

1+10

1

1

Tдв (1+ q2 )

1

1+ q2

s

s

Воспользуемся

базисом

представления

передаточной функции

Wэп(s,q) , в котором от q1 и q2

зависит только матрица состояния, тогда

векторно-матричное описание (13.10) ОУ получает вид

x(t,q) = A(q)x(t,q)

	в котором	1+ q1
	0	1+ q2
	A(q) =
			10
	0	−
			1+ q2

+ Bu(t); y(t) = Cx(t) ,

			0		]
;	B =			; C = 1 0		.
				[
			200

Матрицы номинального ОУ (13.16) имеют реализации

A =	0	1	;	B =		0	; C = 1 0	]	.
							[
	0	−10				200

Матрицы моделей траекторий чувствительности (13.15):

Aq	=	0	1	;		Bq	=	0		;		Cq =[0 0];
1						1						1
		0	0					0
Aq	=	0	−1		;	Bq	=		0		;	Cq =[0 0].
1			10			1						1
		0							0

Матрицы агрегированной системы (13.17), (13.18) имеют представление:

240

0

1

0

0

0

0 0

1 0

A

0

0

−

10

0

0

B

200

Cσ =

;

A

=

=

;

B =

=

;

1

0 1

Aq

A

Bq

0

0 0

1

0 1 0 1

1

Cη =[0 0 1 0];

1

0

0

1

0

0

−10

1

0

1

0

0

A 0

−

0

B

Cδ

2

= Cδ ;

=

0 10 0

;

=

=

1

A2 =

0 −1

0

1

B2

B1 ;

Cη

= Cη ;

Aq2

A

Bq2

2

1

0

10

0

−10

Проверим управляемость агрегированных систем по состоянию

σj (t)

и

выходу

ηj (t) ( j =1,2)

с

помощью

матриц

управляемости

Wyσ j (13.28) и Wyηj (13.31), которые с учетом n=2 имеют реализации

~

=

~

~

~

~

~

~

~2

~

~

~3 ~

]=

0

200

− 2000

20000

Wyσ1

[Cσ1 B1

Cσ1 A1B1

Cσ1

A1

B1

Cσ1

A1

B1

0

0

0

;

~

~

~

~ ~

~

~ ~2

~

~ ~3

~

0

[0

200

− 2000

20000];

Wyη1

=

[Cη1 B1

Cη1 A1B1

Cη1

A1

B1

Cη1 A1

B1 ]=

Wyσ2 = [Cσ2 B2

Cσ2 A2 B2

Cσ2 A22 B2

Cσ2 A23 B2 ]=

0

− 200

4000

− 60000

=

2000

− 40000

;

~

0

600000

~ ~3

~

~ ~

~ ~

~

~ ~2

~

Wyη2

= [Cη2 B2

Cη2

A2 B2

Cη2 A2

B2

Cη2 A2

B2 ]=

= [0

− 200

4000

− 60000].

Ранги

матриц

Wyσ

и

Wyσ

2

соответственно

равны rangWyσ

=1,

1

1

rangWyσ2 =1, агрегированные системы (13.17), (13.18) с составными

векторами

состояний

x1 = col{x,σ1}

и

x2

= col{x,σ2 }

не

являются

~

~

полностью управляемыми по векторам σ1 (t)

и σ2 (t), поэтому

недостаточно выполнения условия асимптотической сходимости

(13.29) по состоянию параметрически возмущенного ОУ. Ранги матриц

Wyη

и

Wyη равны

rangWyη

= rangWyη

2

=1,

что

совпадает

с

1

2

1

размерностью m =1 вектора выхода.

Таким образом, выбором закона

управления можно обеспечить сходимость lim∆y(t,q0 ,∆qj )= 0; j =

с

1,2

t→∞

заданным темпом. Сингулярные числа матриц Wyηj (j =

) принимают

1,2

значения

α{Wyη1 }= 2 104;α{Wyη2 }= 6 104 .

