квадратичные формы

7.Провести процесс ортогонализации Грама-Шмидта с заданной системой векторов.

8.Требуется:

а). привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа, выписать соответствующее преобразование координат, а также матрицы квадратичной формы в исходном и в результирующем бизисах, проверить, является ли преобразование координат ортогональным, б). с помощью критерия Сильвестра проверить, является ли квадра-

тичная форма знакоопределенной, в). классифицировать ее с использованием индексов инерции.

9. Для уравнения поверхности второго порядка требуется:

а). выделив квадратичную форму, найти ортогональное преобразование координат, приводящее ее к каноническому виду,

б). используя найденное преобразование и параллельный перенос, привести уравнение поверхности к каноническому виду, записать соответствующее преобразование координат, определить тип поверхности, сделать чертеж в старой системе координат.

Вариант 1.

1. Множество упорядоченных наборов из n вещественных чисел. Сумма (x1; : : : ; xn) + (y1; : : : ; yn) = (x1y1; : : : ; xnyn); произведение на число(x1; : : : ; xn) = ( x1; : : : ; xn):

2.

e1 = 5g1 2g2 g4

8 e2 = 2g1 + g2 + g3

g4

> e3 = 4g1

g2 + 3g3

>

>

> e4 = 6g1 + 2g2

g3 + g4

>

:

>

>

> f = 9g

+ 2g

2

6g

+ 2g

4

>

1 1

3

>

<

f2 = 11g1 + 3g2

6g3 + 2g4

> f3 = 3g1

g2

g4

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:f4 = 10g1 + 4g2 + g3 + 2g4

3.'1(x) = (x2 1; x3; x1); '2(x) = (x2 4x1; x3; x1):

4.'1(2'2(x)):

5.

01

@	6	2	3
	6	3	6	:
	3	6	2A

31

z

:

6. ( 2; 3; 1); 5x + 3y + 2T

= 0

7 3

9 1

T

:

T

u3

=

4 4

3 8 T

; u4

=

7. u1

=

4 1

2 3

; u2

=

10 3

4 5 ;

8.3x21 + 8x1x2 3x22 + 4x23 6x3x4 4x24 + 4x25 + 4x5x6 + x26:

9.3y2 + 3z2 + 4xy + 4y + 4z + 4xz 2yz = 0:

Вариант 2.

1. Множество упорядоченных наборов из n положительных чисел.

Сумма (x1; : : : ; xn)+(y1; : : : ; yn) = (x1y1; : : : ; xnyn); произведение на число

(x1; : : : ; xn) = ( x1 ; : : : ; xn):

2.

e1 = g1 + 3g2 5g3 + g4

8 e2 = g1 + 2g2 2g3

> e3 = g1

g3

4g4

>

>

g4

> e4 = 2g1

g2 + 2g3

>

:

>

>

> f

1

= 4g

1

g

+ 2g

3

3g

>

2

4

>

<

f2 = g1 + g2 + 2g3 + 7g4

> f3 = g1 + 3g2 8g3 g4

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:f4 = 2g2 + 5g3 2g4

3.'1(x) = (x2 x1; 6x3; 3x1); '2(x) = (x2 4x1; x3; x21):

4.'2( '1(x)):

5.								0			5		6	31
								@		1			0	1	:
6. (4; 1; 2); x y											1		2	1A
						z	= 0		:
					2T				=		9 10 8						T
	3	=	2 1 5 5					4
7. u1		=		1 2 1 2		T	; u2		=			4 2		1 3 ;						:
u							; u								10				T

8.x1x2 + 2x1x3 + 3x1x4 + x2x3 + 2x2x4 + x3x4:

9.y2 + 2z2 + 4xy + 4yz 4x 2y 5 = 0:

Вариант 3.

