Басов4
.pdfВ. В. Басов |
Курс лекций по ОДУ |
Г Л А В А IV
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
§ 1. СУЩЕСТВОВАНИЕ, ЕДИНСТВЕННОСТЬ И ПРОДОЛЖИМОСТЬ РЕШЕНИЙ, ЗАДАЧА КОШИ
10: Объект изучения.
В этой главе будут исследоваться линейное дифференциальное уравнения порядка n (n 2); разрешенное относительно старшей производной
y(n) + p1(x)y(n 1) + : : : + pn 1(x)y0 + pn(x)y = q(x); |
(4:1) |
в котором функции pj(x); q(x) (j = 1; n) определены и непрерывны на некотором интервале (a; b) и, если не оговорено противное, принимают на нем вещественные значения.
Если n = 1; то получаем линейное уравнение первого порядка y0 + p1(x)y = q(x); общее решение которого найдено в § 5 главы II.
Df. Уравнение (4:1) называется однородным (ЛОУ), если функ-
(a;b)
ция q(x) 0; противном случае уравнение (4:1) неоднородное (ЛНУ), при этом функция q(x) называется неоднородностью.
Очевидно, что любое ЛОУ имеет тривиальное решение y(x) 0: ЛНУ (4:1); очевидно, является частным случаем обыкновенного дифференциального уравнения порядка n; разрешенного относи-
тельно старшей производной, (3:2) y(n) = f(x; y; y0; : : : ; y(n 1)):
К сожалению для линейных уравнений высокого порядка нельзя применять векторную запись. Именно поэтому многие формулы и доказательства будут более громоздкими по сравнению с аналогами, которые будут получены для линейных систем, хотя уравнения и являются их частным случаем.
1
20: Применение к ЛНУ фундаментальных теорем.
Стандартная замена (3.3) y = y1; y0 = y2; : : : ; y(n 1) = yn сводит ЛНУ к частному случаю нормальной системы (3.4), а именно: линейной неоднородной системе (ЛНС) порядка n
y0 |
= |
y |
; : : : y0 |
= |
y |
; y0 |
p |
x y |
|
: : : |
|
p |
x y |
n + |
q x |
: : |
1 |
2 |
n 1 |
n |
n |
= |
n( ) 1 |
|
|
1( ) |
( ) |
(4 2) |
Как уже отмечалось, система (4.2) эквивалентна уравнению (4.1) в следующем смысле: если ('1(x); : : : ; 'n(x)) является решением системы (4.2), то функция y = '1(x) это решение уравнения (4.1). И, наоборот, если y = '(x) является решением уравнения (4.1), то вектор ('(x); ' 0(x); : : : ; '(n 1)(x)) это решение системы (4.2).
Если записать ЛНС (4.2) в векторном виде y0 |
= P (x)y + q0(x); то |
||||||||||||
y1 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
|
|
0 |
: : : |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 y2 |
0 |
|
0 |
|
|
1 |
: : : |
0 |
0 ... |
||||
y = B ..... |
C; P = B |
0... |
|
0... |
|
|
0... |
:.:..: |
1... |
C; q0 |
= B0... |
C: |
|
B . |
C |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
B C |
|
B |
C |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
B C |
|
Byn C |
B |
pn |
|
pn |
1 |
|
pn |
2 : : : |
p1 |
C |
Bq |
C |
|
@ A |
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
@ A |
Если вспомнить, как ставится задача Коши для произвольной линейной системы (3.14) и вернуться к уравнению (4.1) при помощи стандартной замены (3.3), получим постановку задачи Коши для
уравнения: надо найти такое решение y = '(x); что '(x0) = y00; '0(x0) = y10; : : : ; '(n 1)(x0) = yn0 1; где x0 2 (a; b); y00; : : : ; yn0 1 2 R1:
Теорема (о существовании, единственности и продолжимости решений линейных уравнений). Для любого x0 2 (a; b) и любых y00; : : : ; yn0 1 2 R1 существует и единственно решение задачи Коши линейного уравнения (4.1) с начальными данными x0; y00; : : : ; yn0 1; продолжимое на весь интервал (a; b):
Д о к а з а т е л ь с т в о . По теореме о существовании и единственности решений линейных систем решение задачи Коши уравнения (4.1), равносильного линейной системе (4.2), существует на отрезке Пеано и единственно. По теореме о продолжимости решений линейных систем это решение продолжимо на (a; b):
2
В. В. Басов Курс лекций по ОДУ
30: Комплексные линейные уравнения.
