Тр номер 2(математика)

4141

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Часть 2

Типовой расчет

УДК 513.

Комплексные числа. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Линейная алгебра. Часть 2: Типовой расчет / Рязан. гос. радиотехн. ун-т; сост.: В.В. Гришина, Н.В. Ёлкина, Т.Л. Львова, С.Н. Орлова, Т.И. Дорофеева, С.С. Крыгина, Т.А. Поскрякова, Е.А. Сюсюкалова. – Рязань, 2009. 40 с.

Содержатся задачи по разделам: векторная алгебра, аналитическая геометрия, кривые второго порядка, поверхности.

Предназначены для студентов всех специальностей дневного и заочного форм обучения.

Вектор, плоскость, прямая, кривые 2-го порядка, полярная система координат, поверхность

Печатается по решению методического совета Рязанского государственного радиотехнического университета.

Рецензент: кафедра высшей математики Рязанского государственного радиотехнического университета (зав. кафедрой канд. физ-мат. наук, доц. К.В. Бухенский)

Рязань 2009

Задача 15

а) показать, что векторы p , q , r образуют базис. Найти координаты вектора x в этом базисе;

б) проверить коллинеарность векторов c1 и c2 .

15.1.а) x = (1,1,1), p = (3,0,−1), q = (2,2,2), r = (1,0,1); б) a = (3,5,7), b = (1,2,1), c1 = a + b , c2 = 2a − b .

15.2.а) x = (2,1,1), p = (0,3,−1), q = (−2,1,2), r = (−1,0,−1); б) a = (2,3,4), b = (3,4,4), c1 = a + b , c2 = 2a + 2b .

15.3.а) x = (−1,1,−1), p = (−1,0,3), q = (2,−2,−2), r = (0,1,1); б) a = (−6,3,3), b = (2,−2,−2), c1 = 3a + b , c2 = a + b .

15.4.а) x = (2,3,1), p = (3,1,2), q = (1,3,2), r = (2,1,3); б) a = (3,1,1), b = (5,0,3), c1 = a −2b , c2 = a + 2b .

15.5.а) x = (2,0,5), p = (1,1,1), q = (−2,0,3), r = (0,1,−1); б) a = (3,2,1), b = (−5,4,0), c1 = 3a −3b , c2 = a − b .

15.6.а) x = (5,0,2), p = (1,3,5), q = (3,0,−2), r = (1,−1,0); б) a = (3,2,1), b = (−5,4,0), c1 = a + 2b , c2 = 2a + b .

15.7.а) x = (0,5,2), p = (5,3,1), q = (0,3,−2), r = (−1,1,0); б) a = (3,7,5), b = (1,3,5), c1 = 4a −3b , c2 = a +3b .

15.8.а) x = (2,0,5), p = (3,1,5), q = (−2,3,0), r = (0,1,−1); б) a = (0,3,2), b = (1,−2,1), c1 = 5a − b , c2 = a +5b .

15.9.а) x =(3,2,1), p = (1,3,2), q = (2,3,7), r = (3,1,2); б) a = (1,2,3), b = (2,3,1), c1 = 3a − b , c2 = a +3b .

15.10.а) x = (1,−1,1), p = (0,3,2), q = (−1,3,7), r = (−3,1,2);

б) a = (2,3,5), b = (−1,3,8), c1 = 5a +5b , c2 = −a − b . 15.11. а) x = (0,1,2), p = (2,3,0), q = (2,7,2), r = (−3,0,2);

б) a = (8,3,1), b = (2,6,1), c1 = a + 4b , c2 = 4a − b .

15.12.а) x = (2,1,0), p = (0,3,2), q = (−1,3,−1), r = (− 2,−2,2); б) a = (6,1,2), b = (−1,0,1), c1 = 5a + b , c2 = 5a − b .

15.13.а) x = (1,0,2), p = (3,2,0), q = (1,−3,1), r = (2,2,−2);

б) a = (−2,−1,−2), b = (2,3,8), c1 = 3a − b , c2 = a +3b .

15.14.а) x = (1,4,1), p = (3,2,5), q = (0,3,1), r = (1,2,2); б) a = (3,1,3), b = (2,1,2), c1 = a + b , c2 = a + 4b .

