квадратичные формы

2.

e1 = g2 + g3 g4

8 e2 = g1

2g2 + 2g3 + g4

> e3 = g1

g2 + 2g3 + 3g4

>

>

2g3

2g4

> e4 = g1

>

:

>

>

> f = 2g

1

5g

+ 7g

3

6g

4

>

1

2

>

<

f2 = 2g1 + 3g2 4g3 g4

> f3 = 5g1

6g2 + 6g3 + 12g4

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:f4 = 2g1 + 5g2 6g3 + 4g4

3.'1(x) = ( x2 x3; x1 x3; x3 x1); '2(x) = (3x2 + 4x3; 5x3 +

6x2; 7x2 + 8x1):
4. ('22 + '1)('2(x)):
5.									01	2	1	1	:
									4	3	3	A
									@1	1	2
;		;	x		y		z = 0:
6. (1 3			1); 5		2 + 2			T									T
u3	=		2 4 4 5				; u4 =
7. u1	=		1 5 2 1						; u2 = 3 7 2 3 ;
						T				10	7 9	12		T	:

8.x21 5x22 + 2x1x2 4x3x4 + 2x1x4:

9.x2 2y2 + z2 + 4xy 8xz 4yz 14x 4y + 14z + 16 = 0:

Вариант 15.

1. Множество четных функций, определенных на [ 1; 1]: Сумма f(x)+ g(x); произведение на число f(x):

2.

	e1 = g1 + 2g2 g3 + 2g4
8 e2 = 4g1 g2 + g4
> e3 = 2g2 + 2g3									g4
>
>
> e4 = g1							5g2 + 3g3 + g4
>											:
>
>
> f		1	=		2g		+ 5g		2g	3
>						1	2
>
<
	f2 = g1 8g2 + 3g3 g4
> f3 = 7g1 + 2g2 + g3 g4
>
>

>

>

>

>

>

>

>

:f4 = 3g1 2g2 g3 + 4g4

3.'1(x) = ( x2 x3; 0; x3 x1); '2(x) = (3x2x3; 5x3 + 6x2; 7x2 + 8x1):

4.('2 + '21)('2(x)):

41

5.

04

1 41:

7

6

6

6.

1

3);

3

@4

2

5A

(4

;

;

x

y + 2z = 0:

T

; u4

= 3 1

9 7

T

T

7. u3

= 4 8 3 4 T

:

u1

=

1 3 2 4

; u2

=

3 5 4 10

;

8.2x21 + 2x22 + 2x23 + 2x24 4x1x2 4x3x4 + 2x1x4:

9.4x2 + 5y2 + 6z2 4xy + 4yz + 4x + 6y + 4z 27 = 0:

Вариант 16.

1. Множество четных функций, определенных на [ 1; 1]: Сумма f(x)g(x); произведение на число f(x).

2.

e1 = 2g1 + g3 + 2g4

8 e2 = 3g1 + g2 + g3

g4

> e3 =

4g1 + 2g2 + g3

2g4

>

>

g4

> e4 = 5g1 + 2g2 + 2g3

>

:

>

>

> f

1

= 10g

+ 7g + 2g

3

8g

4

>

1

2

>

<

f2 = g1 + g2 + g3 + g4

9g4

> f3 = 11g1 + 11g2 + 4g3

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:f4 = 6g1 + 3g2 + g3 4g4

3.'1(x) = ( x2 x3; x1x2x3; x3 x1); '2(x) = (3x2 +11x3; 5x3 +6x2; 0):

4.('2 + '1)('22(x)):

5.								02	3	21	:
								7	6	6
6.								@2	2	3A
	( 5; 3; 2); 2x T					3y z = 0:				10 10		T	9 T	:
	u3	=	5	1	5	2	T	; u4 =	8
7. u1		=	1 2 2 1			; u2		= 1 2 3 4					;

8.8x1x2 + 2x3x4 + 2x1x4 + 8x2x4:

9.7y2 7z2 8xy + 8xz + 8x + 14y 28z 21 = 0:

42

Вариант 17.

1. Множество нечетных функций, определенных на [ 1; 1]: Сумма f(x) + g(x); произведение на число f(x):

2.