Если в линейном уравнении (4.1) p1(x); : : : ; pn(x) и q(x) – комплекснозначные функции вещественного аргумента x; то решение уравнения (4.1) y = y(x) также будет иметь комплексные значения.
Возникает естественный вопрос о существовании, единственности и продолжимости такого решения.
Пусть y = u(x) + iv(x); pj = rj(x) + isj(x); q = g(x) + ih(x):
По определению решения, подставляя y(x) в уравнение (4.1), получаем тождество на интервале (a; b)
u(n) +iv(n) +(r1 +is1)(u(n 1) +iv(n 1))+: : :+(rn +isn)(u+iv) g +ih:
Выделяя вещественную и мнимую части в этом тождестве, получаем систему из двух линейных уравнений порядка n с вещественными коэффициентами
u(n) + r1u(n 1) v(n) + s1u(n 1)
s1v(n 1) + : : : + rnu snv = g;
+r1v(n 1) + : : : + snu + rnv = h:
Сделав двойную стандартную замену вида (3.3)
u = u1; u0 = u2; : : : ; u(n 1) = un; v = v1; v0 = v2; : : : ; v(n 1) = vn;
установим, что функции u1(x); : : : ; un(x); v1(x); : : : ; vn(x) удовлетворяют вещественной линейной системе порядка 2n с непрерывными на (a; b) коэффициентами, к которой можно применить теоремы
осуществовании и единственности и продолжимости решений. Таким образом доказано, что решение линейного уравнения (4.1)
с комплексными коэффициентами существует, единственно и продолжимо на весь интервал существования самого уравнения (4.1).
3
§ 2. ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ (ЛОУ)
10: Линейность пространства решений.
В этом параграфе будут изучаться вещественные ЛОУ
y(n) + p1(x)y(n 1) + : : : + pn 1(x)y0 + pn(x)y = 0 или Ly = 0: (4:3)
все решения которых, как было установлено, определены на (a; b): Пусть Ly = y(n) +p1(x)y(n 1) +: : :+pn 1(x)y0+pn(x)y – это линейный дифференциальный оператор. Он действует на пространстве n раз непрерывно дифференцируемых функций, т. е. на пространстве функций y(x) 2 Cn((a; b)); и линеен в силу линейности операции
дифференцирования, т. е. L( 1y1 + 2y2) = 1Ly1 + 2Ly2: Следовательно, ЛОУ (4.3) при желании можно записать в виде
Ly = 0; и его решения образуют линейное пространство. Действительно, если '1(x); '2(x) – это решения ЛОУ (4.3), то
для 8 1; 2 2 R1 линейная комбинация 1'1(x) + 2'2(x) также является решением.
20: Линейная зависимость и независимость решений, определитель Вронского.
Хорошо известно, что n функций 1(x); : : : ; n(x); определенных на интервале (a; b); называются линейно независимыми на (a; b); если существует такой постоянный вектор = ( 1; : : : ; n) 6= 0; что
(a;b) |
|
1 1(x) + : : : + n n(x) 0: |
(4:4) |
А функции, не являющиеся линейно зависимыми на (a; b); называются линейно независимыми. Тем самым, функции 1(x); : : : ; n(x) линейно независимы на (a; b); если тождество (4.4) выполняется только при = 0:
Пусть 1(x); : : : ; n(x) 2 Cn 1((a; b)): Составим матрицу (x) :
(x) = 0 |
10 |
(x) |
: : : |
n0 |
(x) |
1: |
||
|
1 |
(x) |
: : : |
n(x) |
|
|||
B |
(n ...1) |
|
: : : |
(n ...1) |
|
C |
||
B |
1 |
|
(x) : : : |
n |
|
(x) C |
||
@ |
|
|
|
|
|
|
|
A |
Df. Функция W (x) = det (x) называется определителем Вронского (ОВ), построенном на системе функций 1(x); : : : ; n(x):
4
В. В. Басов Курс лекций по ОДУ
Лемма (о связи между линейной зависимостью функций и ОВ).
Если n 1 |
раз непрерывно дифференцируемые на (a; b) функции |
|
(a;b) |
1(x); : : : ; |
n(x) линейно зависимы на (a; b); то ОВ W (x) 0: |
До к а з а т е л ь с т в о . Пусть существует такой вектор
= ( 1; : : : ; n) 6= 0; что справедливо тождество (4.4).