1. Множество сходящихся последовательностей a = fang; b = fbng. Сумма a + b = fan + bng; произведение на число a = f ang:

32

2.

e1 = g1 2g2 + 3g3 5g4

8 e2 = 4g1 + 3g2 g3 + g4

> e3 = 3g1 + g2 + g4

>

>

2g2 + 2g3

4g4

> e4 = 3g1

>

:

>

>

> f

1

= 10g

1

5g

+ 2g

3

4g

4

>

2

>

<

f2 = 5g1

2g2 g3 + 2g4

> f3 = 8g1

7g2 + 6g3

10g4

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:f4 = 3g1 6g2 + 7g3 10g4

3.'1(x) = (x2 x1 + 3x3; 9x3x2; 3x1); '2(x) = (x2 x3; 2x1; 7x2 x1):

4.'2((3'1 '2)(x)):

5.		2	11	:
0 1
@	1	1	0
	0	1	3A

6. (3; 2; 0); x + y			z	= 0	:
			4T		=	8	7 1 6		T	:
7. u3	=	6 1 6 2	T	; u4				T
u1	=	3 3 5 7		; u2	=	4 4 7 8				;

8.3x21 + 8x1x2 3x22 + 4x23 4x3x4 + x24:

9.y2 z2 + 4xy 4xz 2x + 6y + 2z + 8 = 0:

Вариант 4.

1. Множество треугольных матриц размерности n на n. Сумма A+B; произведение на число A:

2.

e1 = 2g1 2g2 + g3 4g4

8 e2 = 2g1 g2 + 2g3 5g4

> e3 = 2g2 + g3 + 2g4

>

>

g2 + g3

3g4

> e4 = g1

>

:

>

>

> f

1

= g

1

+ g

+ g

+ g

4

>

2

3

>

<

f2 = 7g1

8g2 + 2g3

10g4

> f3 = 11g1

9g2 + 4g3

11g4

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:f4 = 3g1 4g2 + g3 6g4

3.'1(x) = (x2 + x1 + 3x3; 9x3 + x2; 3x1);

'2(x) = (x2 x3; 2x1; 7x2 x1 4):

4. 3'2((4'2 5'1)(x)):

33

5.						05	7 31			:
						4	5		2
6.						@6	9		4A
	( 2; 1; 2); x 3y +T3z = 0:							6 5 8 T			T
7. u3		=	8 14 1 3	T	; u4	= 5					:
	u1	=	10 4 5 3		; u2	=	7 2 1 6				;

8.4x21 8x2x3 4x22 + 2x23 5x24 + 6x4x5 + 3x25:

9.x2 + 3y2 + 3z2 + 2xy + 2xz 2yz 4x + 5y + 5z + 13 = 0:

Вариант 5.

1. Множество невырожденных матриц размерности n на n. Сумма A + B; произведение на число A:

2.

	e1 = g1 g2 4g4
8 e2 = g1 + 2g2 + g3 5g4
> e3 = 3g1			g2 + 2g3
>
>						g3 + g4
> e4 = g1 + 2g2
>											:
>
>
> f = 3g		+ 7g			+ 6g		3		10g	4
>	1 1			2
>
<
	f2 = 7g1 5g2 + 8g3 + 6g4
> f3 = 4g1			3g2 + 9g3 + g4
>
>

>

>

>

>

>

>

>

:f4 = 2g1 + 5g2 5g3 5g4

3.'1(x) = ( 4x2+3x1+x3; 9x2+x3; x1); '2(x) = (x2 x3; 2x31; 7x2 x1):

4.'2(('2 '1)(x)) + '1(('1 '2)(x)):

5.					0		1	1
						2		2
						5	3	3	:
6.					@ 1		0	2A
	(1; 2; 3); 4x 3y + zT= 0:					= 7 11 9			T	7 T	:
7. u3		=	8 9 7	4 T	; u4
	u1	=	2 1 1 2		; u2	=	9 7	1 3		;

8.4x21 8x2x3 4x22 + 2x23 5x24 + 6x4x5 + 3x25:

9.x2 + y2 + 5z2 6xy + 2xz 2yz + 2x 6y + 2z = 0:

34

Вариант 6.