8

> e1 = g1 g2 + g3 + 2g4

>

>

> e2 = 3g1 + 2g2 g4

>

>

>

> e3 = g1 + g2 5g3 + 2g4

>

>

< e4 = g1 4g3 g4 :

> f1 = 3g1 + 6g2 10g3 + 7g4

>

>

> f2 = 4g1 + 9g2 + g3 3g4

>

>

>

> f3 = 2g1 5g2 5g3 + 5g4

>

>

:f4 = 7g1 + 8g2 + 6g3 5g4

3.'1(x) = (x1 + 1; x2 + 1; x3 + 1); '2(x) = (0; 5x3 + 77x2; 0):

4.'1('22(x)):

5.								0	13	2	2	1
								@				A
									6	9	6			:
6.									2	2	5
	( 1; 3; 4); 5x +T				2y 3z = 0:								T		T	:
7. u3		=		2 6 1	6		T2	; u4 =		6 1 7			8
	u1	=	7 5 3 3		; u =				8 7 4 4					;

8.8x21 x1x2 + 2x23 + 2x1x4 + 8x2x4:

9.(x + 1)(y + 1)(z + 1) xyz = 0:

Вариант 18.

1. Множество нечетных функций, определенных на [ 1; 1]: Сумма f(x)g(x); произведение на число f(x).

2.

8

> e1 = 6g1 2g2 + g4

>

>

> e2 = g1 + g2 + g3 + g4

>

>

>

> e3 = 2g1 + g2 + 3g3 + 2g4

>

>

< e4 = 4g1 + 3g2 + 2g3 + g4 : > f1 = 7g1 + 10g3 + 9g4

>

>

> f2 = 7g1 + 6g2 + 9g3 + 6g4

>

>

>

> f3 = 9g1 + 8g2 + 8g3 + 5g4

>

>

: f4 = 4g1 + 9g2 + 8g3 + 6g4

43

3.'1(x) = (x1 x2 + x3; x1 + x2; x3); '2(x) = (0; 5x3 + 77x2 5; 0):

4.3'1( 2'22(x)):

5.												0 2		4	11		:
												5		1	1	A
6.			3									@ 2		1	6
	;				;	1);	x		y	z = 0:
	(4							+ 2		+ 3	T	; u4	=		5 8		6	T	T	:
7. u3		=		1 3					14 8		T							5
	u1		=			5 3 4 10						; u2	=	1 6 2 7					;

8.3x21 + 6x1x2 + 2x23 + 2x1x4 4x2x4:

9.x2 + y2 + z2 + 4xy + 4xz + 4yz + 10x + 10y + 10z + 15 = 0:

Вариант 19.

1. Множество дифференцируемых функций, определенных на [ 1; 1]: Сумма f(x) + g(x); произведение на число f(x):

2.

8

> e1 = 4g1 + 2g2 + 2g3 + 3g4

>

>

> e2 = g1 g3 3g4

>

>

>

> e3 = g1 g2 3g3 4g4

>

>

< e4 = 5g1 + 3g2 + 2g3 + g4 : > f1 = 10g1 + 7g2 + 6g3 + 3g4

>

>

> f2 = 10g1 + 6g2 + 7g3 + 8g4

>

>

>

> f3 = 2g1 g2 + 2g3 + 5g4

>

>

:f4 = 4g1 + 2g2 + 5g3 + 10g4

3.'1(x) = (2x1 4x2 + 6x3; 8x1 + 10x2; 12x3); '2(x) = (ex1x2x3 ; 5x3 + 77x2; 0):

4.3'2( 2'21(x)):

5.	1	21	:
02
5	4	4
@2	0	3A

6.	(2; 1; 2); 3x + 5y =T				0:		9 11 7 7	T		T
	u3	=	7 9 4 8 T		; u4 =				:		;
7. u1		=	1 1 2 2		; u2	=	1 7 3 9
8. 4x2 8x1x3				+ x3 + 2x1x4		4x2x4 x4:
		2		2			2

44

9. y2 + 2z2 + 4xy + 4yz 4x 2y 5 = 0:

Вариант 20.

1. Множество дифференцируемых функций, определенных на [ 1; 1]: Сумма f(x)g(x); произведение на число f(x).