15.15.а) x = (−1,4,−1), p = (−1,2,5), q = (1,1,1), r = (2,2,1); б) a = (1,7,2), b = (3,0,5), c1 = a + 2b , c2 = a −2b .

15.16.а) x = (3,0,2), p = (−1,2,−1), q = (2,1,1), r = (1,1,3);

б) a = (2,7,1),			= (5,0,3), c1
	b			= a + 2b			, c2 = −a −2b				.
15.17. а) x = (7,3,1), p = (1,1,1), q = (−2,1,2), r = (3,1,1);
б) a = (7,1,2),		= (0,3,5), c1		= 3a +
	b				b	, c2 = a −3b			.

15.18.а) x = (1,7,3), p = (0,1,1), q = (1,−2,−1), r = (1,3,1); б) a = (7,2,1), b = (0,5,3), c1 = a − b , c2 = a + b .

15.19.а) x = (3,1,7), p = (1,0,1), q = (1,1,1), r = (−1,2,1);

б) a = (3,5,4), b = (5,2,0), c1 = a − b , c2 = −4a + 4b .

15.20.а) x = (1,3,1), p = (2,1,3), q = (3,2,5), r = (3,0,2); б) a = (5,3,4), b = (2,3,0), c1 = a −4b , c2 = a −3b .

15.21.а) x = (1,0,1), p = (−2,1,2), q = (3,1,3), r = (2,5,1);

б) a = (4,3,5),

= (0,2,3), c1 = 4a −

b

b

, c2 = a + 4b

.

15.22. а) x = (2,1,2),

p = (3,1,1), q = (2,3,5), r = (5,3,2);

б) a = (4,5,3),

= (3,0,2), c1 = a −4b

, c2 = a +

.

b

b

15.23. а) x = (2,2,1),

p = (1,1,3), q = (5,3,2), r = (2,3,5);

б) a = (2,2,2),

= (1,2,0), c1 = a +

.

b

b

, c2 = a −3b

15.24. а) x = (1,2,2),

p = (1,3,1), q = (3,2,5), r = (5,1,3);

б) a = (1,7,2),

= (2,7,1), c1 = 3a +3b

,

c2 = a −

.

b

b

15.25. а) x = (2,3,4),

p = (1,4,4), q = (2,3,2), r = (1,3,5);

б) a = (7,1,2),

= (1,7,2), c1 = 3a −

,

b

b

c2 = −6a + 2b

.

15.26. а) x = (1,4,3),

p = (4,1,4), q = (2,3,3), r = (5,3,1);

б) a = (2,7,1),

= (7,1,2), c1 = a −3b

,

.

b

c2 = a +5b

15.27. а) x = (3,1,4),

p = (4,4,1), q = (3,3,2), r = (3,1,5);

б) a = (1,0,3),

= (1,1,1), c1 = 5a +

, c2 = a −

.

b

b

b

15.28. а) x = (4,1,3),

p = (1,4,4), q = (1,3,3), r = (5,1,3);

б) a = (1,3,1),

= (2,2,3), c1 = a +5b

,

.

b

c2 = a −5b

15.29. а) x = (5,−5,0), p = (1,1,1), q = (2,1,2),

r = (3,0,1);

б) a = (3,2,5),

= (5,1,1), c1 = 2a + 2b

,

c2 = 7a −

.

b

b

15.30. а) x = (−5,0,5), p = (1,2,3), q = (2,1,2),

r = (3,5,4);

б) a = (1,1,1), b = (3,7,1), c1 = a + b , c2 = −a − b .

15.31.а) x = (1,1,1), p = (1,1,2), q = (1,2,1), r = (2,1,1);

б) a = (5,3,1), b = (1,7,3), c1 = 2a −3b , c2 = a + b .

	Задача 16
16.1. Найти вектор	x , коллинеарный вектору a =				−2
				i		j −2k ,
образующий с	ортом
		j острый угол и имеющий длину

x=15 .

16.2.Найти вектор x , образующий со всеми тремя базисными ортами равные острые углы, если x = 2 3 .