Отсюда

следует,

что

асимптотическая

сходимость к

нулю

дополнительного

движения

241

∆y(t,q0 ,∆q1 ) потребует больших затрат на управление, чем сходимость дополнительного движения ∆y(t,q0 ,∆q2 ) с тем же темпом.

Рассмотрим теперь возможности аппарата функций траекторной чувствительности применительно к исследованию спроектированной системы в условиях параметрической неопределенности, а, следовательно, к оценке эффекта введения регулятора, реализующего просинтезированный закон управления.

При произвольном значении q = q0 + ∆q векторе параметров исследуемая система имеет векторно-матричное представление

x(t,q) = F(q)x(t,q) + G(q)g(t); x(0); y(t,q) ε (t,q) = g(t) − y(t,q),

= C(q)x(t,q) ,	(13.32)
	(13.33)

где g(t) –экзогенное воздействие, ε(t,q) – ошибка

воспроизведения системой (13.32) внешнего воздействия. Система (13.32) образована агрегированием ОУ (13.33) и устройства управления, реализующего закон управления (ЗУ) в форме

u(t)= Kg g(t)− Kx(t)

(13.34)

в виде прямой связи (ПС) по экзогенному воздействию и отрицательной обратной связи (ОС) по вектору состояния ОУ, матрицы которого Kg и K просинтезированы для случая номинальной

версии (13.16) объекта управления так, чтобы доставить номинальной системе желаемые свойства в переходном и установившемся режимах при воспроизведении экзогенного воздействия. Закон управления в форме (13.34) предполагает измеримость экзогенного воздействия. Если это предположение не реализуемо, то прямая связь осуществляется по ошибке так, что ЗУ принимает вид

u(t)= Kεε(t)− Kx x(t); Kx = K − KεC.

(13.35)

Модель траекторной чувствительности системы (13.32), (13.33), если ввести обозначения

F

=∆

∂F(q)

|

;G

=∆

∂G(q)

|

; F(q)|

= F;G(q)|

= G , (13.36)

q j

∂q j

q = q 0

q j

∂q j

q = q 0

q = q 0

q = q 0

по аналогии с (13.15) (см. рисунок 13.2) имеет вид

σj (t) = Fσj (t) + Fq j x(t) + Gq j g(t); ηj (t) = Cσj (t) + Cq j x(t).

(13.37)

\

Функция траекторной чувствительности εj (t) вектора ошибки удовлетворяет условию

εj (t)= ∂ε(t,q)		= ∂ [g(t) − y(t,q)]			= −yj (t) .	(13.38)
∆
∂qj
	q=q0		∂qj		q=q0

242

Если по аналогии с (13.17), (13.18) ввести в рассмотрение

агрегированную систему с вектором состояния

xj (t) = col{x,σj} ,то для

нее получим

ˆ

(13.39)

xj (t)

= Fj xj (t)

+ Gj g(t); xj (0) = col{x(0),0},

(13.40)

x(t) = Cxj xj (t); y(t) = Cj xj (t);σj (t) = Cσj xj (t) ,

ηj (t)

xj (t);ξj (t) = −ηj (t) ,

(13.41)

= Cηj

где

F

0

G

(13.42)

Fj = F

F

:Gj

= G

,

q j

q j

а матрицы C

,C

,C

и C

задаются в форме (13.20).

x j

j

σj

ηj

g(t)

x(t)

y(t)

y(t,∆qj )

1

G

x(t)

C

s

∆y(t,∆qj )

F

∆qj

Fq j

C

q j

σ j (t

σ j (t

)

)

ηj (t)

1

Gq j

C

s

F

Рисунок 13.2 Модель траекторной чувствительности, дополненная номинальной моделью системы (13.32), (13.33)

Если провести агрегирование номинальной системы и всех p

МТЧ вида	(13.37) путем введения вектора x = col{x, σj ; j =1, p}
размерности
	dim x = (p +1)n , то векторно-матричное представление

такой системы по аналогии с (13.21)–(13.24) получает представление

•												(13.43)
x(t)= Fx(t) + Gg (t); x(0) = col{x(0),σj (0) = 0; j = l, p},
												(13.44)
x(t)= Cx x(t); y(t) = C x(t);σ(t) = Cσx(t);η(t)								= Cηx(t);ξ(t) = −η(t) ,
						243

где

F

F

On×np

,

=

col{Fqj ; j = l, p}

diag{Fjj = F; j = l, p}

G = col{G,Gq j ; j =

}.

