Коллоквиум

Коллоквиум. Динамические характеристики типовых звеньев

Динамические характеристики
Сокращение	Обозначение	Расшифровка
ДУ	–	Дифференциальное уравнение
ПФ	W(p)	Передаточная функция
ПХ	h(t)	Переходная характеристика
ВФ	w(t)	Весовая функция
ЧПФ	W(jω)	Частотная передаточная функция
ВЧХ	U(ω)	Вещественная частотная характеристика
МЧХ	V(ω)	Мнимая частотная характеристика
АФЧХ	–	Амплитудно-фазовая частотная характеристика
АЧХ	A(ω)	Амплитудная частотная характеристика
ФЧХ	φ(ω)	Фазовая частотная характеристика
ЛАХ	L(ω)	Логарифмическая амплитудная характеристика
ЛФХ	φ(lgω)	Логарифмическая фазовая характеристика

Типовые звенья
Название звена	ПФ
Звенья нулевого порядка (p^0)
Пропорциональное (безынерционное)
Звенья 1-го порядка (p)
Интегрирующее
Дифференцирующее
Апериодическое 1-го порядка
Форсирующее 1-го порядка
Звенья 2-го порядка (p^2)
Колебательное
Консервативное
Апериодическое 2-го порядка
Форсирующее 2-го порядка

1. Пропорциональное (безынерционное) звено
АУ	Алгебраическое уравнение (т.к. нет производной)
ПФ W(p)
ПХ h(t)
ВФ w(t)
ЧПФ W(jω)
ВЧХ U(ω)
МЧХ V(ω)
АФЧХ	Годограф, график АФЧХ – точка (∙)
АЧХ A(ω)
ФЧХ φ(ω)
ЛАХ L(ω)
ЛФХ φ(lgω)
2. Интегрирующее звено
ДУ	T – время, необходимое для того, чтобы сигнал на выходе стал равен сигналу на входе. Чем больше постоянная времени T, тем медленнее протекают процессы в системе, т.е. T характеризует быстродействие системы (звена)
ПФ W(p)
ПХ h(t)	При t=T – h(t)=T/T=1
ВФ w(t)
ЧПФ W(jω)
ВЧХ U(ω)
МЧХ V(ω)
АФЧХ	W(jω)=Ae ^-^jφ φ(ω)= –π/2= –90°
АЧХ A(ω)
ФЧХ φ(ω)
ЛАХ L(ω)
ЛФХ φ(lgω)

3. Дифференцирующее звено
ДУ
ПФ W(p)
ПХ h(t)
ВФ w(t)
ЧПФ W(jω)
ВЧХ U(ω)
МЧХ V(ω)
АФЧХ	W(jω)=Ae ^jφ φ(ω)=π/2=90°
АЧХ A(ω)
ФЧХ φ(ω)
ЛАХ L(ω)
ЛФХ φ(lgω)

4. Апериодическое звено I-го порядка Это звено также называют инерционным звеном I-го порядка. В отличие от вышерассмотренных оно характеризуется двумя параметрами: k и Т (k – передаточный коэффициент, Т – постоянная времени).
ДУ
ПФ W(p)
ПХ h(t)	При и ННУ: k – уровень, к которому стремится график при t→∞: . Постоянная времени T численно равна длине отрезка оси абсцисс между абсциссой (∙) пересечения касательной с горизонтальной асимптотой и абсциссой (∙), в которой проведена касательная к (∙) T=0.
ВФ w(t)
ЧПФ W(jω)
ВЧХ U(ω)
МЧХ V(ω)
АФЧХ
АЧХ A(ω)
ФЧХ φ(ω)
ЛАХ L(ω)	Уравнения асимптот: а) б) На практике используются приближенные (асимптотические) ЛАХ
ЛФХ φ(lgω)

5. Форсирующее звено I-го порядка
ДУ
ПФ W(p)
ПХ h(t)
ВФ w(t)
ЧПФ W(jω)
ВЧХ U(ω)
МЧХ V(ω)
АФЧХ
АЧХ A(ω)
ФЧХ φ(ω)
ЛАХ L(lgω)	Уравнения асимптот: а) б) На практике используются приближенные (асимптотические) ЛАХ
ЛФХ φ(lgω)

Звенья II-го порядка

ДУ:

или в другой форме

Положим (ξ – коэффициент демпфирования (затухания)).