16.3.Найти вектор x , образующий с ортом j угол 60°, с ортом k – угол 120°, если x = 5 2 .

16.4.Найти вектор x , направленный по биссектрисе угла между

векторами

a = 7i

−4 j −4k и b = 2i − j + 2k , если

x = 5 6 .

16.5. Из одной и той же точки проведены векторы a = (−3;0;4)

и b = (5;−2;−14). Найти единственный вектор, который, будучи отложен от той же точки, делит пополам угол между векторами a и b .

16.6. Даны модуль a = 5 и углы α = 45°, β = 60°, γ =120°.

Вычислить проекции вектора a на координатные оси и орт вектора a .

16.7. Вычислить направляющие косинусы вектора a = (1;5;−15).

Найти вектор, коллинеарный вектору a , направляющий в противоположную сторону и длиннее вектора a в три раза.

16.8. Вектор x составляет с осями OY и OZ соответственно углы β = 60°, γ =135°. Какой угол он составляет с осью

OX? Найти координаты вектора x , если модуль x = 3 .

16.9. Вектор a составляет с координатными осями OX и OZ углы α = 60°, γ =135°. Вычислить его координаты, если

a = 2 . Найти орт вектора a .

16.10. Даны a = 3, b = 5 , a + b = 19 . Найти a − b .

16.11.Даны a =11, b = 23, a −b =30 . Найти a + b .

16.12.Векторы a и b образуют угол , причем a = 5 , b = 7 .

Определить a + b , a − b .

16.13. Проверить коллинеарность векторов и b = (−12;4;−8).

Какой из них длиннее другого, во сколько раз, как они направлены?

16.14. Определить,

при каких

значениях α и

β

векторы

a = 2i

+βk −3j и b = αi +12 j +8k коллинеарны.

16.15. Проверить, что точки

A(1;1;1),

B(5;−4;8),

C(3;2;1),

D(−5;12;−13) являются вершинами трапеции.

a = (3;−1;3),

16.16. Определить

a +

и

a −

векторов

b

b

= (3;2;4).

b

16.17. Найти проекции вектора a

на

оси координат,

если

a =

, A(0;0;1), B(2;2;1), C(4;3;5), D(3;6;3).

AB

+3CD

16.18. Даны радиусы-векторы

вершин

треугольника

ABC:

rA =

+ 2

i

j +3k ,

rB = 3i

+ 2 j + k ,

rC =

i

+ 4

j + k .

Показать,

что треугольник ABC равносторонний.

16.19. Вычислить модуль вектора

a =

+ 2

− 1

(4

) и найти его направляющие

i

j +

k

i

+8j +3k

5

косинусы.

M1(1;2;3), M2 (3;−4;6). Найти длину и

16.20. Даны

точки

направляющие косинусы вектора

.

M1M2

16.21. Дан

вектор

.

Найти вектор

,

если

a = 4i

−2 j +3k

b

=

a

,

by = a y ,

bx = 0 , и найти направляющие косинусы

b

вектора b .

16.22. Радиус-вектор точки M составляет с осью OY угол 60°, а с осью OZ – угол 45°, его длина r =8 . Найти координаты точки M, если ее абсцисса отрицательна.

16.23. Дан вектор a = 2i +5j + k . Найти его проекцию на ось,

составляющую с осями координат равные острые углы. 16.24. Вектор a задан координатами своих концов A и B:

A(2;1;−4), B(1;3;2). Найти проекции вектора a на координатные оси и его направляющие косинусы.

16.25. Найти вектор x , коллинеарный вектору a = 2i −2 j + k , образующий с ортом k тупой угол и имеющий длину

x= 45 .

16.26.Радиус-вектор точки M составляет с осью OX угол 45°, с

осью OY – 60°, его длина					r			= 8 . Найти координаты
вектора		, зная, что	третья координата точки M
	OM
отрицательна.						= (2; −4). Найти косинус
16.27. Даны векторы a = (2; 2)			и
				b
угла между векторами x и			y , удовлетворяющими системе

уравнений x +3y = a , x −3y = b .

16.28.Даны a =13, b =19 , a + b = 24 . Найти a − b .