(13.45)

1, p

Матрицы

С

, С, С

σ

С

η определяются

посредством (13.24)–

x

(13.26).

Анализ свойств спроектированной системы в условиях параметрической неопределенности ее функциональных компонентов может быть осуществлен визуально траекторным методом.

Траекторный метод предполагает визуальное конструирование оценок максимального и минимального размеров сечений трубки, в

которой	размещаются	движения	∆x(g(t),q0 ,∆q,t) по состоянию,
∆y(g(t),q0 ,∆q,t) и∆ε(g(t),q0 ,∆q,t)			по выходу и ошибке.
Если	эта задача	решается в глобальной постановке, т.е. на

множестве всех параметров qj j =1, p , образующих вектор p, то для

формирования оценок, как это уже отмечено в начале параграфа, целесообразно использовать SVD–анализ применительно к матрицам чувствительности Σ(t) (13.31) и Ξ(t) (13.32), конструируемым с

помощью агрегированной системы (13.43)–(13.45).

Если задача решается в локальной покомпонентной форме, то оценки максимальных размеров трубок дополнительных движений

∆xi (g(t),q0 ,∆q,t) и ∆yl (g(t),q0 ,∆q,t) на множестве угловых реализаций вектора ∆q , параметризованные временем t, определяются

соотношениями

p

ˆ

(g(t),q0 ,∆q,t)= ∑

σ ji (t)

∆q j

,

(13.46)

∆xi (t)= max ∆xi

∆q

j=1

p

ˆ

(g(t),q0 ,∆q,t)= ∑

ηjl (t)

∆q j

,

(13.47)

∆yl (t)= max ∆yl

∆q

j=1

∆εl (t)= ∆ yl (t).

(13.48)

Пример 13.2 (ПР13.2) Рассматривается система, представляющая

собой объединение ОУ с передаточной функцией W (s)=

1

и

oy

(s +1)s

F = A − BK

УУ, доставляющего матрице

распределение

мод

Баттерворта

с характеристической

частотой ω =10с−1 , так что ее

0

собственные значения имеют реализацию λ 1,2= −10(0,707 j0.707) .

Ставится задача сравнить по чувствительности реализации ЗУ (13.34) в информационно, но не структурно, идентичных формах

244

	u(t)= Kε (1+ q3 )ε(t)− Kx x(t),																								(13.49)
	u(t)= Kg (1+ q1)g(t) − Ky (1+ q2 )y(t) − Kx x(t)																								(13.50)
применительно к дополнительному установившемуся движению по
выходу при ступенчатом входном воздействии																g(t) = g01(t) .									Модель
(13.16)		номинального									OУ		характеризуется										матрицами
A =	0	1 ;B =		0 ;C = 1 0						]	.
								[
	0	−1		1
	Система (13.32) при номинальном значении вектора параметров
q = q0 = 0			характеризуется									матрицами					F =					0				1
																											;
																			−100						−14.1
	0		0]. Система (13.32) при реализации ЗУ в форме (13.50)
G	;C =[1
100
имеет матрицы F(q)							=		0			1						0								0], а
													;G(q) =								;C =[1
								−100(1+ q2 )				−14.1			100(1+ q1)
при реализации ЗУ в форме (13.49)
					0				1					0
	F(q) =										;G(q) =					.
		−100(1+ q3 )							−14.1				100(1+ q3 )								{						}
																	j						j
	Агрегированные							системы				с векторами				x		= col				x,σ			; j	=	1,3
(13.39)–(13.42) характеризуются матрицами
								0	1			0	0					0
	F1	F	0			−			−			0	0													0	1		0]
		=	F		=		100		14.1					;G1		=	100 ;Gη1 =[0
		Fq1						0	0			0	1					0
								0	0			−100
;													−14.1				100
								0	1			0	0					0
	F2	F	0				−		−			0	0		;G2					;Gη2 =				[0		0	1		0]
		=			=			100	14.1							=	100
		Fq2	F					0	0			0	1					0
									0			−100						0
;						−100							−14.1
								0	1			0	0					0
		F	0				−	100	−			0	0
		= F	F	=					14.1								100						=[0 0 1 0]
	F3							0	0			0	−		;G3	=		0		;Gη3
		q2											1
									0			−100
						−100							−14.1				100