2.

	e1 = 10g1 6g2 + 2g3 + g4
8 e2 = 4g1 + 3g2 g3
> e3 = 3g1							g2 + g4
>
>										g4
> e4 = g1					g2 + g3
>											:
>
>
> f = 4g				1			2g	+ g + g			4
>	1						2			3
>
<
	f2 = 9g1 + 8g2 4g3 + g4
> f3 = 11g1 + 10g2										6g3 + g4
>
>
>

>

>

>

>

>

>

:f4 = 11g1 7g2 + 3g3 + g4

3.'1(x) = (12x1 10x2 + 8x3; 6x1 + 4x2; 2x3); '2(x) = (ex1 ; ex2 ; ex3 ):

4.3'32(x):

5.						02	1 21		:
						3	2	2
6.						@2 2 3A
	(3; 1; 2); x 2y 2zT= 0:											T
	u3	=	0 10 7 7			; u4 =							;
7. u1		=	6 4	3 7	T	; u2 = 8 3 4 1
							6 7	4		5	T	:

8.x22 8x2x3 + 2x23 2x1x4 + x2x4 + 6x24:

9.36x2 + 9y2 + 4z2 + 36xy + 24xz + 12yz 49 = 0:

Вариант 21.

1. Множество дифференцируемых функций, определенных на [ 1; 1]: Сумма f(x)g(x); произведение на число f(x) .

45

2.

	e1 = 2g1 g2 3g3 3g4
8 e2 = 4g1 + 3g2 2g3 g4
> e3 = g1					g2			g3 + g4
>
>									2g3 + g4
> e4 = 3g1 + g2
>										:
>
>
> f		1	= 3g	1		2g	3
>
>
<
	f2 = g2 + 2g3 + 3g4
> f3 = g2 + 3g3 + 9g4
>
>

>

>

>

>

>

>

>

:f4 = 4g1 + 5g2 + 2g3 + 5g4

3.'1(x) = (2x1 110x2 + x3; 4x1 + 6x2; 5x3); '2(x) = (10x1 ; 2x2 ; 4x3 ):

4.(5'22 '1)(x):

5.												0		2	1
												11			4
												15		0	10	:
		1										@ 3		1	3 A
;				;		x		y		z = 0:
6. (1					0); 3						T			3 0 1 9 T			T
7. u3	=		1			4 2 3 T ; u4 =							=				:
u1		=		2 1 4 1								; u2		5 3 9 1			;

8.2x22 x2x3 + 4x23 + x1x4 + x2x4 6x24:

9.5x2 + 6y2 + 7z2 4xy + 4yz 10x + 8y + 14z = 6:

Вариант 22.

1. Множество нечетных функций, определенных на [ 1; 1]: Сумма f(x) + g(x); произведение на число f(x) :

2.

e1 = 5g1 + g2 + g3 + 3g4

8 e2 =

2g1

g3 + 2g4

> e3 =

g1

4g2 + g3

>

>

g4

> e4 = 2g1

g2 + 2g3

>

:

>

>

> f

1

=

8g

1

g

2

g

+ 3g

>

3

4

>

<

f2 = 2g1 3g2 + 4g3 g4

> f3 = 5g1

2g2

2g4

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:f4 = 2g1 + 7g2 g3 + g4

3.'1(x) = (x1 + 110x2 x3; 4x1 + x2; 5x3); '2(x) = (sin(x1); sin(x2); x3):

46

4. (5'21 '2)(x):

5.

				0	2	4		4	1
				@	1	2		2	A	:
					2	4		4
6. ( 3; 1; 2); 3x 4Ty 2z = 0:										T	T	:
7. u3	=	1 5 3	3 T ; u4 =		7 8 9				2
u1	=	3 5 1 5		; u2	=	7 5		6 4			;

8.2x22 x1x3 + x23 + x1x4 + 4x2x4 6x24:

9.x2 + y2 + z2 + 4(xy + xz + yz) + 10(x + y + z) + 15 = 0:

Вариант 23.

