3.3.1.1. Метод отсчёта от условного нуля

Если данные сгруппированы, и варианты в каждой группе представлены интервалом, то может использоваться упрощенная формула расчета средней арифметической:

где

x₀ – постоянная величина. В качестве постоянной величины принято брать значение середины интервала, находящегося в середине ряда. Если в ряду чётное число групп, то из двух интервалов, расположенных посередине, выбирают значение с большим весом;

h – постоянная величина. При равенстве интервалов равна длине интервала. Если интервалы не равны, то в качестве h следует брать наибольший общий делитель всех середин интервалов или любое другое число, позволяющее упростить расчёты.

При этом значение в центре интервала принимается за значение признака у всех единиц в этом интервале. Упрощённый способ вычисления средней арифметической называется методом отсчёта от условного нуля.

x_i’ вычисляются по формуле

Затем находится их среднее значение

Тогда формула для расчета средней арифметической выглядит следующим образом:

Пример 5. Вычисление средней арифметической по упрощенной формуле

В Таблице 3 в первом и втором столбцах представлено распределение отдыхающих пансионата по возрастам. Определить среднюю арифметическую по упрощенной формуле.

Таблица 3. Распределение отдыхающих пансионата по возрастам

Возраст, лет xi	Количество отдыхающих, чел mi	Середина интервала, xi ср	xi – x0
1	2	3	4	5	6
0 - 10	64	5	-30	-3	-192
10 - 20	35	15	-20	-2	-70
20 - 30	55	25	-10	-1	-55
30 - 40	39	35	0	0	0
40 - 50	26	45	10	1	26
50 - 60	27	55	20	2	54
Итого	246				-237

Сначала находятся середины интервалов (столбец 3), от них отнимается постоянная величина x₀=35 (столбец 4), за величину h принимается значение длины интервала 10, затем вычисляются столбцы 5 и 6.

Средний возраст отдыхающих получился равным

3.3.2. Средняя гармоническая

Для получения средней гармонической в формулу средней степенной подставляется значение z=-1. Вычисляется средняя гармоническая в тех случаях, когда суммировать приходится не сами варианты, а обратные им величины

Средняя гармоническая простая:

Средняя гармоническая взвешенная:

где

V_i – веса для обратных значений x_i.

Пример 6. Вычисление средней гармонической взвешенной

Определить средний процент изменения объёма продаж за восемь месяцев 2010 г. На основе представленных в Таблице 4 данных.

Таблица 4. Объём продаж и процент изменения по сравнению с выпуском за прошлый период

Годовой объём продаж, тыс. шт.	Количество магазинов	Продано продукции
		в январе-августе 2010 г, тыс. шт.	% в 2010 г. к январю-августу 2009 г.
1	2	3	4
Менее 100	6	27	133,7
100 – 500	11	957	103,5
500 – 1000	8	1883	92,0
Более 1000	2	2020	147,1
Итого	27	4887

Расчёт средней величины при имеющихся данных осуществляется по формуле средней гармонической взвешенной. При этом находится отношение объёма продаж в текущем периоде к объёму продаж за аналогичный период предыдущего года.

Пример 7. Вычисление средней арифметической взвешенной

Определить средний процент изменения объёма продаж за восемь месяцев 2010 г. На основе представленных в Таблице 5 данных.

Таблица 5. Объём продаж и процент изменения в текущем периоде

Годовой объём продаж, тыс. шт.	Количество магазинов	Продано продукции
		в январе-августе 2009 г, тыс. шт.	% в 2010 г. к январю-августу 2009 г.
1	2	3	4
Менее 100	6	20,2	133,7
100 – 500	11	924,6	103,5
500 – 1000	8	2046,7	92,0
Более 1000	2	1373,2	147,1
Итого	27	4364,7

Отличие от предыдущего примера состоит в том, что известен объём продаж января-августа не текущего, а предыдущего года. Известен объём продаж за аналогичный период предыдущего года. При таких исходных данных расчёт средней величины осуществляется по формуле средней арифметической взвешенной.

Выбор средней арифметической или средней гармонической обусловлен имеющимися исходными данными. Если известны данные за прошлый или планируемый период и процент изменения объёма выпуска в отчетном периоде, вычисляют среднюю арифметическую. Если известны данные за текущий период и процент изменения по сравнению с прошлым периодом, то используют среднюю гармоническую.