16.29.Найти вектор a , образующий с ортом j угол 60°, с ортом i – 120°, если a = 3.

16.30.Найти вектор x , направленный по биссектрисе угла между векторами ) и b = (−1;2;−2), еслиa = (2;−3;6

x = 3 42 .

16.31. Дан вектор a = 7i + 2 j +5k . Найти длину и направляющие косинусы вектора a .

Задача 17. Умножение векторов

Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) косинус угла между ребрами AB и AD; б) проекцию вектора

AC на вектор AD ; в) площадь грани ABC; г) объем пирамиды

ABCD.
17.1. A(4;0;0)	B(−2;1;2)		C(1;3;2)		D(3;2;7)
17.2. A(− 2;1;2)	B(4;0;0)		C(3;2;7)		D(1;3;2)
17.3. A(1;3;2)	B(3;2;7)		C(4;0;0)		D(−2;1;2)
17.4. A(3;2;7)	B(1;3;2)		C(−2;1;2)		D(4;0;0)
17.5. A(3;1;−2)	B(1;−2;1)		C(−2;1;0)		D(2;2;5)
17.6. A(1;−2;1) B(3;1;−2)		C(2;2;5)		D(−2;1;0)
17.7. A(− 2;1;0)	B(2;2;5)		C(3;1;2)		D(1;−2;1)
17.8. A(2;2;5)	B(−2;1;0)		C(1;−2;1)		D(3;1;2)
17.9. A(1;−1;6)	B(4;5;−2)		C(−1;3;0)		D(6;1;5)
17.10. A(6;1;5)	B(−1;3;0)		C(4;5;−2)		D(1;−1;6)
17.11. A(−5;−1;8)	B(2;3;1)		C(4;1;−2)		D(6;3;7)
17.12. A(5;1;−4)	B(1;2;−1)		C(3;3;−4)		D(2;2;2)
17.13. A(1;1;1)	B(2;3;4)		C(4;3;2)		D(3;2;4)
17.14. A(1;1;2)	B(2;3;−1)		C(2;−2;4)		D(−1;1;3)
17.15. A(2;−3;5)	B(0;2;1)		C(− 2;−2;3)		D(2;3;4)
17.16. A(1;−3;−4)	B(−1;0;2)		C(2;−4;−6)		D(1;1;1)
17.17. A(2;1;−2)	B(3;3;3)		C(1;1;2)		D(−1;−2;−3)
17.18. A(1;1;1)	B(2;0;2)		C(2;2;2)		D(3;4;−3)
17.19. A(0;0;0)	B(1;1;0)		C(2;1;0)		D(0;0;6)
17.20. A(0;0;0)	B(4;1;1)		C(1;1;0)		D(0;0;8)
17.21. A(1;2;−1)	B(0;1;5)		C(−1;2;1)		D(2;5;3)
17.22. A(1;−1;2)	B(5;−6;2)		C(1;3;−1)		D(2;3;1)
17.23. A(2;−1;1)	B(5;5;4)		C(3;2;−1)		D(4;1;3)
17.24. A(2;3;1)	B(4;1;−2)		C(6;3;7)		D(−5;−4;8)
17.25. A(2;1;−1)	B(3;0;1)		C(2;−1;3)		D(0;8;0)
17.26. A(4;0;1)	B(−2;1;3)		C(1;3;2)		D(3;2;5)

17.27. A(− 2;1;3)	B(4;1;1)	C(1;3;2)	D(3;2;6)
17.28. A(1;3;5)	B(3;2;4)	C(4;1;1)	D(−2;1;2)
17.29. A(3;1;5)	B(1;3;2)	C(− 2;0;2)	D(3;5;3)
17.30. A(6;5;4)	B(1;1;1)	C(1;0;3)	D(5;6;4)
17.31. A(4;1;−2)	B(2;3;1)	C(6;3;7)	D(−5;−1;8)

Задача 18

18.1.

a1

= 2 ,

a2

= 5 , (a1, a2 )=

2π

. Вычислить (a1 + 2a2 )2 .

3

2π .

18.2.

a1

= 2 ,

a2

= 5 ,

(a1, a2 )=

Вычислить

(2a1 + a2 )(a1 −2a2 ).