1. Множество векторов трехмерного пространства, координаты кото-

рых рациональные числа. Сумма a + b; произведение на число a: 2.

e1 = g1

g2 + g3

g4

8 e2 = 3g2 + g3 + g4

> e3 = g1

4g2

3g3

>

>

> e4 = 2g1 + 10g2 + 6g3 + g4

>

:

>

>

> f

1

= 6g

1

11g

2

10g

+ g

4

>

3

>

<

f2 = g + 4g2 + 2g3 + g4

> f3 =

14g1

9g2

8g3 + g4

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:f4 = 3g1 + 11g2 + 7g3 + g4

3.'1(x) = (2x1 13x2 + x3; 7x1 + x2; x1); '2(x) = (10x1 ; x2; cos(x3)):

4.(3'21( '2))(x):

5.							0		2		6	1
							8
							28		7		21				:
6.							@ 20		5 15A
	(3; 9; 2); 5x + 2yT 2z = 0:							9 8 8						T	9	T	:
	u3	=	9 3 3	1		T	; u4 =
7. u1		=	3 4 0 5			; u2 = 4			7	1 8					;

8.x21 x1x2 + x23 + 6x1x4 + 4x2x4 6x24:

9.17x2 + 14y2 + 14z2 4xy 4xz 8yz 8 = 0:

47

Вариант 24.

1.Множество многочленов степени, превосходящей 0, от переменной

x:Сумма f(x) + g(x); произведение на число f(x).

2.

	e1 = 3g1 + 4g2 3g3 + g4
8 e2 = g1 3g2 + 5g3 + g4
> e3 = g2 + 2g3 + g4
>
>						2g3
> e4 = g1 + 2g2
>										:
>
>
> f = 3g				+ 3g			+ 2g		4
>	1		2		3
>
<
	f2 = 4g1 + 2g2 + 5g3 + 4g4
> f3 = 9g1 + 11g2								6g3 + 4g4
>
>
>

>

>

>

>

>

>

:f4 = 5g1 8g2 + 5g3 g4

3.'1(x) = (2x1 x3; x1 + 88x2; 5x1);

4.	'2(x) = (x1; x1; 4x3 ):
	('23(2'1))(x):
5.										0			7	3	21
										@		1		12	3	:
6.	(3; 1; 0); x 2y = 0:T												1	8	2A
											4	=								T
		3	=	3 2 7 10
7. u1			=	2 1	7		1	T		; u2			=	5 2 10 3 ;
	u								; u					7 3	11	1	T	:

8.x21 x1x2 + 6x22 6x1x4 + 4x2x4 6x24:

9.2x2 7y2 4z2 + 4xy 16xz + 20yz + 60x 12y + 12z = 0:

Вариант 25.

1. Множество векторов трехмерного пространства, являющихся линейными комбинациями трех фиксированных векторов. Сумма a b; произведение на число a:

48

2.

8

> e1 = 2g1 3g2 + g4

>

>

> e2 = g1 3g3 + 2g4

>

>

>

> e3 = g1 2g2 g3 + g4

>

>

< e4 = g2 2g3 :

> f1 = 8g1 8g2 10g3 + 9g4

>

>

> f2 = 5g2 6g2 9g3 + 6g4

>

>

>

> f3 = 9g2 4g2 + 7g3 + 7g4

>

>

:f4 = 8g1 9g2 + 6g4

3.'1(x) = (22x1 10x2 x3; 4x1 + 7x2; 5x2); '2(x) = (cos(x2); 2x2 ; 4x3 ):

4.(5'22('1))(x):

5.															0			8	5	1
																7				A
																4		1	2		:
6.	;		1		;	2);	x		2	z		0:			@ 8 16 7
	(0										=		T		=	8	2		8 9		T	T
7. u3		=		5 1					6 4			T ; u4										:
	u1		=		3			7 5 7						; u2		= 2 4 7 9						;

8.x21 8x1x2 + 6x23 + 4x1x4 + 2x2x4 6x24:

9.4x2 + 4y2 8z2 10xy + 4xz + 4yz 16x 16y 8z + 72 = 0:

49

	ОГЛАВЛЕНИЕ
1.	Билинейные формы ........................................................................	3
2.	Квадратичные формы ....................................................................	7
3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом
Лагранжа...................................................................................................		9
4. Закон инерции квадратичных форм .............................................		13
5. Классификация квадратичных форм ...........................................		15
6. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом
Якоби ........................................................................................................		17
7. Квадратичные формы в эвклидовом пространстве ......................		23
Список литературы ............................................................................		29
Приложение. Расчетное задание .......................................................		30

50