Вычисление пределов некоторых последовательностей.

Неравенство Бернулли. (1+x)ⁿ1+nx, x-1, nN.

Доказательство (метод мат. индукции).

Вычисление пределов некоторых последовательностей.

1) Найти (a>0).

Если 0<a<1, то aⁿ - бесконечно малая, а n! – бесконечно большая, т.е. =0. При а=1 имеем=0.

Пусть а>1. В этом случае отношение представляет неопределенность.

Обозначим =х_n. Имеем

x_n+1=== х_n

Как только n+1>a (т.е. n>a-1) последовательность х_n становится строго убывающей. Последовательность х_n ограничена снизу (например, числом 0) Следовательно, по теореме 2, последовательность имеет предел. Обозначим этот предел через с.

Чтобы его найти, перейдем к пределу в равенстве x_n+1= х_n.

Т.к. х_n+1 пробегает ту же последовательность значений, что и х_n (с точностью до первого члена), то х_n+1 имеет тот же предел с. Имеем:

=c=c0c=0.

Т.о. при a>1 =0.

2) Показать, что =1a>0.

Возьмем произвольное число >0 и рассмотрим . Тогда

=а=а=а0=0 (т.к. (1+)^-1<1, т.е. б.м.)