3

18.3.a1 = 2 , a2 = 5 , (a1, a2 )= 23π . Вычислить (a1 + a2 )2 .

18.4.Вычислить длины диагоналей параллелограмма,

построенного на векторах a = 2p +3q , b = p − q , если

p= 2 , q = 3 , (p, q)= 23π .

18.5.Векторы a и b взаимно перпендикулярны, а вектор c

образует с

ними углы, равные

π .

Зная,

что

a

=

= 2 ,

b

c

=1, найти (2a −

)(c −a).

3

b

18.6. Векторы

a и

взаимно перпендикулярны,

а вектор c

b

образует с ними углы, равные

π

. Зная, что

a

=1,

= 2 ,

b

c

=1, найти (a +

+ c)2 .

3

b

18.7. Векторы

a и

образуют

угол

π . Зная,

что

a

= 5 ,

b

3

.

b

= 4 , найти длину вектора c = 5a + 2b

18.8. Три вектора a ,

b

,

c

расположены в одной плоскости,

a

= 3,

= 2 ,

c

= 2 ,

векторы

и c

составляют с

b

b

вектором

a углы в

60°. Определить угол α между

векторами

и c и длину вектора s = a +

+ c .

b

b

18.9. Три вектора a ,

, c

попарно взаимно перпендикулярны,

b

а длины их соответственно равны

a

= 2 ,

= 3 ,

c

= 6 .

b

Найти длину вектора s = a + 2b +3c .

18.10.Вычислить скалярное произведение векторов (a, b), если a = 3p −2q и b = p + 4q , где p и q – единичные векторы.

18.11.Найти числовое значение скаляра 3 m −2(m, n)+ 4n2 ,

если m = 13 , n = 6 , (m, n)= π3 .

18.12.Вычислить длину диагоналей параллелограмма,

построенного

на векторах a = 5p + 2q ,

= p −3q , если

b

известно, что

p = 2 2 ,

q

= 3 , (p, q)=

π .

4

и

,

18.13. К одной и той же точке приложены две силы:

P

Q

действующие под углом 120°, причем

= 7 ,

= 4 .

P

Q

Найти величину равнодействующей силы

.

R

18.14. Зная, что

a

= 2 ,

= 5 , (a,

)= 2π

, определить, при

b

b

3

,

каком значении коэффициента α векторы p = αa +15b

q = a −

будут перпендикулярными.

b

18.15.Вычислить длины диагоналей параллелограмма,

построенного на векторах AB = m + 2n , AD = m −3n , где m = 5 , n = 3 , (m, n)= 23π .

18.16. Векторы a и

образуют угол π . Зная,

что

a

= 5 ,

b

4

=8 ,

p = a +

b

вычислить

угол между

векторами

b

и

q = a −

.

b

18.17. Векторы a ,

, c

попарно образуют углы, каждый из

b

которых

равен

π .

Зная, что

a

=1,

= 2 ,

c

= 3,

b

3

+3c .

определить модуль вектора

S

= a + 2b

18.18. Найти координаты вектора x ,

коллинеарного

вектору

a = (5;3;2) и удовлетворяющего условию (a, x)

=19 .

18.19. Даны два вектора a = (1;1;5) и b = (1;2;−5). Найти вектор

x ,

удовлетворяющий

условиям

(a, x)= −2 ,

(

b, x)= −3,

(2i

)x = −4 .

+ 2 j + 2k

18.20.

Найти

угол

между

диагоналями параллелограмма

2e1 − e2

и

4e1 +5e2 ,

если

e1 , e2

– единичные векторы и

(e , e

2

)=

2π

.

1

3

18.21.

Найти

скалярное

произведение векторов

3a −2b

и

, если

a

= 4 ,

= 6 , (a,

)= π .

5a −6b

b

b

3

+ 4c

и

18.22. Найти скалярное произведение векторов 2a +3b

+7c ,

если

a

=1,

= 2 ,

c

= 3,

5a +6b

b

(a, b)= (a, c)= (b, c)= π3 .

18.23. Найти единичный вектор, перпендикулярный к векторам a = i + j + 2k и b = 2i + j + k .