Дифференцируя его |
n 1 раз, получаем линейную однородную |
||||||||||||
|
|
|
< |
1(x) + : : : + n n(x) = 0 |
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
(x) + : : : + n |
n |
|
(x) = 0 |
|||
алгебраическую систему |
8 |
...1 |
|
(n |
1) |
|
(n |
1) |
|
или |
|||
(x) = 0; |
имеющую |
для |
8 |
x |
2 |
(a; b) нетривиальное решение : |
|||||||
|
|
: |
|
|
|
|
(a;b) |
|
|
|
|||
Следовательно определитель этой системы W (x) |
0: |
|
|||||||||||
Обратное утверждение неверно. |
0 (x 0) |
|
x3 |
(x 0) |
|||||||||
Пусть, например, n = 2; |
|
|
1 |
= |
|
x3 (x 0) ; |
2 = |
|
0 |
(x 0) : |
|||
|
1(x) |
|
2(x) |
|
(a;b) |
|
|
|
|
|
|
||
Тогда W (x) = 10 (x) |
|
20 (x) |
|
0; так как один из столбцов опре- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
делителя всегда равен нулю. Но |
функции 1; 2; очевидно, линейно |
||||||||||||
независимы на (a; b): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Однако для решений ЛОУ (4.3) обратное утверждение верно.
Теорема (о связи между ОВ и линейной зависимостью решений ЛОУ). Пусть '1(x); : : : ; 'n(x) – решения ЛОУ (4.3) и 9 x0 2 (a; b);
что W (x0) = 0; тогда '1; : : : ; 'n |
линейно зависимы на (a; b): |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть определитель Вронского, |
построенный на решениях '1(x); : : : ; 'n(x); обращается в нуль в некой точке x0 2 (a; b): Тогда линейная однородная алгебраическая
|
8 |
1'1(x0) + : : : + n'n(x0) = 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||
система |
... |
(n |
1) |
|
|
|
|
|
(n |
1) |
(x0) = 0 |
или (x0) = 0; |
|||||
|
< |
1'1 |
|
(x0) + : : : + n'n |
|
|
|
|
|
||||||||
где |
: |
|
|
|
|
0 |
'1(x) : : : 'n(x) |
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
(x) = |
'10 (x) |
: : : |
'n0 (x) |
(4:5) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
B |
(n ...1) |
|
: : : |
(n ...1) |
|
C |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
B'1 |
|
(x) : : : 'n |
(x) C |
|
|
|
|||||
и det (x0) = |
W (x0) |
@ |
0; |
|
|
|
|
|
|
A |
|
0 |
= |
||||
= |
имеет нетривиальное решение |
|
( 10; : : : ; n0 ) 6= 0:
5
Рассмотрим функцию '(x) = 10'1(x); : : : ; n0 'n(x); которая согласно п. 10 является решением уравнение (4.3).
При x = x0 имеем: '(x0) = 0; '0(x0) = 0; : : : '(n 1)(x0) = 0:
Сдругой стороны тривиальное решение y(x) 0 ЛОУ имеет
вточке x0 те же нулевые начальные данные. Поэтому по теореме
(a;b)
единственности '(x) 0 или 10'1(x); : : : ; n0 'n(x) 0; что и означает линейную зависимость функций '1; : : : ; 'n на (a; b):
Следствие. Если определитель Вронского W (x); построенный на решениях ЛОУ (4.3), обращается в нуль хотя бы в одной точке
(a;b)
интервала (a; b); то W (x) 0: И наоборот, если 9 x0 2 (a; b);
что W (x0) 6= 0; то W (x) 6= 0 для 8 x 2 (a; b):
Второе утверждение следствия очевидным образом доказывается от противного.
Таким образом, если решения '1(x); : : : ; 'n(x) линейно независимы, то построенный на них ОВ W (x) является знакоопределенной на интервале (a; b) функцией.
30: Фундаментальная система решений (ФСР), формула общего решения.
Df. Фундаментальной системой решений ЛОУ (4.3) называются любые n линейно независимых на (a; b) решений этого уравнения.
Теорема (о существовании ФСР). Фундаментальная система решений ЛОУ (4.3) существует.
Д о к а з а т е л ь с т в о будет проведено конструктивно, т. е. ФСР будет построена такой, какая может потребоваться в дальнейшем.