1. Множество невырожденных матриц размерности n на n. Сумма AB; произведение на число A.

2.

8

> e1 = g1 + 2g2 + 3g3 + 4g4

>

>

> e2 = 2g1 + 3g2 + g3 + 2g4

>

>

>

> e3 = g1 + g2 + g3 g4

>

>

< e4 = g1 2g3 6g4 :

> f1 = 6g1 + 8g2 + 9g3 + 4g4

>

>

> f2 = 5g1 + 8g2 + 8g3 + 9g4

>

>

>

> f3 = 6g1 + 9g2 + 6g3 + 7g4

>

>

:f4 = 9g1 + 10g2 7g4

3.'1(x) = ( 4x2 + 3x1 + x3; 9x2 + x3; x1); '2(x) = ( 2x2 x1; 2x3 x2; 7x2 7x1):

4.('2 '1)(x) + '1(('1 + '2)(x)):

5.												010		19		101	:
												7		12		6
			2									@12		24		13A
		;		;	3);	x	y + 4z = 0:
6. ( 5							+ 3			T		4 =					4			T
	3	=	7 0 10 7
7. u1		=	7		6 4 3				T		; u2 =		1 8 3 4 ;
u										; u			5		6	7			T	:

8.4x21 4x1x2 + x22 + x23 4x24 + 12x4x5:

9.2x2 + 5y2 + 11z2 20xy + 16yz + 4xz 24x 6y 6z 18 = 0:

Вариант 7.

1. Множество матриц размерности n на n с положительными элементами. Сумма AB; произведение матрицы A = (aij) на число есть (aij).

2.

8 e2

= g1

+ g2

+ g3

g4

e1

= g1

+ 3g2

+ g3

2g4

> e3 = 3g1 + 4g2

g3

2g4

>

>

3g4

> e4 = g1 + 2g2

3g3

>

:

>

>

> f

1

= g

+ 3g

+ 2g

4

>

1

3

>

<

> f3 = 5g1 + 4g2 + 5g3 + 2g4

>

f2 = 3g2 2g4

>

> f

4

= g

+ 9g

+ 3g

4

>

1

3

>

>

>

>

>

:

35

3. '1(x) = (7x2 + 2x1 + 4x3; 9x1 + x3; 2x3); '2(x) = ( 2x2 x1x2x3; 2x3 x2; 7x2 7x1):

4. (2'2 3'1)(x) + '2(('1 + '2)(x)):
5.	8	17	41	:
0
	17	8	4
@			A

44 11

6.(1; 1; 1); 4x + 2y z = 0:

u1 =	7 3 5 7						T ; u2	=	4 2 7 9		T ;
7. u3 =	1 5	6		4		T	; u4 =	2		8 8 9 T	:

8.x21 2x1x2 + 3x22 + x23 x24 4x1x3 + 2x3x4:

9.x2 + y2 + z2 + 2xy 2yz 2xz 2x = 0:

Вариант 8.

1. Множество многочленов степени, превосходящей 3, от переменной

x. Сумма f(x)g(x); произведение на число f(x) .

2.

= g1

+ 3g2 + g3

8 e2

e1

= 3g1

4g2

g4

> e3 = 6g1 + 10g2 + g3 + 2g4

>

>

g2

g3 + g4

> e4 = g1

>

:

>

>

> f

1

= 8g

1

9g

2

+ g

3

4g

>

4

>

<

>

>

>

> f2 = 2g1 + 4g2 + g3 + g4

>

>

>

> f3 = 7g1 + 11g2 + g3 + 3g4

>

>

:f4 = 10g1 11g2 + g3 6g4

3.'1(x) = (7x1 + 2x2 8x3; 9x2 + 2x3; 2x3 x1);

'2(x) = ( 2 sin(x2) x3; 2x3 x2; 7x2 7x1): 4. (2'22 3'21)(x):

5.