18.24. Даны векторы a = 2i + 2 j + k и b = 6i +3j + 2k . Найти вектор x , который перпендикулярен к векторам a и b и удовлетворяющий условию x(i + j + k)=1.

18.25.Найти угол между векторами a и b , если известно, что

(2a − b)2 +(a −3b)2 = 45 , a =1, b = 2 .

18.26.Векторы a , b , c образуют попарно друг с другом углы

90°. Зная длины этих векторов

a

= 3,

= 4 ,

c

= 5 ,

b

.

определить модуль вектора s = 2a +5c −3b

18.27.

Векторы a и

образуют угол

π , зная, что

a

= 5 ,

b

= 5 , вычислить

npq (p + q),

2

b

если

p = 5a −5b

,

.

q = 5a +5b

18.28. Векторы a и

составляют угол

2π

, зная, что

a

= 3,

b

= 7 , вычислить (7a −

)(a +7b

).

3

b

b

18.29.

Вычислить

(m +3n +3p)2 ,

если

m

=

n

=

p

= 2 ,

(n, p)= π2 , (m, n)= (m, p)= π6 .

18.30. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a = 2p −11q , b = p + q , если

p= q = 2 , (p, q)= π3 .

18.31.Векторы a , b , c образуют попарно друг с другом углы

90°.

Зная длины этих векторов:

a

=1,

= 2 ,

c

= 3,

b

.

определить модуль вектора s = 2a + c +3b

Задача 19

19.1.

a1

= 4 ,

a2

= 3 ,

(a1

, a2 )= π .

Вычислить

[a1 + a2 ,2a1 + a2 ]

.

6

19.2. Найти синус угла между диагоналями параллелограмма,

построенного на

векторах

a = 2p −11q ,

= p + q , если

b

p

=

q

= 2 ,

(p, q)=

π

,

используя

векторное

3

произведение векторов.

π .

19.3.

a

=

= 5 ,

(a,

)=

Вычислить

площадь

b

b

4

треугольника, построенного на векторах a −2b и 3a + 2b . 19.4. Найти площадь параллелограмма, построенного на

векторах a = p + 2q , b = 2p + q , где p и q – единичные векторы, (p, q)= π3 .

19.5. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на

векторах

AB

= m + 2n ,

AD

= m −3n , где

m

= 5 ,

n

= 3 ,

(m, n)= π .

3

a = (1;2;3),

19.6.

Вектор

x ,

перпендикулярный к

векторам

= (−1;2;3),

образует

тупой

угол

с

осью

OZ. Зная, что

b

x = 13 , найти его координаты.

19.7.

Сила

=

−

приложена

к точке A(3;3;3).

F

i

j + k

Определить

момент

этой силы

относительно

точки

O(2;2;5).

F1 = (1;−2;−5),

F2 = (−2;2;2),

19.8.

Даны

три

силы:

F3 = (0;2;3), приложенные к точке

A(0;1;2). Определить

величину

и

направляющие

косинусы

момента

равнодействующей этих сил относительно точки O(1;1;1).

19.9.

Найти

координаты

вектора

x , если известно,

что он

перпендикулярен

к векторам

a1 = (2;−1;2),

a2 = (1;1;1),

образует с ортом

острый угол и x =

2 .

i

19.10. Найти координаты вектора x , если он перпендикулярен к векторам a1 = (5;7;1), a2 = (1;2;5), а также удовлетворяет

условию x(i + 2 j −7k)= 3.

19.11.Зная разложение векторов l , m , n по трем

некомпланарным векторам a , b , c , проверить, будут ли l , m , n компланарны, и в случае утвердительного ответа дать линейную зависимость, их связывающую, если

= 2a −

l

b

− c , m = 2b

− c −a , n = 2c −a − b .

C(9;4;−4),

19.12. Показать, что

точки A(5;7;−2),

B(3;1;−1),

D(1;5;0) лежат в одной плоскости.

19.13. Дано:

a

= 2 ,

= 2 , (a,

)=

π . Найти площадь

b

b

3

треугольника, построенного на векторах 3a −

,

3a +

.

b

b

19.14. Найти синус угла между векторами AB и AC , если

A(1;3;5), B(7;0;2), C(1;3;2), используя векторное произведение векторов.