Выберем произвольным образом неособую постоянную матрицу
A = |
0 a0... 1 |
:: :: :: |
a0... n |
1 |
(det A = 0) |
и точку x0 из (a; b): |
|||
|
@an 1 1 : : : |
an 1 n A |
6j = |
|
|
существует решение |
|||
|
1; n |
||||||||
По теореме существования для 8 |
|
|
|
y = 'j(x) с начальными данными x0; a0 j; : : : ; an 1 j:
Возникшие таким образом решения '1(x); : : : ; 'n(x) ЛОУ (4.3) линейно независимы на (a; b); поскольку W (x0) = det A 6= 0:
Фундаментальную систему решений обычно называют нормированной, если в качестве A выбрана единичная матрица E: У такой ФСР W (x0) = 1:
6
В. В. Басов Курс лекций по ОДУ
Теорема (об общем решении ЛОУ). Пусть '1(x); : : : ; 'n(x) –
фундаментальная система решений, тогда непрерывная функция
'(x; C1; : : : ; Cn) = C1'1(x) + : : : + Cn'n(x) является общим решением ЛОУ (4.3) в области G = (a; b) Rn:
Д о к а з а т е л ь с т в о . Поскольку любая линейная комбинация решений ЛОУ (4.3) есть решение, то для любых вещественных констант C1; : : : ; Cn функция y = '(x; C1; : : : ; Cn) будет решением уравнения (4.3) на интервале (a; b):
Дифференцируя эту функцию n 1 раз по x; получаем линейную алгебраическую систему
|
8'0((x; C11; : : : ; Cnn)) = C11'110 (x) + : : : + Cnn'nn0 |
(x) |
|
|
(4:6) |
||||||||||
|
|
' x; C ; : : : ; C = C ' (x) + : : : + C ' (x) |
|
|
|
||||||||||
|
> ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
' |
(n |
|
1) |
|
|
(n |
1) |
|
|
(n |
|
1) |
(x) |
|
> |
|
|
(x; C1; : : : ; Cn) = C1'1 |
|
(x) + : : : + Cn'n |
|
||||||||
из |
> |
|
|
|
|
|
|
неизвестными |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
C ; : : : ; C : |
|
|
|
|||||
:уравнений с |
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
Поскольку '1(x); : : : ; 'n(x) образуют ФСР, det (x) = W (x) 6= 0 для 8 x 2 (a; b); где матрица системы (4.6) введена (4.5).
Выберем произвольный набор начальных данных для задачи
Коши из области G; т. е. x0 2 (a; b); y00; : : : ; yn0 1 |
2 R1 и покажем, |
|
что найдется единственный набор констант C0; : : : ; C0 |
; при котором |
|
1 |
n |
|
'(x0; C10; : : : ; Cn0) = y00; : : : ; '(n 1)(x0; C10; : : : ; Cn0) = yn0 1:
Подставляя начальные данные в (4.6), получаем систему
y00 = C1'1(x0) + : : : + Cn'n(x0) |
|
|
|
||||
8y10 = C1'10 (x0) + : : : + Cn'n0 (x0) |
|
|
; |
||||
> ... |
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
< 0 |
= C1 |
(n |
1) |
(n |
1) |
(x0) |
|
>yn 1 |
'1 |
|
(x0) + : : : + Cn'n |
|
|
||
> |
|
|
|
|
|
|
|
:
у которой определитель матрицы (x0); как было установлено, отличен от нуля вне зависимости от выбора точки x0:
Следовательно система имеет единственное решение C10; : : : ; Cn0: В результате y = '(x; C10; : : : ; Cn0) – это решение задачи Коши ЛОУ (4.3) с начальными данными x0; y00; : : : ; yn0 1; определенное на интервале (a; b); в чем легко убедиться, подставив набор констант
C10; : : : ; Cn0 в систему (4.6).
7
Замечание 1. Эта теорема будет также непосредственно вытекать из теоремы об общем решении линейных однородных систем, которая будет доказана в следующем параграфе.
