Задание №5
Исследовать возможность улучшения обусловленности задачи посредством внесения малого случайного возмущения в матрицу системы.
Порядок матриц: 7; Тип возмущения: M
|
Матрица 8 типа |
Матрица 3 типа | |||||
|
kEpsA |
kEpsB |
Ст. число обусловл. |
kEpsA |
kEpsB |
Ст. число обусловл. | |
|
1 |
0 |
4.415*107 |
1 |
0 |
1.785*101 | |
|
103 |
0 |
4.415*107 |
103 |
0 |
1.785*101 | |
|
106 |
0 |
4.415*107 |
106 |
0 |
1.785*101 | |
|
109 |
0 |
4.415*107 |
109 |
0 |
1.785*101 | |
|
1012 |
0 |
4.872*107 |
1012 |
0 |
1.785*101 | |
|
1015 |
0 |
9.540*105 |
1015 |
0 |
1.785*101 | |
|
1018 |
0 |
1.190*104 |
1018 |
0 |
2.082*101 | |
|
1021 |
0 |
2.031*10 |
1021 |
0 |
9.997*101 | |
|
0 |
1 |
4.415*107 |
0 |
1 |
1.785*101 | |
|
0 |
103 |
4.415*107 |
0 |
103 |
1.785*101 | |
|
0 |
106 |
4.415*107 |
0 |
106 |
1.785*101 | |
|
0 |
109 |
4.415*107 |
0 |
109 |
1.785*101 | |
|
0 |
1012 |
4.415*107 |
0 |
1012 |
1.785*101 | |
|
0 |
1015 |
4.415*107 |
0 |
1015 |
1.785*101 | |
|
0 |
1018 |
4.415*107 |
0 |
1018 |
1.785*101 | |
|
0 |
1021 |
4.415*107 |
0 |
1021 |
1.785*101 | |
|
1 |
1 |
4.415*107 |
1 |
1 |
1.785*101 | |
|
103 |
103 |
4.415*107 |
103 |
103 |
1.785*101 | |
|
106 |
106 |
4.415*107 |
106 |
106 |
1.785*101 | |
|
109 |
109 |
4.417*107 |
109 |
109 |
1.785*101 | |
|
1012 |
1012 |
4.737*107 |
1012 |
1012 |
1.785*101 | |
|
1015 |
1015 |
1.730*107 |
1015 |
1015 |
1.785*101 | |
|
1018 |
1018 |
4.609*102 |
1018 |
1018 |
2.060*101 | |
|
1021 |
1021 |
6.671*102 |
1021 |
1021 |
3.994*101 | |
Вывод: При возмущениях, вносимых в матрицу системы, меньших, чем 1015 – обусловленность матрицы не изменяется. При любых возмущениях kEpsB, обусловленность матрицы не меняется.
I: Плохо обусловленная матрица: при больших возмущениях kEpsA (>1015) обусловленность матрицы резко улучшается (на несколько порядков).
II: Хорошо обусловленная матрица: при больших возмущениях kEpsA (>1018) обусловленность матрицы немного ухудшается (в несколько раз).
Задание №6
Для
задач с «хорошей» матрицей (m
= 102 - 104) посредством внесения
в матрицу системы возмущений различной
величины сделать заключение о приемлемой
для получения требуемой (наперед
заданной) точности решения степени
неопределенности в задании исходных
данных.
Матрица 2 типа, 7 порядка. Тип возмущения P.
|
kEpsA |
kEpsB |
Ст. число обусл. |
Ошибка решения |
ErrEst (cond) |
ErrEst ([P]) |
ErrEst ([M]) |
|
0 |
0 |
1.353*102 |
0 |
0 |
1.08*10-19 |
1 |
|
103 |
0 |
1.353*102 |
0 |
0 |
2.98*10-16 |
1 |
|
106 |
0 |
1.353*102 |
0 |
0 |
2.50*10-13 |
1 |
|
109 |
0 |
1.353*102 |
1.492*10-10 |
1.71*10-10 |
3.00*10-10 |
1 |
|
1012 |
0 |
1.353*102 |
2.263*10-7 |
4.78*10-11 |
2.88*10-7 |
1 |
|
0 |
103 |
1.353*102 |
0 |
0 |
1.08*10-16 |
1 |
|
0 |
106 |
1.353*102 |
0 |
0 |
1.08*10-13 |
1 |
|
0 |
109 |
1.353*102 |
1.455*10-10 |
1.47*10-8 |
2.54*10-10 |
1 |
|
0 |
1012 |
1.353*102 |
1.085*10-7 |
1.47*10-5 |
2.17*10-7 |
1 |
|
103 |
103 |
1.353*102 |
0 |
0 |
3.77*10-16 |
1 |
|
106 |
106 |
1.353*102 |
0 |
0 |
4.59*10-13 |
1 |
|
109 |
109 |
1.353*102 |
3.074*10-10 |
1.47*10-8 |
5.66*10-10 |
1 |
|
1012 |
1012 |
1.353*102 |
1.334*10-7 |
1.47*10-5 |
5.10*10-7 |
1 |
Матрица 5 типа 3 порядка. Тип возмущения P.
|
kEpsA |
kEpsB |
Ст. число обусл. |
Ошибка решения |
ErrEst (cond) |
ErrEst ([P]) |
ErrEst ([M]) |
|
0 |
0 |
6.808*102 |
2.365*10-11 |
6.19*10-11 |
7.28*10-12 |
3*101 |
|
103 |
0 |
6.808*102 |
2.365*10-11 |
6.19*10-11 |
7.28*10-12 |
3*101 |
|
106 |
0 |
6.808*102 |
2.365*10-11 |
6.19*10-11 |
7.38*10-12 |
3*101 |
|
109 |
0 |
6.808*102 |
9.277*10-11 |
1.24*10-10 |
1.45*10-10 |
3*101 |
|
1012 |
0 |
6.808*102 |
5.256*10-8 |
5.72*10-11 |
9.86*10-8 |
3*101 |
|
0 |
103 |
6.808*102 |
2.365*10-11 |
6.19*10-11 |
7.28*10-12 |
3*101 |
|
0 |
106 |
6.808*102 |
2.365*10-11 |
6.19*10-11 |
7.38*10-12 |
3*101 |
|
0 |
109 |
6.808*102 |
3.747*10-10 |
7.40*10-8 |
4.53*10-10 |
3*101 |
|
0 |
1012 |
6.808*102 |
1.085*10-7 |
7.38*10-5 |
2.17*10-7 |
3*101 |
|
103 |
103 |
6.808*102 |
2.365*10-11 |
6.19*10-11 |
7.28*10-12 |
3*101 |
|
106 |
106 |
6.808*102 |
2.365*10-11 |
6.19*10-11 |
7.47*10-12 |
3*101 |
|
109 |
109 |
6.808*102 |
3.474*10-10 |
7.38*10-8 |
5.72*10-10 |
3*101 |
|
1012 |
1012 |
6.808*102 |
1.984*10-7 |
7.38*10-5 |
3.07*10-7 |
3*101 |
Вывод: для хорошо обусловленной матрицы требуемая (наперёд заданная) точность решения достигается при степени неопределённости исходных данных (kepsA, kepsB или одновременно kepsA и kepsB), меньшей, чем, примерно, 109. Если степень неопределённости исходных данных выше, то оценка ошибки решения отличается от реальной ошибки.