19.15. Векторы a

и

образуют угол

π

. Зная, что

a

= 5 ,

b

= 3 , вычислить

[(5a −2b

), (7a −

)]

2

b

b

.

19.16. В треугольнике с вершинами A(3;5;6), B(6;1;0),

C(3;7;8)

найти длину высоты AM.

π . Найти

19.17. Векторы a

и

образуют угол

площадь

b

6

треугольника, построенного на векторах 7a −3b и 3a −7b , если a = 5 , b =1.

19.18. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a = 6m −3n и b = m +11n , если m = n = 5 ,

(m, n)= 23π .

19.19. Вычислить синус угла между векторами a = (3;4;5) и

b = (2;2;2), используя векторное произведение векторов. 19.20. Найти площадь параллелограмма, построенного на

векторах

a = 6m −3n

и

= 3m −6n , где

m, n

–

b

единичные векторы, образующие угол π .

6

19.21. Векторы a и

взаимно перпендикулярны. Зная,

что

b

a

= 3,

= 7 , вычислить

[(11a −

), (5a +

)]

.

b

b

b

19.22. Найти координаты четвертой вершины тетраэдра ABCD,

известно,

что она лежит

на оси OZ. Объем

тетраэдра

v = 3 куб.ед. и A(1;2;3), B(0;1;3), C(2;1;3).

19.23. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на

векторах

a = p −11q ,

= p +11q , если

p

=

q

= 2 ,

b

(p, q)=

π .

4

= (3;4;−2) и точка ее

19.24. Даны

сила

приложения

F

A(2;−1;3). Найти момент силы относительно начала

координат и углы, составляемые им с координатными осями.

19.25.	В треугольнике с								вершинами	A(1;3;1),	B(2;7;0),
C(3;−1;−1) найти длину высоты BD.											A(3;3;3).
19.26.	Сила		=		−3				приложена	к точке
		F		i		j +5k

Определить момент этой силы относительно точки O(1;1;1). 19.27. Вычислить площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы 3e1 −4e2 , 3e1 +5e2 , где e1 , e2 –

единичные векторы и (e1, e2 )= π4 .

19.28. Найти координаты вектора x , если известно, что он перпендикулярен к векторам a1 = (4;2;3) и a2 = (1;1;1),

образует тупой угол с ортом j и x =13 .

19.29. Найти координаты вектора x , если он перпендикулярен к векторам a1 = (2;−5;6) и a2 = (−1;−3;−7) и удовлетворяет

условию x(3i + 2 j +3k)=13.

19.30. Векторы a , b , c образуют левую тройку, a = 2 , b =1,

c

= 2 , (a

)= 60°, c a , c

. Найти a

c .

b

b

b

19.31. Вектор

x перпендикулярен к векторам a1 = (1;1;1) и

a2 = (2;3;4)

и удовлетворяет условию x (2i

−

)=12 .

j +

k

Найти координаты вектора x .

Задача 20

20.1. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат, точку A(1;−2;3) и перпендикулярной к плоскости x − y −2z −4 = 0 .

20.2.Найти уравнение плоскости, проходящей через ось OY перпендикулярно к плоскости 3x −4y +5z −12 = 0 .

20.3.Через точку M(−5;16;12) проведены две плоскости: одна

из них содержит ось OX, другая – ось OY. Найти уравнения этих плоскостей и вычислить угол между этими плоскостями.

20.4. Составить уравнение плоскости, проходящей через две данные точки M1(2;3;−1) и M2 (1;5;3) перпендикулярно к плоскости 3x − y + 2z +15 = 0 .

20.5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку B(3;4;−2) и отсекающей на оси OX и OZ отрезки, соответственно равные a = 2 , c = 5 .

20.6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки A(1;2;−4), B(−1;3;−2), отсекающей на осях OX и OY равные отрезки.

20.7.Написать уравнение плоскости, параллельной плоскости

x+ y + z −1 = 0 и отстоящей от нее на расстояние 3 .