Теорема (о размерности пространства решений ЛОУ). Множество вещественных решений ЛОУ (4.3) образует n -мерное вещественное линейное пространство над полем вещественных чисел.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть '1(x); : : : ; 'n(x) – какая-либо ФСР. Тогда по теореме об общем решении функция y = C1'1(x) +
: : : + Cn'n(x) является общим решением ЛОУ (4.3), а значит, для
любого решения y = ' (x) существует и единственен вещественный вектор C = (C1 ; : : : ; Cn); что ' (x) = C1 '1(x) + : : : + Cn'n(x):
Таким образом, любое решение ЛОУ можно отождествить с вектором C 2 Rn; компоненты которого являются координатами точки линейного пространства Rn в базисе '(1) = ('1(x); : : : ; '(1n 1)(x));
: : : '(n) = ('n(x); : : : ; '(nn 1)(x)):
Следствие. Линейное однородное уравнение порядка n не может иметь более чем n линейно независимых решений.
40: Овеществление фундаментальной системы решений.
Хотя ЛОУ (4.3) предполагается вещественным, оно вполне может иметь комплексные решения, которые могут входить в ФСР.
Но интерес, естественно, представляют вещественные ФСР. Оказывается, что ФСР всегда можно овеществить.
Чтобы это доказать, отметим сначала три очевидных свойства комплексных решений.
Пусть y(x) = u(x) + iv(x) – решение уравнения (4.3) (функции u(x); v(x) вещественны), тогда u(x); v(x) – также решения ЛОУ.
Действительно, пользуясь тем, что p1(x); : : : ; pn(x) вещественны, в тождестве u(n) + iv(n) + p1(u(n 1) + iv(n 1)) + : : : + pn(u + iv) 0
достаточно выделить вещественную и мнимую части.
Кроме того, y(x) = u(x) iv(x) является решением и при этом y(x) и y(x) линейно независимы на (a; b):
Поэтому, в частности, к комплексному решению из какой-либо ФСР всегда можно добавить комплексно сопряженное, заменив им любое другое решение.
8
В. В. Басов |
Курс лекций по ОДУ |
Лемма (об овеществлении ФСР ЛОУ). |
Пусть набор функций |
1 = f'1(x); '1(x); : : : ; 'l(x); 'l(x); '2l+1(x); : : : ; 'n(x)g (1 l
n=2); где 'j = uj + ivj (j = 1; l); а '2l+1; : : : ; 'n вещественны, образуют фундаментальную систему решений ЛОУ (4.3). Тогда набор 2 = fu1(x); v1(x); : : : ; ul(x); vl(x); '2l+1(x); : : : ; 'n(x)g является вещественной фундаментальной системой решений.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Поскольку набор 1 – ФСР, то построенный по ним определитель Вронского W1(x) 6= 0:
Набор 2 состоит из n вещественных решений. Остается установить их линейную независимость, т. е. доказать, что построенный по ним определитель Вронского W2(x) 6= 0 для 8 x 2 (a; b):
|
Имеет место следующая цепочка равенств, основанная на свой- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ствах определителей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u1 iv1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
'1 |
|
|
|
|
1 |
|
: : : 'n |
|
|
|
u1 + iv1 |
|
: : : 'n |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
0 = W1(x) = |
|
'10 |
|
|
|
10 |
|
: : : 'n0 |
|
= |
u10 |
+ iv10 |
|
u10 iv10 |
: : : 'n0 |
|
= |
|||||||||||||||||||||
|
' |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
.. |
|
.. |
|
|
|
.. |
|
|
|
|
|
|
.. |
|
|
|
|
|
.. |
|
|
|
|
|
.. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
. |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||
|
u1 |
u1 |
|
|
iv1 |
|
: : : 'n |
v1 |
|
|
|
|
iv1 : : : 'n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
u1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
u10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ i v10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
u10 iv10 |
|
: : : 'n0 |
|
u10 iv10 |
: : : 'n0 |
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
.. |
|
|
.. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.. |
|
|
.. |
|
|
|
.. |
|
|
|
|
|
|
|
.. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
. |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
. |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
u1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: : : 'n |
|
v1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
u1 |
|
: : : 'n |
|
|
|
|
|
|
|
u1 |
v1 |
|
|
|
|
|
u1 : : : 'n |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u10 |
u10 |
|
: : : 'n0 |
|
|
i |
u10 |
v10 |
: : : 'n0 |
|
+ i |
v10 |
|
u10 |
|
: : : 'n0 |
+ |
|