					00	1	11		:
					1	1	0
6. (4; 2; 1); x y +Tz = 0:					@0	0 1A
					=	11		7		T	3 T	:
7. u3	=	7 3 10	2	T ; u4						1
u1	=	7 2 1 2		; u2 =	10 5 3 2						;

36

8.9x21 + 8x2x3 + 5x22 + 5x23 + 8x24 4x2x4 + 4x3x4:

9.x2 + 2y2 3z2 + 12xy 4yz 8xz + 14x + 16y 12z + 33 = 0:

Вариант 9.

1. Множество отрицательных чисел. Сумма jajjbj; произведение на число jaj .

2.

e1 = g1 + g3 2g4

8 e2 = 2g1 + g2 + g4

g4

> e3 = g1

2g2 + g3

>

>

g3 + g4

> e4 = g2

>

:

>

>

> f

1

=

g

+ 4g

2

g

4

>

1

>

<

f2 = g1 g2 2g3 + 3g4

> f3 = 4g1 + 6g2 + 5g3 6g4

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:f4 = 2g1 + g2 + 4g3 5g4

3.'1(x) = (7x1 + 2ex2 8x3; 9x2 + 2x3; 2x3 x1);

'2(x) = ( 2x2 + x3; 2x3 + x2; 7x2 7x1):

4. (2'2 + 6'21)(x):

5.

01

4

4

2

2

2

1

:

6. (1; 1; 3); x + 3y +

@ 4

4

2A

z

= 0

:

T

= 8 9 9

T

T

:

7. u3

= 3

9 1 3

T

; u4

8

u1

=

4 3 5 0

; u2

=

7 4 8 1

;

8.8x1x2 + 2x1x4 + 2x2x4 + 8x3x4:

9.3x2 2y2 z2 + 4xy 12yz + 8xz + 18x 12y 6z = 0:

Вариант 10.

1. Множество целых чисел. Сумма a + b; произведение на число целая часть a.

37

2.

8 e2

= 2g1

+ g2

+ 3g3

+ 2g4

e1

= g1

+ 3g2

+ 2g3

g4

> e3 = 2g1 g3

3g4

>

>

> e4 = 4g1 + g2 + g3 + 5g4

>

:

>

>

> f = g

1

4g

2

4g

+ 2g

4

> 1

3

>

<

>

>

>

> f2 = 5g1 6g2 + 5g3 3g4

>

>

>

> f3 = 8g1 + 11g2 + 2g3 + 3g4

>

>

:f4 = 5g1 9g2 4g3

3.'1(x) = (7x1 + 2x2 + 6x3; 9x1 + 3x3; 2x3 x1); '2(x) = ( 2x2 + x3; 2x3 + x2; 7x2 7ex1 ):

4.(2'32 + 6'1)(x):

5.												3		0	0
												01		2	11:
6.												@1		1	2	A
		;		;			x		y		2z = 0:
	( 1 3				3); 2				3	T			2 7			8 9		T	T
7. u3		=	3				1 5				T ; u4 =								:
	u1	=				5 3		5 1				; u2 =		4 7 5 6					;

8.x21 + 2x1x2 + x22 2x23 4x3x4 2x24:

9.4x2 + 2y2 + 3z2 + 4xz 4yz 10x + 4y + 6 = 0:

Вариант 11.

1. Множество векторов трехмерного пространства, координаты кото-

рых целые числа. Сумма a + b; произведение на число a: 2.