.

245

Для решения поставленной задачи используем структурный подход, основанный на аппарате передаточных функций, для которых

Ф	∆	η (s)
	(s)=	1
η1g		g(s)
Ф	∆	η (s)
	(s)=	2
η2g		g(s)
Ф	∆	η (s)
	(s)=	3
η3g		g(s)

−1

100

= C

(sI − F)

G

=

;

s2 +14,1s

+100

η1

1

1

−1

(100)2

= C

(sI − F )

G

=

;

(s2

+14,1s +100)2

η2

2

2

−1

100s(s +14,1)

= C

(sI − F )

G

=

.

(s2

+14,1s +100)2

η3

3

3

Анализ установившегося значения функций чувствительности по выходу на основе их лапласовых образов при скачкообразном входе g(t) = g01(t)

ηj (s) =Фηj (s)g(s)

дает:

η1уст = limη1(t) = g0 limФη (s) = g0 ,
t→∞	s→0	1
η2 уст = limη2	(t) = g0 limФη (s) = −g0 ,
t→∞	s→0	2
η3 уст = limη3	(t) = g0 limФη (s) = 0.
t→∞	s→0	3

Таким образом, дополнительные движения по выходу в установившемся режиме при ступенчатом внешнем воздействии, соответственно при реализации закона управления в форме (13.50) и (13.49), получают представления

∆yуст(t)= η3уст∆q3 = 0,∆yуст(t)= η1уст∆q1 + η2 уст∆q2 = g0 (∆q1 − ∆q2 ).■

13.2 Модели траекторной параметрической чувствительности дискретных динамических объектов и систем

В заключение рассмотрим возможности аппарата функций траекторной чувствительности к исследованию дополнительных движений дискретных по времени динамических объектов и систем

по состоянию,

∆
∆x(k,q0 ,∆q)=x(k,q0	+ ∆q) − x(k,q0 ) = Σ(k)∆q ,	(13.51)
и выходу,
∆y(k,q0 ,∆q)= y(k,q0 + ∆q)− y(k,q0 )= Ξ(k)∆q ,		(13.52)

где k – дискретное время, выраженное в числе интервалов дискретности длительности ∆t , для дискретных динамических систем на примере

246

x(k +1,q)= A(q)x(k,q) + B(q)u(k); x(0); y(k,q) = C(q)x(k,q) . (13.53)

Будем придерживаться концепции дискретного объекта управления (ДОУ), состоящей в том, что ДОУ ( 13.53) представляет собой дискретную по времени с интервалом дискретности

длительности ∆t		выборку из непрерывных процессов по вектору
состояния	x(t,q) и выходу y(t,q) при фиксированном на интервале
t ∆tk,∆t (k +1)		значении управления u(t) = u(∆tk) = u(k) . Эта

концепция связывает матрицы непрерывного (13.16) и дискретного ОУ (13.53) известными функциональными соотношениями:

		(q) = eA(q)∆t ;		(q) = A−1(q)(eA(q)∆t − I )B(q);C		(q) = C(q),	(13.54)
	A		B
если при выводе управления из устройства, его формирующего и
осуществляющего				цифро–аналоговое	преобразование,		можно

пренебречь задержкой τ по сравнению с ∆t . Если задержкой τ пренебречь нельзя, то размерность вектора ДОУ становится на r больше размерности вектора состояния непрерывного ОУ, где r – размерность вектора управления, а матрицы модели (13.53) принимают вид

A(q)∆t

A(q)∆t

−

A(q)τ

−1

eA(q)(∆t−τ) − I

A−1(q)B(q)

(q) = e

e

(I

e

)A

(q)B(q)

;

= (

)

,(13.55)

A

B

I

Or×n

Or×r

r×r

=[C

0m×r ].

