§3. Определители. Дополнительные миноры и алгебраические дополнения.
Для любой квадратной
матрицы А существует число
илиdet
A,
называемое определителем, характеризующее
эту матрицу.
Опр. Определителем квадратной матрицы п-го порядка называется число, равное сумме п! слагаемых, каждое из которых является произведением п элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы со знаком “+”или “—” .
Так, определителем первого порядка называется само число а11.
Определителем
квадратной матрицы А второго порядка
называется число, определяемое по
формуле:
.
Правило вычисления этого определителя легко запомнить визуально: из произведения элементов главной диагонали вычитается произведение элементов побочной диагонали матрицы.
Определителем квадратной матрицы А третьего порядка называется число, определяемое по формуле:
Это
число представляет собой сумму 3!=6
слагаемых, в которые входят по одному
элементу из каждой строки и столбца.
Запомнить правило вычисления этого
определителя можно, пользуясь схемой,
называемой правилом треугольников или
правилом Сарруса.
Вычисление определителей порядка больше 3 основано на применении свойств определителей.
Опр.
Минором порядка к
матрицы Аm×n
называется
определитель к-го
порядка, полученный из матрицы А
вычеркиванием (т-к)
строк и (п-к)
столбцов (
).
Опр. Дополнительным минором Мij элемента aij квадратной матрицы А п-го порядка называется определитель порядка (п-1), полученный из матрицы А вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент aij.
Опр. Алгебраическим дополнением Aij элемента aij квадратной матрицы А п-го порядка называется число
.
§4. Свойства определителей.
1. При транспонировании величина определителя не меняется.
Следствие. Строки и столбцы в определителе обладают одинаковыми свойствами.
2. Если все элементы строки определителя умножить на одно число, то значение определителя умножится на это число.
Следствие. Постоянный множитель строки можно вынести за знак определителя.
3. При перестановке двух строк определитель меняет знак на противоположный.
Следствие. Определитель, имеющий равные или пропорциональные строки, равен нулю.
4. Если каждый элемент строки определителя представлен в виде суммы, то определитель равен сумме определителей, у которых в данной строке стоят слагаемые.
5. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц.
6. Определитель треугольной (в т.ч. диагональной) матрицы равен произведению элементов главной диагонали.
7. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения (т. Лапласа):
-
разложение по i-й
строке,
-
разложение по j-му
столбцу.
8. Сумма произведений элементов какой-либо строки определителя на алгебраические дополнения элементов другой строки равна нулю.
при
.
9. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной его строки прибавить элементы другой строки, умноженной на одно и то же число.
§5. Обратная матрица.
Вспомним свойство
чисел:
.
Аналог существует для матриц.
Опр. Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю. В противном случае матрица называется вырожденной.
Опр. Матрица А-1 называется обратной к квадратной матрице А, если их произведение равно единичной матрице:
А·А-1=А-1·А=Е.
Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица А-1 существует и единственна тогда и только тогда, когда матрица А невырожденная.
Док-во. Необходимость.
Дано: А-1.
Докажем, что
.
Имеем по определению:
А·А-1=А-1·А=Е.
Тогда
.
Следовательно,
и
.
Достаточность.
Дано:
.
Докажем, что существует А-1.
Построим ее с помощью следующих действий.
1. Транспонируем матрицу А: АТ.
2. Заменим каждый элемент матрицы АТ его алгебраическим дополнением, получим так называемую присоединенную матрицу А*:
3. Разделим все
элементы А*
на
:
.
Покажем, что полученная таким способом матрица является обратной к А.
;
.
.
Таким образом,
матрица С является единичной матрицей,
а значит матрица
- обратная к А, ч.т.д.
Аналогично доказывается, что А-1А=Е.
Единственность.
От противного.
Предположим, что у матрицы А есть две
различные обратные матрицы А-1
и
.
Имеем:А
А-1=Е.
Умножим это равенство слева на
.
А А-1=
Е,
ЕА-1=
,
А-1=А. Получили противоречие, доказывающее теорему.▲
Замечание. Теорема не только решает вопрос о существовании обратной матрицы, но и дает алгоритм ее нахождения:
Найти определитель матрицы, убедиться, что она невырожденная.
Транспонировать матрицу:
.Составить матрицу алгебраических дополнений к АТ(присоединенную матрицу) А* .
Найти обратную матрицу по формуле
.
Существует и другой способ нахождения обратной матрицы, связанный с выполнением над матрицей так называемых элементарных преобразований. К ним относятся:
- умножение любой строки на число, отличное от нуля;
- сложение строк;
- перестановка строк.
Опр. Две матрицы называются эквивалентными, если от одной можно перейти к другой с помощью конечного числа элементарных преобразований.
Любую невырожденную квадратную матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к единичной матрице. Применяя ту же последовательность преобразований к единичной матрице, можно получить обратную матрицу к данной. Обычно элементарные преобразования проводят над данной матрицей и единичной одновременно. Для этого составляют расширенную матрицу, в левой части которой записана данная матрица, а в правой – единичная. С помощью элементарных преобразований в левой части создают единичную матрицу, а в правой автоматически создается обратная матрица.
Пример.
Найти обратную матрицу для матрицы
Решение. Составим расширенную матрицу:
изменим порядок
строк
умножим
первую строку на (-3) и сложим со второй
разделим
вторую строку на 8
у
множим
вторую строку на 2 и сложим с первой
.
.
Обратные матрицы находят применение, например, в решении матричных уравнений.
Пример.
Решить матричное уравнение
,
где А, В, С, Х - квадратные матрицы одинакового порядка, А – невырожденная.
Решение.
;
Умножим это
уравнение слева на А-1:
.
Получим:
;
.