Вопрос №23
Угол между прямыми на плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Определение. Если заданы две прямые y = k1x + b1, y = k2x + b2, то острый угол между этими прямыми будет определяться как . Две прямые параллельны, если k1 = k2. Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/k2.
Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А1х + В1у + С1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А1 = lА, В1 = lВ. Если еще и С1 = lС, то прямые совпадают.
Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.
Вопрос №24
Различные виды уравнений плоскости в пространстве.
Уравнение плоскости в нормальном виде. В пространстве R3, где введена прямоугольная система координат x, y, z, зададим вектор а, выпущенный из начала О. Через конец а проведем плоскость П перпендикулярно к а. Произвольную (текущую) точку плоскости П обозначим через Q = (x,y,z). Буква р обозначает радиус-вектор точки Q.
Пусть р = |a| - длина вектора а и V = (cos£, cosß, cosγ) – единичный вектор, направленный в ту же сторону что и а. Здесь £, ß, γ – углы, образуемые вектором V соответственно с положительными направлениями осей x,y,z. Проекция любой точки Q Є П на вектор V есть, очевидно, величина постоянная, равная p: (p,V) = p(p>=0) (1). Уравнение (1) имеет смысл и при р=0. В этом случае плоскость П проходит через начало координат О (а=0) и V – единичный вектор, выпущенный из О перпендикулярно к П, неважно в каком направлении, т.е. вектор V определяется с точностью до знака. Уравнение (1) есть уравнение плоскости П в векторной форме. В координатах оно записывается так: xcos£+ycosß+zcosγ=p (p>=0) (1’) и называется уравнением плоскости в нормальном виде.
Уравнение плоскости в общем виде. Если уравнение (1’) умножить на какое-либо не равное 0 число, то получим эквивалентное ему уравнение в виде: Ax+By+Cz+D=0 (2), определяющую ту же плоскость. Здесь числа А,В,С не равны нулю одновременно. Уравнение (2), где числа А,В,С не равны нулю, называется уравнение плоскости в общем виде.
Уравнение плоскости в отрезках. Если числа A,B,C,D не равны 0, то уравнение (2) можно записать так: x\a+y\b+z\c=1 где а=-D\A, b=-D\B, c=-D\c.
Уравнение плоскости, проходящее через точку. Если точка (x0, y0, z0) лежит на плоскости (2), то ее координаты удовлетворяют уравнению (2): Аx0+By0+Cz0+D=0 (3). Вычитая (3) из (2), получим: A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
Вопрос №25
Различные виды уравнений прямой в пространстве.
Общие уравнения прямой в пространстве. Линия в трехмерном пространстве определяется, вообще говоря, пересечением двух поверхностей, т.е. описывается системой двух уравнений.
Прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей и, следовательно, описывать системой двух линейных уравнений:
A1x + B1y + C1z + D1 = 0 A2x + B2y + C2z + D2 = 0
при условии, что эти плоскости непараллельные, т.е. их нормальные векторы неколлинеарны. Эта система уравнений называется общими уравнениями прямой в пространстве.
Каноническое. ((x-x0)\a1)=((y-y0)\a2)=((z-z0)\a3).
Параметрическое. Система: (x=x0+a1*t) (y=y0+a2*t) (z=z0+a3*t)
Вопрос №28
Угол между двумя прямыми в пространстве.
Пусть в пространстве заданы две прямые. Их параметрические уравнения: l1: , l2: .
. Угол между прямыми j и угол между направляющими векторами j этих прямых связаны соотношением: j = j1 или j = 1800 - j1. Угол между направляющими векторами находится из скалярного произведения. Таким образом: .
Условия параллельности и перпендикулярности в пространстве.
Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если: . Плоскости параллельны, векторы нормалей коллинеарны:||.Это условие выполняется, если:A1\A2=B1\B2=C1\C2.
Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве. Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были пропорциональны.
Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю. .
Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве. Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю. .
Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарные. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю. .