(13.56)

C

Матрицы

функций чувствительности

∑(k ) и (k )

строятся в

форме (13.08), (13.09) на основе гипотезы о том, что в каждый дискретный момент времени векторы x(k, g ) и y(k, g )

дифференцируемы по q :

		∆	∂x(k,q)
	∑(k )= row σ j (k )=
			∂qj

; j =1, p ,

q=q0

	∆	∂y(k,q)
				|q=q0
Ξ(k)= row ηj (k)=		∂q			; j =1, p .
			j

(13.57)

(13.58)

Модель траекторной чувствительности, необходимая для
генерирования			функций траекторной чувствительности σj (k )	и
ηj (k ) j =			по состоянию и выходу ДОУ, строится путем
	1, p

дифференцирования компонентов представления (13.53) по компонентам qj вектора параметров q при его номинальном значении,

в результате чего для МТЧ получаем

247

σ(k +1)= Aσ(k)+ Aqj x(k)+ Bu(k); σj (0)= 0; ηj(k) =Cσj (k)+Cqj x(k).(13.59)

Дальнейшее конструирование инструментария аппарата функций траекторной чувствительности осуществляется по той же схеме, что и в случае непрерывных ОУ, если модель траекторной чувствительности

(13.59) дополнить моделью ДОУ (13.53) при номинальных параметрах x(k +1)= Ax(k)+ Bu(k); x(0); y(k)= Cx(k).

Необходимо в заключение отметить, что векторно-матричное представление ДОУ в форме (13.53) с матричными компонентами (13.54) и (13.55), в явном виде содержащими такие чисто "дискретные" параметры, как интервал дискретности ∆t и задержку τ вывода управления, заметно упрощает анализ процессов ДОУ, опирающийся на возможности аппарата функций траекторной чувствительности.

Примеры и задачи

13.1. Для непрерывной динамической системы,

передаточной функцией Φ(s)

«вход–выход» вида

Y (s,q)

b0 (1+ q2 )s + b1(1+ q1 )

Φ(s,q)=

=

G(s)

a

0

(1+ q

5

)s2

+ a

(1+ q

4

)s + a

2

(1+ q

3

)

1

заданной

где

q0 j = 0; ∆q j ≤ 0.3; j =1,5, построить ее ВМО в произвольном базисе

x(t,q)= F(q)x(t,q)+ G(q)g(t), x(t)	t=0 = x(0)= 0, y(t,q)= C(q)x(t,q),	исполь–

зуя значения параметров передаточной функции из наборов по выбору преподавателя:

1.	b0 = 0; b1 =1;		a0 = 0;	a1	= 0.1;	a2 =1;
2.	b0	= 0; b1 =1;	a0 = 0;	a1	= 0.5;	a2 =1;
3. b0 = 0; b1 =1;			a0 = 0; a1 =1; a2 =1;
4.	b0	=1; b1 = 0;	a0 = 0;	a1	= 0.1;	a2 =1;
5.	b0	=1; b1 = 0;	a0 = 0;	a1 = 0.5;		a2 =1;
6. b0 =1; b1 = 0;			a0 = 0; a1 =1; a2 =1;
7.	b0 = 0.5; b1 = 0; a0 = 0;				a1 =1;	a2 =1;
8.	b0 =1; b1 =1;		a0 = 0;	a1 = 0.1;		a2 =1;
9.	b0	=1; b1 =1;	a0 = 0;	a1 = 0.5;		a2 =1;