8

> e1 = g1 3g2 3g3 4g4

>

>

> e2 = g1 + g2 g3 + g4

>

>

>

> e3 = g1 5g2 + 4g3 3g4

>

>

< e4 = 3g1 + g2 + 2g3 + 2g4 : > f1 = g1 + 11g2 5g3 + 7g4

>

>

> f2 = 2g2 + 3g3 + 4g4

>

>

>

> f3 = 2g1 8g2 4g3 9g4

>

>

:f4 = 5g1 + 7g2 + 10g3 + 10g4

3.'1(x) = ( x1 x2 x3; 19 cos(x1) + 3x3; 2x3 x1); '2(x) = ( 2x2 + x3; 2x3 + 3x2; 11x2 + 66x1):

38

4. (2'2 + 6'1)('1(x)):
5.
5	0	0
01	4	11		:
@1	1	4	A

;

1

;

2); 4

x

y

2z = 0:

6. (1

+

T

4 =

7

9 60

T

3

=

3 4 2 1

7. u1

=

1 1 4

2

; u2

=

1 3

9 5 ;

:

u

T

; u

112

T

8.3x21 + 8x1x2 3x22 + 4x23 6x3x4 + x24 4x25:

9.4x2 + y2 + 4z2 + 8xz 4xy 4yz 12x 12y + 6z = 0:

Вариант 12.

1. Множество векторов трехмерного пространства, каждый из кото-

рых коллинеарен одной из осей. Сумма a + b; произведение на число

a:

2.

e1 = g1

5g2

g3 2g4

8 e2 = 4g1

3g2 + 6g3 + g4

> e3 = 3g1

6g2 + g3

2g4

>

>

> e4 = g1 + 2g2 + 3g3 + g4

>

:

>

>

> f

1

= g + 5g

+ g

+ g

4

>

1

2

3

>

<

f2 = 4g1 g2

4g3 + 2g4

> f3 =

2g1 + 4g2 + 3g4

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:f4 = g1 + 3g2 + g3

3.'1(x) = ( ln(x1) x2 x3; 19x1 + 33x3; x3 x1); '2(x) = (x2 + x3; x3 + x2; x2 + x1):

4.( '2 + 3'1)(2'1(x)):

5.	5	21		:
02
6	1	1	A
@1	1	4

6.

(

2; 1;

2); 3x + y

3z = 0:

u3

= 1

T

6 8 2 9

T

:

11 6 4 T ; u4 =

T

7. u1

=

3 8 7 1

; u2 =

7 8 5 3

;

8.

1

x

2

2

x

3

3

x

4

1

4

:

x

+ x

+ x

+ x

x

39

9. 7x2 + 6y2 + 5z2 4xy 4yz 6x 24y + 18z + 30 = 0:

Вариант 13.

1. Множество векторов на плоскости, каждый из которых коллинеарен одной из осей. Сумма a + b; произведение на число a:

2.

8

> e1 = 2g1 + g2 + 3g3 + g4

>

>

> e2 = g1 + 3g2 2g3 + 2g4

>

>

>

> e3 = 3g1 + 5g2 + g3 + 4g4

>

>

< e4 = g1 + 2g2 + 4g3 3g4 :

> f1 = 5g1 + 11g2 + 8g3 6g4

>

>

> f2 = g1 + 6g2 3g3 g4

>

>

>

> f3 = 5g1 + g2 12g3 6g4

>

>

:f4 = 2g1 + 3g2 10g3 + g4

3.'1(x) = ( ln jx1j + x2 x3; 19x1 + 33x3; x3 x1); '2(x) = (x2 + x3; x23 + x2; x2 + x1):

4.( 2'2 + 4'1)(2'2(x)):

5.										0		7		4	21
										@		2		5	2	:
6.	(3; 1; 1); x y z = 0T:											0		0	9 A
											4 =							T
		3	=		7 4 3 8								=
7. u1			=		2 3	4 5				; u2				5 1 7 8 ;
	u							T	; u				13 1		1	12	T	:

8.2x1x2 6x2x3 6x3x4 + 2x1x4:

9.6x2 2y2 + 6z2 + 4xz + 8x 4y 8z + 1 = 0:

Вариант 14.

1. Множество векторов трехмерного пространства, являющихся линейными комбинациями трех фиксированных векторов. Сумма a+b; произведение на число a:

40