||||||||||||||||||||
.. |
|
.. |
|
|
|
|
.. |
|
|
.. .. |
|
|
|
|
.. |
|
|
|
|
|
.. .. |
|
|
|
.. |
|
|
|
||||||||||
. |
|
. |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
. . |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
. . |
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
v1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u1 |
|
u2 |
|
|
iv2 |
|
u2 |
|
|
|
iv2 |
|
|
|
|
||||||||
v1 |
: : : 'n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v1 |
|
+ |
|
|
: : : 'n |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
v10 |
v10 |
: : : 'n0 |
|
= ( 2i) |
|
v10 |
|
u20 + iv20 |
|
u20 iv20 |
: : : 'n0 |
= |
||||||||||||||||||||||||||
.. |
|
.. |
|
|
|
|
.. |
|
|
|
|
|
|
|
.. |
|
.. |
|
|
|
|
.. |
|
|
|
|
|
.. |
|
|
|
|
|
.. |
|
|
||
. |
|
. |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
. |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
u1 |
|
v1 |
: : : ul |
vl |
'2l+1 : : : 'n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2i) |
l |
|
|
v10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
vl0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
( |
|
u10 |
|
: : : ul0 |
'20 l+1 : : : 'n0 |
= ( 2i) W2(x): |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
.. .. |
|
|
|
|
|
|
|
.. .. |
|
.. |
|
|
|
|
|
|
.. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
. . |
|
|
|
|
|
|
. . |
|
. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
5 : |
Обратная задача. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Можно ли построить линейное однородное уравнение, имеющее |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в качестве ФСР заранее заданный набор функций? |
Если можно, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
то сколько и какого порядка? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Конструктивный ответ на поставленные вопросы дает следующее утверждение.
9
Теорема (о построении ЛОУ по заданному набору функций).
Пусть '1(x); : : : ; 'n(x) – набор n из раз непрерывно дифференцируемых на интервале (a; b) функций и построенный по ним определитель Вронского W (x) 6= 0 для 8 x 2 (a; b): Тогда существует и единственно линейное однородное уравнение (4.3), для которого '1(x); : : : ; 'n(x) – фундаментальная система решений на (a; b):
Д о к а з а т е л ь с т в о .
Единственность. Предположим, что помимо уравнения (4.3) най-
дется еще одно ЛОУ порядка n y(n) + q1(x)y(n 1) + : : : + qn(x)y = 0
с q1(x); : : : ; qn(x) 2 C((a; b)); имеющее ту же ФСР '1(x); : : : ; 'n(x):
Тогда существует натуральное – наибольшее число такое, что p (x) 6 q (x) на (a; b): В силу непрерывности коэффициентов уравнений найдется интервал ( ; ) (a; b); на котором p (x) 6= q (x):
Следовательно каждое из решений '1(x); : : : ; 'n(x) удовлетворяет разности двух уравнений: (p q )y(n ) + : : : + (pn qn)y = 0; которую для 8 x 2 ( ; ) можно поделить на p q ; получая ЛОУ
+ : : : + p~n (x)y = 0 порядка меньшего чем n:
Однако это уравнение имеет n линейно независимых на ( ; ) решений, что невозможно в силу следствия из п. 30:
Существование. Покажем, что ЛОУ порядка n; имеющее указанный в формулировке теоремы набор '1(x); : : : ; 'n(x) в качестве ФСР, может быть записано в виде
|
|
'1(x) |
|||
|
'10 (x) |
||||
|
|
|
.. |
|
|
|
' |
(n |
.1) |
x |
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
(n) |
(x) |
||
|
'1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: : : |
'n(x) |
y |
: : : |
'0 (x) |
y0 |
|
n. |
. |
: : : |
. |
. |
. |
. |
: : : |
'n(n 1)(x) y(n 1) |
|
: : : |
'n(n)(x) |
y(n) |
= 0 (x 2 (a; b)): (4:7)
Действительно, разлагая определитель по элементам последнего столбца, получаем уравнение W (x)y(n)+r1(x)y(n 1)+: : :+rn(x)y = 0 с непрерывными на (a; b) коэффициентами r1(x); : : : ; rn(x); причем
|
|
|
|
|
'1(x) |
: : : |
|
'n(x) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
'10 (x) |
: : : |
|
'n0 (x) |
|
|
|||||||||
r |
(x) = |
|
|
|
|
.. |
|
|
: : : |
|
|
.. |
|
|
|
|
|
: |
1 |
|
|
|
' |
(n |
.2) |
x |
: : : ' |
(n |
.2) |
|
x |
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
( |
) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
(n) |
(x) |
: : : |
|
(n) |
(x) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
'1 |
'n |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10