10.	b0 = 0;		b1 =1;		a0	=1;	a1	= 2;	a2	=1;
11.	b0	= 0; b1		= 9;	a0 =1;		a1 = 6;		a2 = 9;
12.	b0	= 0;	b1	=1;	a0	=1;	a1	=1.5; a2 =1;
13.	b0	= 0;	b1	=16; a0 =1; a1 = 6; a2 =16;
14.	b0	= 0;	b1	= 4;	a0 =1;		a1 =1;		a2	= 4;

построить модели траекторной чувствительности вида (13.37) с целью наблюдения дополнительного движения по выходу системы

248

∆y(t,q0 ,∆q j )= (ηj (t))(∆q j ), вызванного вариацией ∆q j параметров

системы в указанных выше пределах при экзогенных воздействиях: a) единичного ступенчатого типа g(t)=1(t);

б)гармонического типа g(t)=1sin(t).

13.2. Для значений параметров из примеров 13.1.1 – 13.1.14 непрерывной системы путем замены производной отношением конечных малых при значении интервала дискретности ∆t = 0.1C сформировать ее дискретное представление

x(k +1)= Fx(k)+ Gg(k), x(k)k =0 = x(0)= 0, y(k)= Cx(k)

с тем, чтобы построить модели траекторной чувствительности

вида (13.59) с целью наблюдения дополнительного движения по выходу системы ∆y(k,q0 ,∆q j )= (ηj (k))(∆q j ), вызванного вариацией

∆q j параметров системы, включая интервал дискретности, который следует задать в форме (∆t(q))= (∆t) (1+ q6 ), в указанных выше

пределах при экзогенных воздействиях:

a) единичного ступенчатого типа g(k)=1(k); б) гармонического типа g(k)=1sin((∆t)k).

Решение вариантов задач

Решение задачи 13.1 ( с вариантом параметров 13.1.1)

В соответствии с вариантом параметров 13.1.1 передаточная

функция непрерывной системы принимает вид

(1+ q1 )

b

(1+ q

)

(1

+ q

)

10

s−1

Φ(s,q)=

(1+ q

4

)

1

1

=

1

=

,

a (1+ q

)s + a

(1+ q )

0.1(1

+ q

)s + (1+ q

)

1

+10

(1+ q3 )

−1

1

4

2

3

4

3

(1+ q4 )s

q ≠ q0 = 0

ВМО

которой

при

будет

иметь

вид

x(t,q)=

(1+ q3 )

(1+ q1 )

−10

x(t,q)

+

10

g(t), y(t,q)= x(t,q).

(1+ q4 )

(1+ q4 )

При

q = q0 = 0 номинальная

версия

системы

получает

представление

x(t)= −10x(t)+10g(t), y(t)= x(t).

Матрицы чувствительности принимают вид

F

=

∂F(q)

= 0;G

=

∂G(q)

=10

1

=10;

q

(1+ q4 )

q

∂q1

q=q0

∂q1

q=q0

q4 =0

1

1

F

=

∂F(q)

= −10;G

q

=

∂G(q)

= 0;

q

∂q2

3

∂q1

3

q=q0

q=q0

F

=

∂F(q)

=10;G

q4

=

∂G(q)

= −10.

q4

∂q1

q=q0

∂q1

q=q0

249

В результате получаем три модели траекторной чувствительности вида (13.37)

σ1(t)= −10σ1(t)+10g(t);η1(t)= σ1(t); σ3 (t)= −10σ3 (t)−10x(t);η3 (t)= σ3 (t);

σ4 (t)= −10σ4 (t)+10x(t)−10g(t);η4 (t)= σ4 (t);

Теперь полученные модели чувствительности вместе с номинальной моделью системы следует поместить в модельную среду Simulink и провести исследования параметрически возмущенного выхода системы

			y(t,q = q0 + ∆q)= y(t)+ (η1(t))(∆q1 )+ (η3 (t))(∆q3 )+ (η4 (t))(∆q4 )	при
	∆q j		≤ 0.3(j =1,3,4) и ступенчатом и гармоническом воздействиях.	■

250