если

6. Колебательное звено
ДУ
ПФ W(p)
ПХ h(t)	Чем больше ξ, тем круче огибающие, тем быстрее процесс затухает. Период колебаний также зависит от ξ: Восстановление ДУ и ПФ по ПХ (вычисление k, T, ξ): k – уровень, к которому сходится ПХ при t→∞, т.е. где A1, A2 – 2 последних перерегулирования. Т.о. по ПХ можно определить все параметры колебательного звена.
ВФ w(t)
ЧПФ W(jω)
ВЧХ U(ω)
МЧХ V(ω)
АФЧХ
АЧХ A(ω)
ФЧХ φ(ω)	Т.к. в формуле «–», график от 0 до –π.
ЛАХ L(ω)	Асимптотическая (приближенная) ЛАХ: Следует иметь в виду, что асимптотическая ЛАХ при малых значениях коэффициента демпфирования ξ довольно сильно отличается от точной.
ЛФХ φ(lgω)

7. Консервативное звено
ДУ
ПФ W(p)
ПХ h(t)	Колебания не затухают (автоколебательный процесс).
ВФ w(t)
ЧПФ W(jω)
ВЧХ U(ω)
МЧХ V(ω)
АФЧХ
АЧХ A(ω)
ФЧХ φ(ω)
ЛАХ L(ω)	Исходя из ЛАХ колебательного звена при ξ=0 получим:
ЛФХ φ(lgω)

8. Апериодическое звено II-го порядка

ПФ:

Дискриминант:

Тогда ПФ может быть представлена в виде:

Т.е. апериодическое звено II-го порядка может быть представлено как последовательное соединение двух апериодических звеньев I-го порядка оно не относится к элементарным звеньям.

Важное отличие апериодического звеньев I-го и II-го порядков в графиках ПХ.

Построение логарифмических частотных характеристик (ЛЧХ) по ПФ системы

Порядок построения ЛАХ:

1. На логарифмической оси частот (ω, lgω) наносятся точки, соответствующие сопрягающим частотам звеньев, входящих в систему.

Сопрягающая частота – величина обратно-пропорциональная постоянной времени T звена.

2. Если в ПФ системы W(p) имеются интегрирующие (1/Tp) или дифференцирующие (Tp) звенья, то построение результирующей ЛАХ начинается с них.

3. Если в ПФ системы отсутствуют W(p) отсутствуют интегрирующие (1/Tp) или дифференцирующие (Tp) звенья, то построение ЛАХ начинается с горизонтального участка, соответствующего коэффициенту усиления 20lgk (k – общий коэффициент усиления системы).

4. Наличие в ПФ звеньев типа (Tp+1) и (T²p²+2Tξp+1) учитывается тем, что на соответствующих сопрягающих частотах ЛАХ претерпевает излом на величину n∙20 дБ/дек (где n – порядок звена) вверх или вниз в зависимости от того, в числителе или в знаменателе ПФ W(p) находятся эти сомножители.

5. Для построения результирующей логарифмической фазовой характеристики (ЛФХ) системы φ(ω) необходимо построить ЛФХ, соответствующие каждому сомножителю, а затем геометрически их сложить.

Название	Вид сомножителя	ЛЧХ
Интегратор
Двойной интегратор
Дифференциатор
Двойной дифференциатор
Апериодическое звено 1-го порядка
Форсирующее звено 1-го порядка
В зависимости от ξ звенья: колебательное, консервативное или апериодическое 2-го порядка
Форсирующее звено 2-го порядка