20.8.Найти уравнение плоскости, проходящей через ось OZ и

составляющей с плоскостью 2x + y − 5z = 0 угол π3 .

20.9.Найти уравнение плоскости, проходящей через ось OX и

составляющей с плоскостью y = x угол ϕ = π3 .

20.10.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку ) и перпендикулярной к двум плоскостямM1(2;−3;5

2x + y −2z +1 = 0 , x + y + z −5 = 0 .

20.11.Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M0 (2;−3;1) параллельно векторам a(−3;2;−1) и b(1;2;3).

20.12.Найти расстояние от точки M(3;2;5) до плоскости,

проходящей через три точки	M1(0;1;−1), M2 (−1;1;3),
M3 (2;3;7).
20.13. Найти уравнение плоскости,	зная, что точка P(1;1;1)

служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.

20.14.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M1(1;1;1), M2 (3;2;1) параллельно вектору a(3;2;1).

20.15.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку ) перпендикулярно к двум плоскостямM1(2;0;3

7x + z −1 = 0 , x = 0 .

20.16. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M(1;1;1) перпендикулярно к двум плоскостям x +3y −z +5 = 0 и z = 0 .

20.17. Составить уравнение плоскости, которая проходит через ось OZ и точку M1(1;2;1).

20.18. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку N(1;2;3) параллельно плоскости XOY.

20.19.	При	каком	значении	параметра	α	плоскости
3x + y +αz −8 = 0			и	2x − y + 2z +5 = 0
перпендикулярны?
20.20.	При	каких	значениях	α и	β	плоскости

x +αy −2z +5 = 0 и βx −6y + 4z +8 = 0 параллельны?

20.21.Найти расстояние между параллельными плоскостями

4x +3y −5z −8 = 0 и 4x +3y −5z +12 = 0 .

20.22.Написать уравнение плоскости, проходящей через ось OX и составляющей угол 60° с плоскостью y = x .

20.23.Найти расстояние точки A(1;2;3) от плоскости, отсекающей на осях координат отрезки a =1 , b = 2 , c = 3 .

20.24.Составить уравнение плоскости, проходящей через

начало координат и перпендикулярной к двум плоскостям

2x − y +5z −3 = 0 , x +3y −z −7 = 0 .

20.25.Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M1(1;1;1) и M2 (0;2;1) параллельно вектору a(2;0;1).

20.26.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки (1;2;0), M2 (2;1;1) и перпендикулярной к плоскостиM1

− x + y −1 = 0 .

20.27. Проверить, можно ли провести плоскость через следующие четыре точки A(3;1;0), B(0;7;2), C(−1;0;−5),

D(4;1;5). В случае утвердительного ответа найти уравнение данной плоскости.

20.28. Найти угол между плоскостью x − y + 2z −5 = 0 и плоскостью YOZ.

20.29. Проверить, можно ли провести плоскость через следующие четыре точки A(1;−1;1), B(0;2;4), C(1;3;3) и

D(4;0;−3). В случае утвердительного ответа найти

уравнение данной плоскости.

20.30. Составить уравнение плоскости, проходящей от начала координат на расстоянии 6 единиц и отсекающей на осях координат отрезки, связанные соотношением a : b : c =1: 3 : 2 .

20.31. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M1(0;1;1) и M2 (2;0;1) перпендикулярно к плоскости

2x − y + z +1 = 0 .

Задача 21

21.1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку

) x −2y + z = 4, A(− 4;3;0 и параллельной прямой 2x + y −z = 0.

21.2.Написать уравнение прямой, проходящей через точку A(−1;3;2) и перпендикулярной к оси OX.

21.3.Написать уравнение прямой, проходящей через точку B(3;0;2) и перпендикулярной к оси OZ.

21.4.Написать уравнение прямой, проходящей через точку C(1;2;4) и перпендикулярной к оси OY.

21.5.Составить уравнение прямой, которая проходит через точку B(3;−2;1) и образует с осями координат углы,

соответственно равные 45°, 120°, 60°.

21.6. Установить, лежат ли три данные точки A(1;2;3),

B(10;8;4), C(3;0;2) на одной прямой.